Seria: M E C H A N IK A z. 115 N r kol. 1230
K rzysztof W E R N E R O W S K I K a te d ra M echaniki Stosow anej
A k ad em ia T echniczno - R olnicza w Bydgoszczy
A S Y M P T O T Y C Z N A M E T O D A R O Z W IĄ Z A N IA W IB R A C JI G IĘ T N Y C H BELK I
S treszczenie. W artykule zasygnalizow ano możliwość uzyskania wyników zbliżonych do rzeczywistości przez zastosow anie asym ptotycznej m etody rozw iązania w ibracji giętnych belki zam ocow anej przegubow o. W m odelu uw zględniono działanie zm iennej siły osiowej i obciążenia poprzecznego.
A nalizow ano układ o zm iennych współczynnikach. U w zględniono w ibracje param etry czn e i wymuszone.
O k reślo n o rów nanie różniczkow e ruchu belki. W asym ptotycznej m etodzie rozw iązania stw ierdzono w yraźną zbieżność składowych rozw inięcia.
A S Y M P T O T IC M E T H O D O F C H O S E N B EA M T R A N S V E R S E V IB R A T IO N S SO L U T IO N
Sum m ary. T h e p resen t p a p e r points out th e possibility o f nearly exact calculations co m p arab le w ith results o f experim ental research . A sym ptotic m ethod o f chosen b eam transverse vibration was used. L oad d ep en d in g from tim e is axial an d continous. V ariable action o f th e axial force an d continous load w as tak en into co nsideration.
System with variable coefficients was analysed. P aram etric an d forced vibrations w ere ta k e n into account.
A differential eq u atio n was described. T h e asym ptotic solution is w ith distinct co n vergence o f solution p arts connected.
A S Y M P T O T IS C H E M E T H O D E Z U R L Ö S U N G D ES P R O B L E M S V ON B IE G E S C H W IN G U N G E N D E S B A LK EN S
Z u sam m enfaßung. Jn d er A bhandlung wird es angekündigt, daß die M öglichkeit b e ste h t, durch die A nw endung d er asym ptotischem M e th o d e zur L ösung des P ro b lem s von Biegeschw ingungen eines gelenkig befestig ten B alkens die d er W irklichkeit a n g e n äh erten E rgebnisse zu erhalten. Im M odell h a t m an die W irkung d e r W echselaxialkraft und d er Q uerb elastu n g berücksichtigt. D as System mit v ariab len F a k to re n w ird analysiert. P aram etrisch e und erzw ungene Schw ingungen w erd en .in R ücksicht genom m en. M an hat die D ifferentialgleichung des B alkensbew egung bestim m t. In d er asym ptotischen L ösungsm ethode h at m an d eu tlich e K onvergenz von K o m ponenten d er Abwicklung festgestellt.
1. W P R O W A D Z E N IE
Z ag a d n ie n ie b ad a n ia d rg ań giętnych belki w ystępuje podczas analizy działania konstrukcji m echanicznych. Siła działająca osiowo je st przyczyną zm ienności w spółczynników u k ład u liniowego.
Szczególny p rzy p ad ek działania zwykłej siły harm onicznej w zdłuż osi belki, zaliczony do d rg ań param etrycznych, m ożna rozw iązać stosując [4] rozdzielanie zm iennych i n astęp n ie m etodykę M athieu.
N ato m iast uogólnione w ibracje giętne belki z obciążeniem poprzecznym i osiowym m ożna rozw iązać m e to d ą asym ptotyczną [2,3],
U w zględnienie wyraźnej zbieżności składowych funkcji trygonom etrycznych zapew nia do k ład n o ść rozw iązania zbliżoną do wyniku ścisłego, który jeszcze nie je st znany. Z b a d a n o rów nież zależność m iędzy param etrycznym i i wymuszonymi drganiam i układu.
2. M O D E L I R Ó W N A N IE G Ł Ó W N E
P rzed m io tem analizy są drgania giętne belki zam ocow anej przegubow o w układzie poziom ym , obciążonej siłą osiow ą o raz siłą p oprzeczną rozłożoną w sposób ciągły.
N a m o d elu (ry s.l) p o k azan o działanie obciążenia harm onicznego q (t) i siły osiowej F(t).
< ł( i) / / / / / / / / / / / / ,
£
Rys. 1. S chem at obciążenia i p o d p arcia belki Fig. 1. D iag ram of loading and su pporting o f a b eam R ó w n an ie różniczkow e ru ch u belki je st następujące:
d Ąy + F(t) d 2y + pA d 2y = ę(t) 3 x 4 E J d x 2 E J d t 2 E J '
(1)
y=y(x,t) , ( l a )
F(t) =i’os ir'2 a, ( l b )
395
a = u> t +h (t ) , ( l c )
r = to t , (ld)
? ( t ) = ? 0 s i n o ; ' (le)
gdzie: p - gęstość m ateriału belki,
A - pole p rzekroju poprzecznego belki, E - m oduł Y ounga tworzywa belki,
J - m o m en t bezw ładności przekroju p oprzecznego belki, - - oznaczenie w artości średniej.
P odczas analizy uw zględniono w arunki brzegow e i początkow e w postaci:
y ( I (t ) = y ( 0 , t ) = l 4 ( ł (t ) = Ą ( 0 , t ) = 0 ,
d x d x 2
(2a)
t>0, (2b)
R(x)= y(x,0),±(x,0)= B(x), di
(2c,d)
0<x<l. (2e)
Isto tn e je s t przekształcenie rów nania głów nego do postaci:
(3)
4
EJ
\) p A
(3a)
Przyjm uje się mały p a ra m e tr korzystny dla dalszych obliczeń (6,6a,9a,b), w obec tego:
e=(pAEJ)-°* -c-cl. (3t>)
3. R O Z W IĄ Z A N IE
O gólna postać rozw iązania m eto d ą asym ptotyczną je st następująca:
y = C(i,e)siHZ)ĄCOj[fi(i,e)] + e F f t , ! ) + e 2F 2(x,l) + ... (4)
C = C0 + e G ^ C J i ) * e2G 2(t,C 0,h) * ... (4a)
R = cj,r + h + £ //,(/,C0,/i) + e 2H 2(t,C0,li) * ... (4 b )
y l = C ,co s(C 1/ + S ^ in D jc . (4c)
Istnieje m ożliwość rozw inięcia (3) funkcji f w szereg potęgow y:
f = f 0 + ef1 +e%+. . . + e'fn.
(5)N a podstaw ie ( l , l b , l e ) m ożna określić zależność:
c f ~ co (<70sina - F Qsin2a £ Z ), (6) dx2
4
0) =
\
E J (6a)
M ’
czyli
e/0 = u r s i n a + f 0sin2a C 2 C0cosa)sinCjA:. (6b)
Przybliżenie n astęp n e oblicza się w zorem:
e/01 = &> (</0sina + F 0sin2
a C 2 C0
cosat
...)(7)
Istotnym zagadnieniem dla m etody asym ptotycznej je st analiza zbieżności uśrednień:
397
M 1 Q
(f01sina) = lim _ f (ryosin2a + C jC 0sin3a)c/t = — (8a)
t ti.J 2
M .
(/01 co sa) = l i m - f(qros in a c o s a + C iC 0sin2aco s2a ) d t = ~ Ć [C 0 (8b)
' k i 8
rt -
w obec tego
dCo er
" .«loC,
(9a)= - - C „ (/m sln<*)= - --- .
dt 2 ° , 01 4
^ = - ( £(f01cosa) = - | C f o . (9b)
C ałkujem y układ rów nań:
r L ( io )
d c » 4 1
C e<7
ln = - _ r , (10a)
C 4
- (10b)
h = -lc \c
0t,
( 1 1 )t = 0 , / j =0.
o ' o
N astęp n ie wyrazy są określo n e rów naniam i:
dG. i _ M _
/oisin« ' (/01sin®)) + &C0sin2a,
Ot (J /
dH, i _ *
— = — ( / ms m a - . ( / 01s i n a ) ) + flC oco i2 a,
ot C o <
(a -<*) B = -2 — ,
czyli:
— i = - ! ( ^ 0sin2a +C^Cosin3a c o s a - — ) + BCos iir a , 3r
—i =-_i_(<3 sin aco sa + c i O i n ^ c o s 2« --C?C„) + Bcosa,
C « ° 1 0 8 1 o)
w obec tego dla t0 = 0 i w artości średnich
, H X-*WV
7TX = -L (sin2a - C ,JC0sin4a ) - — °cos2a,
4g> 2
( l l a , b )
(12a)
(12b)
(12ci)
(13a)
(13b)
(14a,b)
(15a)
7 7 7 = i:(- ^ f- s in 2a + - i - C i C sin 4a ) = B sin a.
1 2 Cai i 16 1 0
(15b)
A sym ptotyczna m eto d a rozw iązania wibracji...
N a p odstaw ie n astępnego rów nania przybliżonego:
= E / o*(5-T<c o-°0siniV (16)
obliczono Fj = F ^ t ) .
R ozw iązanie (4) analizow anego rów nania głów nego (1) o kreślone jest w postaci:
4. W N IO SK I
1. R ozw iązany w niniejszej pracy m odel drgań giętnych belki obciążonej w sposób ciągły i osiowo je st ogólniejszy od spotkanych w dostępnej literaturze.
2. Z b ieżn o ść składowych rozw inięcia je st w ystarczająca dla m etody asym ptotycznej.
L IT E R A T U R A
[1]. C .M .H arris, C h.E .C rede: Shock and V ibration H an dbook, M c G raw Hill, New Y ork 1961.
[2]. Ju.A .M itropolskij: M eto d u sred n eja w nelinejnoj m echanikę, N aukow a D um ka, Kijów 1971.
[3]. Ju.A .M itropolskij, B .I.M ossenkow : A sim ptoticzeskije rescenija zeraw nenij w czastnych proizwodnych, W yższa Szkoła, Kijów 1976.
[4]. Z.O siński: T e o ria drgań, w ydanie drugie, PW N , W arszaw a 1980.
• sinD^cosfo), t - - Ć i C j + - ( - ^ - s m 2ci+— C^C sin 4 a +
i L-i 8 0 2 c û 16
O
+ Bsina + eJ‘j(;c,r) +...].
W płynęło do R ed ak cji w grudniu 1993 r.
R ecen zen t: D r hab. inż. Jerzy Świder
A b stra c t
A p ro c e d u re for solving th e problem of transverse vibration o f a b eam m o u n ted by articu latio n w hen applying an asym ptotic m eth o d o f solution has b e e n p re se n te d in the p ap er.
T h e b eam u n d er analysis was loaded with axial force varying in tim e and with variable tran sv erse load being continuously distributed. T he assum ed m ath em atical m odel o f the b eam in a form o f a d ifferential eq u atio n of m otion with variable factors m ade the basic for testing o f p a ra m e tric vibrations and forced vibrations.
A n analysis bas b e e n carried aut as regards convergence in averaging w hen applying the asym ptotic m eth o d and a visible convergence of co m p o n en ts o f th e o btained expansion has b e e n found an d accep ted as sufficient in case o f th e assum ed m eth o d of solution.
