ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ¿LASKIEJ______________________ 1970 S erias INŻYNIERIA SANITARNA z . 16 Nr k o l . 278
S ta n is ła w Majewski
Katedra Budowli Komunalnych
WYKREŚLNA METODA DOBORU WYMIARÓW DWUTEOWEGO PRZEKROJU BELKI SPRĘŻONEJ
1 . Wstęp
Jednym z zadań, j a k i e musi z o s t a ć rozwiązane w p r o c e s ie pro
jek tow ania kablobetonowych elementów z g i n a n y c h ,j e s t wyznacze
n ie geometrycznych wymiarów przekroju poprzecznego b e l k i . Wy
miary t e muszą zapewniać dobranemu przekrojowi t a k i e parametry j a k i e w ynikły z warunków n ie p r z e k r o c z e n ia naprężeń oraz (powy
żej r o z p i ę t o ś c i g r a n ic z n e j ) z warunku w ykorzystania d ostępn e
go w danym przekroju mimośrodu. Danymi wyjściowymi do rozw ią
z an ia t e g o zadania są:
a) wysokość b e l k i h,
b) wskaźnik zg in a n ia d la w łók ien dolnych W1,
c ) p o ło ż e n ie o s i o b o jętn ej ok reśla n e w a r t o ś c ią X = T j d) wskaźnik wydajności przekroju ę = — .i 2
vv
Na podstawie t y c h c z t e r e c h danych można o b l i c z y ć powierzch
n ię przekroju oraz j e g o moment bezw ładności J , c o wraz z warunkiem na p o ło ż e n ie o s i o b o jętn ej daje t r z y równania.Ponie
waż przekrój dwuteowy ch a ra k tery z u je s i ę pięciom a n ie z a le ż n y mi wymiarami, dwa z tych wymiarów ( n a j c z ę ś c i e j grubości stopek) muszą z o s t a ć z a ło ż o n e , t r z y zaś p o z o s t a łe wchodzą jako n iew ia
dome do wspomnianego układu równań, które w tym przypadku są równaniami lin io w y m i. Rozwiązanie t e g o układu n ie n a s tr ę c z a
318 S t , M a j e w s k i
t r u d n o ś c i c h o c i a ż n i e zawsze j u ż p i e r w s z e p r z y b l i ż e n i e d a j e p r z e k r ó j z a d a w a l a j ą c y ze względów k o n s t r u k c y j n y c h . Z a d a n i e kom
p l i k u j e s i ę z n a c z n i e d o p i e r o w t y c h p r zyp adk ac h, k i e d y j e d e n z poziomych wymiarów p r z e k r o j u dwuteowego ma z góry o k r e ś l o n ą względami k o n s t r u k c y j n y m i w a r t o ś ć . Układ równań t r a c i wtedy swój l i n i o w y c h a r a k t e r , j e d n a z a ś z niewiadomych ( n p . g r u b o ś ć g ó r n ej s t o p k i ) w y s t ę p u j e k o l e j n o w pierwszym, drugim i t r z e c i m s t o p n i u . Rozwiązanie t a k i e g o u k ła d u w i ą ż e s i ę j u ż z t r u d n o ś c i a mi , wobec k t ó r y c h p r o j e k t a n t d e c y d u j e s i ę a l b o na metodę prób a l b o na d o b r a n i e p r z e k r o j u z pewnym nadmiarem. W n i n i e j s z e j p r ac y z o s t a n ą p r z e d s t a w i o n e wzory o r a z w yk r e s y , k t ó r e pozwala
j ą w s posó b b a r d z o s z y b k i d o b r ać wymiary pewnego t y p u p r z e k r o j u dwuteowego, j e ż e l i znana j e s t j e g o wysokość, w sk a ź n i k z g i n a n i a d l a w ł ó k i e n d o l n y c h , p o ł o ż e n i e o s i o b o j ę t n e j o r az wskaź
n i k w y d a j n o ś c i ę .
2 . Wyznaczenie s z e r o k o ś c i s t o p e k or az g r u b o ś c i ś r o d n i k a
Przedmiotem d a l s z y c h rozważań b ę d z i e p r z e k r ó j dwuteowy, w którym g r u b o ś c i g ó r n e j i d o l n e j s t o p k i s ą t a k d o b r a n e , że oś
w
o b o j ę t n a c a ł e g o p r z e k r o j u p r z e c h o d z i p r z e z ś ro de k c i ę ż k o ś c i ś r o d n i k a ( r y s . 1 ) .
Z ad a ni e p o l e g a na o k r e ś l e n i u wymiarów a , b o r a z c pr zy da
ne j p o w i e r z c h n i p r z e k r o j u ( F ^ ) , danym p o ł o ż e n i u o s i o b o j ę t n e j ( v , v') o r a z momencie b e z w ł a d n o ś c i ( J ) . U p r z ed n i o , w t r a k c i e w yz n a c za n i a wymienionych parametrów p r z e k r o j u z warunków wy
t r z y m a ł o ś c i o w y c h z o s t a ł a z a ł o ż o n a wysokość b e l k i h.W c e l u r o z w i ą z a n i a z a d a n i a n a l e ż y z a ł o ż y ć g ru bo ść g ó r n e j s t o p k i g .
Dla s p e ł n i e n i a warunku pokrywania s i ę o s i o b o j ę t n e j p r z e k r o j u z o s i ą c i ę ż k o ś c i ś r o d n i k a musi być;
v - g = v ’ - d .
W ykreślan metoda doboru w ym iarów .. 319
a
Rys. 1
Wprowadzając:
uzyskamy
v ’ = X ’ h
v = (1 -% ') h g « T h
(1 --X’) h - t h = X’ h - d d = (2 X ’ + T - 1) h .
;d
(2)
P o w i e r z c h n i a r o zp at r y w a n e g o p r z e k r o j u w y n i e s i e
= a . g + b . ( h - d - g ) + c . d (3a)
Suma momentów s t a t y c z n y c h względem o s i o b o j ę t n e j prowadzi do warunku
a . g . ( v - 0 , 5 g ) = c . d . ( v - 0 , 5 d ) .
320 S t* Majewski
Moment bezwładności przekroju względem o s i o b o jętn ej wyrazi s i ę jako
J = + a . g . ( v - 0 , 5 g ) 2 + +
♦ * c . d ( v U ) , 5 d ) 2 . (3 c )
Dla d a ls z e g o ro zw ią za n ia p rzek ształcim y n ie c o układ równań ( 3 a ) , ( 3 b ) , ( 3 c ) , wprowadzając do n iego z a l e ż n o ś c i (1 ) i (2) oraz dodatkowo
Fb = ■fth2 , J = Fbi 2 =
W ten sposób otrzymamy:
T a + 2(1 -TC’ - T ) b + (2X’+ T - 1) c = ^ h (4a)
c - ( 2 - T - 2X’) T (4b)
(1 - T ) (2 X ł* T - 1 )
[ l 3 + 121(1 - X 1- 0 ,5 T )2] a + 8(1 - X ’ - T ) 3 b +
♦ T - 1 ) 3 + 3(2%’+ T - 1) (1 - T ) 2] c =
= 12ę>%’ (1 - X ’) h- . (4 c) Rozwiązując układ ( 4 a ) f ( 4 b ) , (4 c ) uzyskamy
a = o C ^ h , (5)
b = c C ^ h , (6 )
c = cC i3«h. (7)
v
Wykreślna metoda doboru wymiarów 321
Te wzorach ty c h :
(|2>2 - i V <** &
¿ 2 - 0C2
(frg-ft,) fc, <*2 b “ « 1 i > 2 ” OC2 (Ł-|
« c = t rta ( 1° )
^ 1 - ‘T
CT1 * T ( 3 -2 x ’ - 2X)
c*2 = 1 2 ( 1 - * 0 ( 1 - X ’) X ’ g
t ^ C l - T ) ♦ (2-2X -T) [ 3 ( l - t ) ( 3 - 2 X - 2T) + (2X *- l+TJ^JJ
6 3(1 - t t W g 2 ~ 2 (1
* 1 ( 2 - ą i c - r )
t = ( 1 - t ) ( 2 x ’- i + r ) *
P rzed staw ion e wzorami ( 8 ) , (9 ) i (1 0 ) w sp ó łczy n n ik i oC , oC. ,
& D i (¿c z o s t a ły o b lic z o n e d la Q s 0 ,5 oraz s z e ś c iu w a r to ś c i T = 0 ,1 0 - 0 ,2 0 przy X ' zm ieniającym s i ę c o 0 ,0 1 . Wyniki ty ch o b li
czeń przed staw ion o na rysunkach 2 , 3 i 4 . Uzyskane t ą drogą wy
k resy pozw alają na łatw y i szy b k i dobór wymiarów przekroju po
p rzeczn ego b e lk i dw uteow ej. Sposób k o r z y sta n ia z tych wykresów i l u s t r u j ą przykłady zam ieszczone w dalszym ciągu p ra cy .
3 2 2 S t . Majewski
Kys. 2 . W a r t o ś c i współczynników oc . Opis r z ędn yc h d l a 3
ków krzywych położonych w lewym dolnym rogu rys unku
o d c i n -
W y k r e ś l n a m e t o d a d o b o r u w y m i a r ó w
Rys. 3. W a r t o ś c i współczynników oc
324 S t . Majewski
3 . Przykłady
Zadanie 1 . Zaprojektować przekrój środkowy kablobetonowej b e l k i wolnopodpartej o r o z p i ę t o ś c i 1 = 4 0 ,0 0 a i ob cią żen iu p=
= 1 , 0 T/m.
Zakładając:
w spółczynnik s t r a t re o lo g ic z n y c h i? = 0 , 8 5 , w spółczynnik w ydajn ości przekroju o = 0 , 5 ,
s 3
c i ę ż a r o b jęto ścio w y betonu t* = 2 , ? T/m ,
markę betonu R = 400 kG/cm , d la k tó r e j naprężenia dopusz-p
w g 2
c z a ln e wynoszą: k = 180 kG/cm , k = - 1 6 kG/co , ki = 140
2 2 0 2
kG/cm , kg = 160 kG/cm , k^ = kg = 0 kG/cm , wysokość prze
kroju h = 1 , 5 m,
otrzymamy n a stę p u ją ce parametry przekroju poprzecznego b e lk i:
W’ a 0 ,1 5 7 o 3 , X’ = 0 , 5 7 5 .
O b lic z a ją c & = — =---— = 0 ,2 1 9 i przyjmując grubość W górnej ę h (1-%)
s t o p k i g = 15 cm uzyskujemy d la X - g:h = 0 ,1 i &’ = 0 ,5 7 5 2 wy
kresów na rysunkach 2; 3 i 4
cCa = 3 , 4 7 ,
\ = 0 ,5 5 5 ,
<XG = 1 . 165.
Grubość s t o p k i d o ln ej wyznaczymy z z a l e ż n o ś c i (2)
d = (2X’+ t - 1) h = ( 1 , 1 5 + 0 ,1 - 1) 1 ,5 0 = 3 7 ,5 0 cm.
S z e r o k o ś c i stopek oraz grubość środnika obliczymy ze wzorów (5) , (6 ) i (7 )
a = 3 , ^ 7 . 0 , 2 1 9 . 1 , 5 0 = 114 cm, b = 0 , 5 5 5 . 0 , 2 1 9 . 1 , 5 0 = 1 8 ,2 cm, c = 1 , 1 6 5 . 0 , 2 1 9 . 1 , 5 0 s 3 8 ,2 cm .
Przekrój przedstawiony na rysunku 5 ma n a stę p u ją ce parametry:
Fb = 0 ,4 9 0 m3 ,
= 0 ,2 1 8 v ’ = 0 ,8 6 3 TC’ = 0 ,5 7 5 J = 0,1 3 7 8 m \ w’ = 0 ,1 5 9 5 m3 .
W ykreślna metoda doboru w y m ia ró w ..._________________________ 325
326 S t . Majewski 114
KJ
16
33
Rys. 5
Jak widać zgodność z danymi wyjściowymi j e s t bardzo dobra.
Pewne r o z b i e ż n o ś c i są spowodowane zaokrągleniami przyjętym i w wymiarach p rzek ro ju .
Zadanie 2 . Może s i ę zdążyć, że jeden z wymiarów poziomych przekroju dwuteowego ma narzuconą względami konstrukcyjnymi w sr- t o ś ć . Przyjmijmy, że szerok ość p ółk i górnej przekroju poszuki
wanego w zadaniu 1 musi wynosić 90 cm. Poszukujemy w ięc prze
k ro ju , d la którego:
W’ = 0 ,1 5 ? m3 ,
= 0 , 5 7 5 , Fb = 0,4-92 m2, h = 1 , 5 0 m ,
przy narzuconej s z e r o k o ś c i p ó łk i górnej a = 90 cm, wtedy jak poprzednio = 0 , 2 1 9 .
W ykreślna metoda doboru wymiarów. 32?
W oparciu o wykresy na rysunkach 2 , 3 i ^ zadanie może być rozwiązane w bardzo p rosty sposób.
Wiedząc, że
znajdujemy
a = cC A h =oC . 0 , 2 1 9 . 1*50 = 0 , 9 0
a &
« a ■ ■ 2 - ’ « .
Z wykresu na r y s . 2 odczytujemy, że d la %’= 0 ,5 7 5 oC wynosi 2 ,7 4 5 j e ż e l i X = 0 , 1 5 5 .
Dla T = 0 ,1 5 5 odczytujemy dodatkowo
<*b = 0 , 4 3
cC = 1 , 1 4 . c
Poszukiwany przekrój w in ien w ięc mieć n a s tę p u ją ce wymiary:
a = 90 cm, b = 1 4 ,1 cm, c = 3 7 . 4 cm, g = 2 3 ,2 cm, d = 4 5 , 8 cm .
Przekrój przedstawiony na r y s . 6 ma n a stę p u ją ce parametry:
Fb = 0 ,4 9 0 4 m2 , i3> = 0 , 2 1 8 ,
▼’ = 0 ,8 6 4 m, 1C’ = 0 , 5 7 5 , J = 0 ,1 3 4 7 m \ W = 0 ,1 5 6 m3 .
3 2 8 S t . Majewski 90
37
Rys. 6
Również w tym przypadku zgodność wyników z parametrami wynika
jącymi z warunków wytrzymałościowych j e s t zadowalająca.
S t r e s z c z e n i e
W pracy podano wzory oraz wykresy pozwalające na łatwy i szybki dobór wymiarów pewnego typu przekroju d w u teo w eg o,jeżeli znane są n a stę p u ją ce jeg o parametry:
a) wysokość h,
b) wskaźnik wydajności Q i j c) wskaźnik t ę g o ś c i $ = — *Fb
h
\ i V*
d; p o ło ż e n ie o s i ob o jętn ej o k reślon e z a l e ż n o ś c ią % = ■j- . Wzory t e mogą z n a le źć zastosow anie przy projektowaniu sprę
żonych elementów zginanych.
W ykreślna metoda doboru wymiarów.. 329
HA^EPTATEJIbHHM METOfl nOflEOPA PA3MEPOB flflyTABPOBOrO CE4EHHH nPE^BAPKTEJIbHO HAllPHHEHHOii EAJIKH
P e 3 u m e
B pafioTe npeflCTSBJieHbi (jbopuyjiu a Tajcxe ;nnarpauuhi no3Bajiii»iHHe JierKc u CbiCTpo noj;o6paTb pa3Mepu .uByTaBpoBOro ceue h h h b cjiyyae Kor^a H3BecTHti c^e^yBUHe ero napaueTpu:
a ) BbicoTa h , 2
6 ) noica3aTeJib np0H3B0j;HTeJibHg>CTii ę = »
b) n o K a s a T e a b h j i o t h oc t h <& = —j-
h , a’
r ) aozoxeayie HeiiTpanbHoii e c u onpeaejieHHoe 3Ha\ieiineM x'= . 3tk $opMyjiu MoryT ÓHTb »cnoJib30BaHhi npH npoeKTMpoBaHHe c o - n p a r a e M u x n3 m6 a e MHX sJi eaeHTCB.
A GRAPHIC METHOD OF DETERMINATION OF DIMENSIONS OF A I -SHAPED CROSS SECTION OF A PRESTRESSED BEAM
S u m m a r y
The formulas and diagrams g iven in t h i s paper make p o s s i b l e quick and easy d eterm inatio n o f a p a r t ic u l a r I-sh ap ed c r o s s sec t i o n s i z e s when th e f o llo w in g parameters are known:
a) th e depth h , 2
b) t h e e f f i c i e n c y f a c t o r g = ^ c) th e " stou tn es" f a c t o r 'd' = —p- >Fb
h
d) th e p o s i t i o n o f th e n e u tr a l a x is determ inated by th e fa c
t o r %’ = v : h .
These formulas can be a p p lica te d in d e s ig n in g o f p r e s t r e s sed beams.
