Wyznaczanie algorytmu sterowania w układzie otwartym ze sprzężeniem w przypadku systemu wodno-gospodarczego

Z ES Z Y K NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLASKIEJ 1983

S e r i a : AUTOMATYKA z . 68 Nr k o l . 767

KONRAD WOJ CI ECH) WSKI ZYGMUNT CIEŚLAK I n s t y t u t A utom atyki P o lite c h n ik a Ś lą sk a

WYZNACZANIE ALGORYTMU STEROWANIA W IKŁADZIE OTWARTYM ZE SPRZęZENIEM W PRZYPADKU systemu wodno-gospodarczego

S tre s z c z e n ie .W poniższym a r t y k u l e p rz e d s ta w io n o sposób w y zrac za n ia s t r a t e g i i o p ty m a ln e j, w y k o rz y stu ją c y jaw ną p o s ta ć ro z w ią z a n ia d y s k re ­ tn e g o rów nania lin io w e g o ,c o p rz y kwadratowym w skaźniku ja k o ś c i pro w ad zi do z a d a n i a , prograrnov£inia kw adratow ego rozwiązywanego

.algorytm em WolfeSa .P rz e d s ta w io n a metoda pozw ala na ro z w ią z a n ie systemów z a w ie r a ją c y c h w ie le z b io rn ik ó w ,z a ś jedynym o g ra n ic z e n ie m j e s t wymiar równoważnego z a d a n ia program ow ania lin io w e g o .

1 . Worowa dz e n l e -

Rozwiązywany p roblem podstawowy d o ty c z y r o z d z i a ł u zasobów w dw upozio­

mowej s t r u k t u r z e h i e r a r c h i c z n e j i^ e la sty c z n y m ^ p o w ią z a n ii^ zm iennych decy­

z y jn y c h poziom u d o ln e g o i górnego .W p o n iż s z y c h ro zw a ż a n ia c h badano wpływ w prov#dzenia dynam iki o d b io rcó w na zm ianą r e g u ł d e c y z y jn y c h , j a k rów nież p r z y j ę t o odm ienny sposób w y k o rz y sta n ia d o s tę p n e j in f o r m a c ji .m ia n o w ic ie

w s t r u k t u r z e o t v f i r t e j ze s p rz ę ż e n ie m .

W y k o rz y stu ją c a n a l i t y c z n ą p o s ta ć ro z w ią z a n ia d la doln eg o poziom u r o z p a tr y ­ waną z a g a d n ie n ie można s p ro v « d z ić do p o s t a c i

I M

P rzy o g r a n ic z e n ia c h

/ 2/

/ 3 / A / / 5 / / 6 /

124 JC.W ojciechostski, Z.Duda

g d z i e :

N - h o ry z o n t o p t y m a l i z a c j i ,

z n - o cen a z a p o tr z e b o v « n ia na wodę w c h w ili n - t e j ,

- w e k to r o k r e ś l a j ą c y i l o ś c i (poziom y) wody w z b i o r n i k a c h sy stem u , v - w e k to r odpływów z e z b io rn ik ó w i przepływ ów m iędzy z b io rn ik o w y c h ,

T 1 ,

w rz w - . « . . w - w e k to r z a p o trze b o w a ń n o m in a ln y c h d la o o s z c z e g o ln y c h

n n r ' n

o d b io rcó w ,

wn “ [ Wn * " * ' wn ] “ wek't o r ś r e d n ic h za p o trz e b o w a ń n o m in a ln y c h d la o d b io r ­ ców,

G - n e c l e r z s t r u k t u r y p o łą c z e ń d la zm iennych qn , j Gq- m a c ie rz s t r u k t u r y d la przepływ ów v n ,

F - m a c ie rz s t r u k t u r y d la dopływów d ,

o Jz jJ , , . . , z ^ ] - w e k to r o c e n z a p o trz e b o w a ń na wodę d la p o s z c z e g ó ln y c h o d b io rcó w ,,

A = d ia g [oc j - m a c ie rz "d y n a m ik i" o d b io rc ó w .

P ra c a z o s t a ł a o p a r ta na o p ra c o w a n iu wykonanym w Z e s p o le T e o r i i S te ro w a n ia w ram ach P ro b lem u Rządowego PR-7 pod k ie ru n k ie m p r o f . d r h a b .in ż .R y s z a r d a G e s s in g a .

2 .S fo rm u b v a n ie rozw iązyw anego p ro b lem u .

Do ro zw ażań p r z y j ę t o p rze su w n y h o ry z o n t o p t y m a l i z a c j i w raz z c h w ilą b ie ż ą c ą .D la n=k w ynosi on [ k ,k + a] , g d z i e A j e s t s t a ł e . Z a ł o ż e n i e t a k i e p ro w a d z i do s t r a t y o p ty n a ln o ś c i.k ' p ra c y [ i ] pokazano j e d n a k ,ż e d la p r o b l e ­ mu lin io w o -k u a d re to w e g o s t r a t ę t ą można u c z y n ić d o w o ln ie m ałą p r z e z d o b ó r o dpow ied n io ¡Mużej w a r to ś c i A .S ta n o w i to p r z e s ła n k ę do p r z y j ę c i a omawia­

nego z a ło ż e n ia .W p r z y ję ty m h o r y z o n c ie z a d a n ie o p t y m a l i z a c j i można ro z w ią ­ za ć w s t r i i c t u r z e z a m k n ię te j lu b o t w a r t e j z e s p r z ę ż e n ie m . Po le g a ona n a-ty m , ż e r o z w ią z <*ł ą c .n p . w k ro k u k - t y s z a d a n ie o p t y m a l i z a c j i w h o r y z o n c ie [ k , k + A ] za sia d am y s t a l e t ę samą in f o r m a c ję a r , p o d c z a s gdy w u k ła d z ie

zam kniętym Ł M e ż e ło b y u w z g lę d n ij m , n £ [ k ,k + A] , t j . in f o rm a c ja z m ie n ia ła b y s i ę w n o s z e , ogólnych c h w ila c h ro z p a try w a n e g o h o r y z o n tu .

U w z g lę d fia ją c p r z y j ę t e z a ł o ż e n i a nożna p roblem o p t y m a l i z a c j i ro z p a ­ try w a n y w c b n i l i k - t e j p r z e d s ta w ić w p o n iż s z e j p o s t a c i

W yznaczanie algorytm u . 125

P rz y o g r a n ic z e n ia c h

h ' ='n + fo ,G ]

n+1 n 1 o 1 +G(w -w ) +Fd

n n ' n

n+1 hk'

■— r> _n+1

.

•dane

A ( z -q ) ' n n1

/ 8 / / 9 /

qm in ^ °-n ^°-raa>:

min max

^tain ^ ^ n ^ ^mai:

/

/

/ 1 1 / / 1 2 / n = k , . . . , k + A - d o ty c z y w s z y s tk ic h o g r a n ic z ę :'.

K o le jn e p r z e k s z t a ł c e n i e ro zp a try w a n eg o p ro b lem u p o le g a na w yelim inow aniu o g r a n ic z e n ia / 9 / p r z e z u w z g lę d n ie n ie go we w skaźniku /7 /.K a n y

z k " W qk

zk+1-(Jk+1=Azk "A<iik"‘3k+1 +Vk+1 * # • • • •

Zk + A -cJk+A ^ zk “A a-k" * * *"qk+A +',k +a To samo w z a p i s i e macierzowym ma p o s ta ć

v qk

Tc+1- q k+1

zk+a~a-k+A I

A I k+1

k+A I

A I ‘k+1

-k-t*

/ 1 3 /

P rz y jm u ją c o g r a n ic z e n ia

-»T f aT - T - T 1

z sk “ l zk»wk+1 * * * * ’ Ak+Aj q śk " [ qk * qk+1 » • * * * G-k+n]

T r T T ^ T

v sk [ vk ’ vk+1 » • ■ " vk+nJ /1 A /

[■toina p r z e d s ta w ić w y ra ż e n ie / ? / w p o s t a c i l’ 51111 / z d r ' 9 P. . / i S 1i r % - q J

“ sk v sk

7 15/

126 K .W ojC iechow ski, Z ,C ie ś la k

Można ró w n ie ż odpow iednio p r z e k s z t a ł c i ć u k ła d o g r a n ic z e ń w s ta w ia ją c / 8 / do

h z !

Wynika s t ą d n a s tę p u j ą c a p o s ta ć o g ra n ic z e ń

•»s m l n ^ ^ ś k ^ ^ s nax

/

/

v s m l n < v s k < v s nax ; v / 1 7 /

hs n i n ' h s k - G*/w s k - '7ak / “ F d s k ^ * [ G*G0 ] h s narc-bsk-0

I s k v sk

"sk " s k ' sk / 1 8 /

g d z i e : q s ro4r>vg m ln h g m ln s ą w ektoram i w a r to ś c i m inim aln y ch o d p o w ied n ich zm iennych w h o r y z o n c ie k,k+A .Podobna uwaga d o ty c z y w a r to ś c i m aksym alnych

- Ł - K - . - i

G*=

G

• •

• •

. G

< ■

G o • r • Go

i

P . . . F

' W d a ls z y c h ro z w a ż a n ia c h b ę d i i e ró w n ie ż używana b a r d z i e j z w a rta p o s ta ć z a p i s u o g r a n ic z e n ia /1 B / m ia n o w icie

^ sk

's k ^ V hsk ' / 1 9 /

h s a l n - ^ s k ^ s k 7 - F^ s k 1 d~bsk< .-[<* C j

g d z ie ;

\ _

W r o z p a t^ y ^ n y m sfo rm u ło w a n iu o g r a n i c z e n i e / 1 8 / j e s t lo so w e p o n ie w a ż, zm ienne ęrs ’: *ds )ę s 4 zmiennymi losow ym i.

P r z y j ę t o , ę o g r a n i c z e n i e / 1 8 / z a s t ę p u j e s i ę o g r a n ic z e n ie m d e t e r m i n i s t y ­ cznym p r t j Jm ując w m ie js c e v s k > i c h o ceny w ^ ,

1d . ’"b-snin - G /w .-w / - ? d ,

mi n sk sk sk

1 _ gmf x =h smax-G/w , -w , / - P d

s£ sk sk

0 trzym a łc> ozronJLcr. c n i e d e t e r m i n i s t y c z n e ma p o s ta ć

Wyznaczanie algorytmu . ₁₂₇

W n - h s k < - I GX ] y J ^ 1 gnBX " h slc Z20/

O s t a t e c z n i e ,z a d a n i e o p t y m a l i z a c j i p rzeform ułow ane do p o tr z e b pro p o n o - Yfinej metody ro z w ią z a n ia ma p o s ta ć / 1 5 / p r z y o g r a n ic z e n ia c h n ie ró w n o ś c lo - wych / 1 6 / d o ty c z ą c y c h d e c y z j i ą ^ , / 1 7 / d o ty c z ą c y c h d e c y z j i y ^ c r a z o g r a n ic z e n iu . / 2 0 / w ynikającym z d o p u sz c z a ln y c h i l o ś c i wody w z b i o r n i k a c h ,

.n i

J

T q skT v sk

V/ w yniku ro z w ią z a n ia pow yższego z a d a n ia otrzym ujem y c i ą g i d e c y z ji

T T

qk « • • " ' J k + A j

T T I

vk ' • • " vk+nJ

C ią g i t e z a l e ż ą od w ek to ra i n f o r m a c ji na p o zio m ie górnym w c h w ili k - t e j , t j . od h j^ z ^ o r a z od danych a p r i o r i , t j . p aram etró w procesów dopływów i za p o trze b o w a ń n o m in a ln y c h .

P rz y podejm ow aniu d e c y z j i w c h w il i k - t e j znane są w e r to ś c i lic z b o w e • b ^ z ^ c o pozw ala na w y zn aczen ie i p o d j ę c i e d e c y z j i qk *v,..y/ c h w ili k+1 dysponujem y nową in f o r m a c ją hk+1>zk+1 wyznaczamy q s>i, + 1. vs k+1,p o d e j - . mujemy d e c y z je qk+1 ' v k+1'

R o zw iązan ie' z a d a n ia m in i m a l iz a c ji / 1 5 / p r z y o g r a n ic z e n ia c h / l 6 / , / l 7 / f / 2 0 / może byó u zy sk an e na d ro d z e num erycznej / d l a danych h^, o r a z d cj . , / p r z y z a s to s o w a n iu k tó re g o k o lw ie k z algorytm ów program ow ania kw adratow ego.

W o p ra c o w a n iu k o r z y s ta n o z a lg o ry tm u W olfea prow adzącego do z a d a n ia p ro ­ gram ow ania lin io w e g o o odpow iednio zw ię k sz o n e j w ym iarow oścl.

o .A g re g a c ja odbiorców -.

v«T sfo rm u ło w a n iu w p , 2 n i e precyzow ano szczegółow o s tr u k tu r y - p o ł ą c z e ń o d b io rcó w z e z b io rn ik a m i s y s te m u .S tru k tu r ę t ę w sp o só b o g ó ln y o k r e ś l a ł a m a c ie rz G w ró w n a n iu / 8 / . T a sama m a c ie rz w y s tę p u je w o g r a n ic z e n iu / 2 9 / . O b e c n ie ro z p a trz y m y t ę spraw ę sz c z e g ó ło w a .

E lem entam i m a c ie rz y G s ą zaw sze Je d y n k i . ’i n a jp ro s trz y m p rzy p a d k u G j e s t m a c ie rz ą d ia g o n a ln ą ,c o o z n a c z a ,ż e z każdym z b io rn ik ie m zw iązany j e s t je d e n o d b io r c a .

W p rz y p a d k u b a r d z i e j ogólnym w p o s z c z e g ó ln y c h w ierszach m a c ie rz y G może w ystępować w ię c e j n iż je d n a je d y n k a ,p rz y czym w kolum naeh t e j m acie­

r z y w y s tę p u je d o k ła d n ie je d n a je d y n k a .O znacza t o . ż e z jednym z b io rn ik ie m • może bvć zw ie za ra w ięk sza l i c z b a o d b io rcó w ; Jednak żad en z n ic h n ie k o r z y -

128 K ,W ojciech ow sk i, Z .C ie ś la k

s t a ró w n o c z e śn ie z dwu z b io rn ik ó w .

W n a j b a r d z i e j ogólnym p rzy p a d k u l i c z b a je d y n e k w w ie r s z a c h i k o lu ­ mnach m a c ie rz y G n i e j e s t o g r a n ic z o n a .

Po pow yższych w y ja ś n ie n ia c h ro z p a trz y m y j e s z c z e re z p ro b lem / l 5 / , / l 6 / , / 2 0 / p r z y n a s tę p u ją c y c h dodatkow ych z a ło ż e n ia c h :

- b ra k o g r a n ic z e ń na zm ienne q gJ. /n ie a k ty w n e o g r a n ic z e n ie /1 Ó //, - z danym z b io rn ik ie m j e s t p o łą c z o n a w ięk sza l i c z b a o d b io rc ó w . -b ra k o d b io rcó w k o r z y s t a j ą c y c h ró w n o c z e śn ie z dwu z b io rn ik ó w .

W d a ls z y c h z a p i s a c h p rz y jm u je s i ę r ó w n ie ż ,ź e składow e w ektora q „ , n = k , ., k+-a są uporządkow ane wg. p o w ią z a n ia k o le jn o , z 1 i następ n y m i z b io rn ik a m i.

Łatwo zauw ażyć, że o b e c n ie można w prow adzić nową zm ienną o k r e ś lo n a

na s t ę p u j ą c e : \

G q n = e.n n “ k ’ • • • » k+A / 2 1 /

F iz y c z n ie zm ienną en i n t e r p r e t u j e m y ja k o d e c y z ję o sumarycznym pobo­

r z e z p o s z c z e g ó ln y c h z b io rn ik ó w s y s te m u .P o d s ta w ie n ie / 2 1 / można z a p is a ć ró w n ież w b a r d z i e j z w a r te j p o s t a c i

Js q sk° eBk / 22 /

g d z i e : T q sk

T e sk

f ! T

L°-k ’ * * • * qk+Aj 1 ek+A G » d ia g [g, . . . ,g|

P o d s ta w ia ją c / 2 2 / do o g r a n ic z e n ia / 2 0 / wyrażamy j e p r z e z nową zm ienna e sk*r%

^m in“ " s k ^ “ ‘ e sk“ v'o Vs k ^ *gmax“ h sk / 2 3 /

g d z ie :

’ I

I - n a c i e r z je d n o s tk o w a .

P o w s ta ły o b e c n i» y ro b le m m in i m a l i z a c j i ca p o s ta ć

W yznaczanie algorytm u . . . 129

smm >s s k^ snox

Ad a in ~ ‘'sk ^ ~ Tes;:“ GoVsk ^ 1gcsoc“llsk

Problem t e n można ro z w ią z a ć a n a l i t y c z n i e z e w zglądu na zmienno o„, . O trzym ujem y w te n sp o só b problem cz ęścio w y 'nazywany d a l e j problemem a ; r e - g a c j i . I i a on p o s ta ć

3,= min / z ski-qs k / T3T3 / S sk- q sk/ / Zk f

q sk

Gs "sk = e sk . / 25/

R o zw iązu jąc a n a l i t y c z n i e p ro b lem / 2 4 / , / 2 5 / o k re ś lim y fu n k cjo q sk f / e s’' /

P o z o s ta n ie do r o z w ią z a n ia problem

3 = min /2Ó /

e sk v sk

's m in 55, sk^> snax 2 7 /

1 dmin- h s k ^ '- i e s k - GoVs k ^ 1gmax- h sk

P orów nując pro b lem /1 5 / p r z y o g r a n ic z e n ia c h / l 6 / , / l 7 / , / 2 0 / z otrzymanym, pow yżej / 2 6 / , / 2 7 / » / 2 8 / w id z im y ,ż e r ó ż n ią s i c o n e /y m ila ro w o ś c ią . .r p ie r.:, z n ic h w y s tę p u je m in im a liz a c ja wzglądem zm ien n ej q l,. m a ją c e j 5:-A skl-id: uys'r w drugim względem zm ien n ej e ^ , o r. sk ła d o w y c h .P o n ie tfii zaw sze : „4 , a w p r a k t y c e K 4ŁH a g r e g a c ja o d b io rc ó w pozw ala na zn aczn ą re d u k c j wyr i a - ro w o śc i rozw iązyw anego n u m ery czn ie pro b lem u program ow ania kw adratow ego.

k .R o z w ią z a n ie a r o b i emu a r r e ~ a c j i

P roblem a g r e g a c j i a o l e g a j r c y na m in i m a l iz a c ji / Z U f p r z y o g r a n ic z e n iu / 2 5 / r o z w ią z u je s io w sposób k la s y c z n y p rz y u ż y c iu r.nożnljtow L a g r c n y e 'a . Famy

/T„T,. /

qs k - v / / 3 ‘ B r - o s ^

130 K.Wojciechowski, 2.Cieślak

g d z ie

•X J gT/bV 1G ] _ 1 / e . - G Tz / sk 1 s ' ' s J ' sk s s k ' o s t a t e c z n i e

• 4 4 - # _ 1g śK / 2 9 /

U w zg lę d n iając / 1 9 / można m inim alizow any w skaźnik / 2 6 / p r z e d s ta w ić w p o s t a c i form y kw ad rato w ej zm ien n e j e ^ .M a o m p o s ta ć n a s t ę p u j ą c ą

" e s k - / 3 o /

g d z i e z ^ . j e s t zagregow aną p o s t a c i ą w ek to ra z ^ t j .

z sk r T ? u s sk

D a ls z a c z ę ś ć p r o b l e m u ,t j . m in im a liz a c ja form y kw adratov/ej / 3 0 / p r z y o g r a ­ n i c z e n i a c h / 2 7 / , / 2 3 / może być ro z w ią z a n a j u ż t y l k o na d ro d z e n u m e ry c z n e j.

P o dobnie ja k w p r o b le m ie b ez a g r e g a c j i wyznaczono o p ty m a ln e w ie lk o ś c i zm iennych d e c y z y jn y c h e ok, v c)r w c h w il i k , k t ó r e z a l e ż ą od wek t o r e in f o rm , b i e ż ą c e j w c h w il i k t j .¡^ » z ^ .V ie k to r h j.o d d z ia ły w u je p o p rz e z o g r a n ic z e n ie /2 8 /( n a to m ia s t z^ w y s tę p u je w w e k to rz e z r ,..

5 . P rz y k ła d .

System ro z p a try w a n y w p r z y k ł a d z i e ma s t r u k t u r ę p r z e d s ta w io n ą r e r y s . 1 . Z aw iera on je d e n z b i o r n i k o d o p ły w ie d f o d p ły w ie v n ‘^ e z b i o r n i k a k o r z y s ta c z t e r e c h o d b io rcó w o zm iennych k o o rd y n u ją c y c h ' ą ' t ą^.K ażdy. z o d b io ­ rców p o s ia d a z b i o r n i k wyrównawczy.

W yznaczanie algorytm u . ₁₃₁

R o z s z e rz e n ie ro zp atry w an eg o p rz y k ła d u na p rzy p a d ek system u z a w ie r a ją ­ cego k i l k a z b io rn ik ó w n ie sta n o w i o g r a n ic z e n ia d la b ad a n ej a k t u a l n i e me­

to d y .

P rz y k ła d j e s t p o d z ie lo n y na dvtó fragm enty.'.'/ c z ę ś c i a n a l i t y c z n e j doko—

W drugim fra g m e n c ie p r z y k ła d u p r z y ta c z a s i ę -wyniki o b lic z e ń num erycznych.

5.1 .A g re g a c ja

O dpow iednio do s t r u k t u r y system u 1 wzorów z p . 2 . k o le jn e p o s t a c i e m in i­

m alizow anego w skaźnika j a k o ś c i s ą n a s tę p u j ą c e : w sk aźn ik d la c a łe g o system u w h o ry z o n c ie c.

w sk aź n ik po u w z g lę d n ie n iu o g r a n ic z e ń rów nościow ych-rów nania dynam iki odbior­

ców

n u je s i ę a g r e g a c j i zm iennych k o o rd y n u ją c y c h ą 1/ . / według z a le ż n o ś c i z p . 3 .

w sk aźn ik po u w z g lę d n ie n iu praw a s te ro w a n ia na povz io m le dolnym

np. d la A »3

132 K .W ojC iechow ski, 2 . C ie ś la k

1 0 0 0

A I 0 0

A-3 A2 A I

Zagregow ana zm ienna d e c y z y jn a w yraża s i ę z a l e ż n o ś c i ą

”

er,

t l 1 1 1 ]

lu b w z a p i s i e d la c a łe g o h o r y z o n tu A ' s ^ sk " e sk

f r T

's j T

1 1

1 1 1

1 1 1

O ptym alne d e c y z je ą ^ . -w z a l e ż n o ś c i o d zm iennych, za g reg o w an y c h e ^ w y rażaj?

s i ę z a l e ż n o ś c i ą / p o r . z / 2 9 / / .

ł sk S sk - / 3 V \ [ a > V V 4 - 1^ .sk - e sk A g d z i e : ^ r-T i

s sk

l u b w z a p i s i e b a r d z i e j szczegółow ym

e s k / W skaźnik po w ykonaniu a g r e g a c j i ma p o s ta ó

V / 4 - e * / * l c > V 1

D la m o ż liw o śc i p o rów nania w yrażeń na d e c y z je k o o r d y n u ją c e w z a l e ż n o ś c i od z m ie n n e j z a g re g o w a n e j,u z y s k a n e w u k ł a d z i e zam kniętym i o tw arty m z e s p rz ę ż e n ie m m l e ż y w yznaczyć m a c ie rz

/bTb / - 1 o r a z [ c * /B TB / " 1 C3] “ 1 ■

D la u p r o s z c z e n ia o b l i c z e ń p r z y jm u je s i ę w t e j c z ę ś c i p r z y k ła d u A =1 1 2

o r a z dwu o d b io rc ó w o zm ien n y ch k o o rd y n u ją c y c h qn ,q £ n = k , . . . , k + A . Jteray

I 0 A I

W yznaczanie algorytm u . . .

133

3 i B

I ,A A A2 + I

r . 2 + 1 -A

0 1 Q

1 c

^

0 1+iCj- 0

1+ot2

1 + 4 o

o 1 + a 2 ^{"* 1}₀ 0

1-^ 1 0 1 0

s1

1 0 0

0 1 1

1+1 Gs i /b^b1/ - 1gs1 ,

/ o * /bTb1/ - 1.gs1/ -i 4

m = « 2 + o t2 _ 2oC|OC2 + A

4 + 1 + 4 —0Ç, -(X ,

o<i + « 2

« + c*

1 2

/1-mX2/+ /1 +o| /

Gs l / Gs1 / ß l V 1 Gs / ^-1 m¹

2 *1 + o<2

2 ° s + * 2

V *2

*r

*1 +*> + 4 +

/ Br B l/ ' lGs 1 /Gs l / B i B 1/ t G s i r 14

tX^-Ot o¿2+2 O tf-« i « 2 + 2 -«1 + * 2

*1 - * 2

/ - « ^ / / l - * , o(2 / M , - < V / i - < * <*2/

« 2 - <*,<*2 + 2 OC 2 _ 0t1 Ot2 + 2

P rz y jm u ją c , t e w rozpa'tryw anym p rzy p a d k u

z zsk

<*P Zk + zk y k + l+ *k+1

\

2 1 3 zk

Í11 ^sk

k+1

*¿+1

1 a-k

1 1k+1

2 tlk+1

's)>

k+1

**r\>

134 K .W oJciech on sk i, Z .C ie ś la k

1>trzymujemy n a s tę p u j ą c ą p o s ta ć szcz eg ó ło w a w zoru na o p ty m a ln e zm ienne de­

c y z y jn e q £ ,q £ +1 1 - 1 ,2 w yrażoną w f u n k c j i

•*k2 - H r % { ^ i - rti ^ + 2 //S k +Sk - ek /+ /c ti - c 2/ / l - ° i a 2/ / ^ +i +^

E I / - ° ^ / / S k^ k - e y : /+/ofl - tfl “ '2+ 2 //w k +1 +vk +1 ‘ ek* 1 / }

q^ 1 " ^ +1" “ ^ 0tr ° 2 / / z k +zk - e k/ + +2/ / wk + i +\ +i - e k+1/ }

.

W p rz y p a d k u gdy o d b io r c y m ają Jednakow e w s p ó łc z y n n ik i d y n a m i k i , t j .

^ » <^2 - 04 otrzym ujem y

01 *1 1 / £1 ~2 /

qk “ k ~ 5 ^ t + zk - ek^

02 ^2 1 / *1 *2

1k " z k “ 5 ' zk +2k " ek /

0 1 - 1 1 / - 1 /

qk+1 c wk+1 " 5 / V'k+1' + ' ‘k + l _ * k + r

OziBcza to , ż e optymalna defcyzja ąj?5- 1 = 1 ,2 z a le ż y t y lk o od d e c y z j i za­

gregow anej e^jE-nie od i c h c ią g u w rozpatrywanym h o r y z o n c ie .

5 . 2 . Z a ło ż e n ia do o b lic z e :: num erycznych.

Po w ykonaniu a g r e g a c j i p o z o s t a j e do r o z w ią z a n ia z a d a n ie o p ty m a liz a c ji w p o s t a c i

J = min / z ^ - / 3 T3 r 1 e j “ 1 / z ^ - e ^ /

‘lek Vsk

P rz y o g r a n i c z e n i a c h ,k t ó r e w rozpatryw anym p r z y k ła d z ie z a p is a n e w f o r ­ m ie n ie ró w n o ś c i- p o je d y n c z y c h s ą n a s t ę p u j ą c e /p o ró w n a j z / 2 3 / /

-T -T '

^dmin “ hsk

T T e sk'

>

- 1 dmax + hsk

0 X v sk v sn in

0 I —Vsmax

O g r a n ic z e n ia t e u p r a s z c z a ją s i ę d a l e j , J e ż e l i p r z y j ą ć i s t n i e n i e z b io ­ rn ik ó w wyrównawczych z k tó r y c h J e s t pokryw ana r ó ż n ic a pom iędzy w^ i / p a t r z / 1 9 / i d a l s z e / . V p o ł ą c z e n i u z e s t r u k t u r ą sy stem u z r y s . 1 .mamy

1d n in ~ “ sm in ' ' ^ sk ^

+1- e f c + l/j -

W yznaczanie algorytm u . ₁₃₅

1 - W T ^max

qmax ” n smax " 1 a sk

Danymi a p r i o r i s ą p a ra m e try procesów dopływów d n n - , , . . , k + A i za­

gregow anych zap o trze b o w a ń n o m in aln y ch Y wj: , n » k , . . .,k + A .P ro c e s y t e i- 1

p r z y j ę t o ta k samo Ja k w p r z y k ła d a c h z p ra c [2] , (3 j .D la o k re s u ¡p ierw sze g o ro k u i b ila n s ó w m ie s ię c z n y c h p rz e d s ta w io n o J e p ra c y [u] .

Na p o d s ta w ie t a b . 1 ,2 z p ra c y [4] o k re ś lo n o i n t e r e s u j ą c e p a ra m e try ty c h p ro c e só w .D la dopływów d R s ą to w a r to ś c i g r a n ic z n e w h o ry z o n c ie A , t j . c i ą g i d ^ n , d ^ x « D la p r o c e s u zagregow anego za p o trz e b o w a n ie m inim alne­

go j e s t to je g o w a rto ś ć ś r e d n i a , równa p r z y z a ło ż e n iu n i e z a l e ż n o ś c i ,p o t r z e b ­ n e j sum ie w a r to ś c i ś r e d n ic h za p o trzeb o w ań n o m in aln y ch p o sz c z e g ó ln y c h o d b io rc ó w .

Również danymi a p r i o r i s ą w ie l k o ś c i o g ra n ic z e ń d la zm iennych v n i po-, ziomów wody hn «W rozpatryw anym p r z y k ła d z ie z a ło ż o n o .,ż e o g r a n ic z e n ia t e n i e z a l e ż ą od c h w il i b ie ż ą c e j .Wobec pow yższego c i ą g i v srni n ,V '-nax, h sm in' hsma x n a j ą równe w s z y s tk ie w yrazy .K o n k retn e w a r to ś c i lic z b o w e o g ran ic zę .', przyjm owano j a k w p r z y k ł a d z i e z p ra c y [ 2J .

Danymi b ie ż ą c y m i s ą h ^.z^.W o b l i c z e n i a c h przyjmowano j e n a s tę p u ją c o : d la h k przyjm ow ano l \ , i n . \ a x ' ł / h min+hmax/ d la ak w>rbrano « r t o ś c i l i c z b o ­ we z p r z e d z i a ł u 0 . 2 - f - 1 .2 .

5 . 3 . R o z w iąz an ie num eryczne 1 Jeg o d y s k u s ja . R o z w iąz an ie num eryczne p ro b lem u Ó p ty m a liz ą c jl

/ 2 l k - e s k /T Ig> t b/g6] - 1 - 8sk/

e sk Vsk p r z y o g r a n ic z e n ia c h

-T ""Am »cmin - T d^ n

T T ’ e sk

>

- h smax + T dS X

0 I v sk v srain

A I

w yrażono w p o s t a c i r e g u ł d ec y z y jn y c h

136 X .W o jciech o w sk i, Z .C ie ś la k

o O /, /

v = v sk / h k » *k 1

gćfiie: b,, = 0 .0 , 1 .1 , 2 .2 '

■= 0 . 4 , 0 . 8

OS, = 0 . 4 <*2 „ o . 5 , «2 = 0 .1 , « 4 = 0 . 2

Ze w zględu na sk o ń czo n ą l i c z b ę w a r to ś c i a p g u m e n tó w ,fu n k c je t e mogą być p r z e d s ta w io n e t a b e l a r y c z n i e .

R eguły t e s ą porównywane z uzyskanym i m etodą s i a t e k w [2] d la .ta k ie g o samego p r z y k ła d u ,p r z y ty c h samych d a n y c h .P rz e d porów naniem przypom nijm y, ż e r e g u ły / 3 1 / otrzym ano p r z y i s t o t n i e z m ie n io n e j m e to d z ie o p ty m a liz a c ji

/

i zw ią za n y ch z n i ą n a s tę p u ją c y c h z a ło ż e n ia c h :

1 .O ptym alne d e c y z je w yznaczone s ą w s t r u k t u r z e o t w a r t e j z e s p rz ę ż e n ie m . 2 . H o ryzont o p t y m a l i z a c j i ma s t a ł ą d łu g o ś ć h c h w il i zw iązany j e s t z chw i­

l ą b i e ż ą c ą .

3 . Dynamika o d b io r c y zagregow anego j e s t z a le ż n a od w sp ó łc z y n n ik ów dynam iki po sz c z e g ó ln y c h T&gregowanych o d b io rc ó w .

Z a ło ż e n ia t e u m o ż liw ia ją p r o s t e ro z w ią z a n ie p o sta w io n e g o z a d a n ia o p ty m a li­

z a c j i , mogą je d n a k powodować s t r a t ę o p ty m a ln o ś c i.

W ystępow anie t a k i e j s t r a t y można zauważyć p r z e z p o ró w n a n ie r e g u ł d ec y zy j­

nych o trzy m an y ch o b e c n ie z e ś c i ś l e optym alnym i uzyskanym i w [ 2 ] . -

P orów nania p rze p ro w ad z a s i ę ta k by uchw ycić wpływy z a ło ż e ń 1 ,2 na s t r a t ę o p ty m a ln o ś c i.

5 . 3 . 1 . S tan y z a b r o n io n e .

W t a b l i c a c h d e c y z y jn y c h w yznaczonych w [2] w s tę p o w a ły s ta n y z a b r o n io ­ n e ,ro z u m ia n e ja k o t e w a r to ś c i h,K, z k ) d la k tó r y c h . p r z y z a ło ż o n y c h oc.enach d la p r o c e s u dopływów n i e mogą być s p e łn io n e o g r a n ic z e n ia w k tó ry m ś z e t a ­ pów z h o ry z o n tu [ k ,u ] .D l a w a r to ś c i h,r b l i s k i c h z e r u w y stęp o w an ie ty c h stan ó w b y ło konsekw enc j ą p o ś r e d n ie g o o g r a n ic z e n ia na .w a rto ść m inim alna p ,..

XV

V rozwiązywanymi o b e c n ie p r z y k ł a d z i e n ie z a ło ż o n o o g r a n ic z e n ia na w a rto ś ć ek /od p o w iad a ona p,r/ , c o spowodowało n i e w y s tą p ie n i e sta n ó w z a b r o n io n y c h . S tą d p o ró w n a n ie re g u ł d e c y z y jn y c h w ty c h p u n k ta c h o d p o w ied n ich t a b l i c d e c y z y jn y c h n i e j e s t m o żliw e.

W yznaczanie algorytm u . . .

137

5 . 5 . 2 . './oływ zm iany s t r u k t u r y z zam knlote.1 na o t w a r t ? z e s n r z o ż e n l o r ,

D la p o k a z a n ia wpływu zmiany s t r u k t u r y na ew e n tu aln a s t r a t ę o p ty m a ln o śc i porównywano r e g u ły d e c y z y jn e uzy sk an e w [2] w e t a p i e N - A z uzyskanymi o b e c n ie d la k=11 i A =1 o ra z k=10 i A = 2 .Powyższy dobór numerów po-równy- wanych etapów wynika z d ą ż e n ia do u s u n ię c ia ubocznego wpływu ruchomego h o ry z o n tu o p t y m a l i z a c j i .

D la A =1 tj.k = 1 1 o b ie porównywane t a b l i c e ca j ą Id e n ty c z n e w a rto ś c i d la hj, = 0 .0 , 1 .1 , 2 .2 zk = zj; = 0 .4 , 0 . 8 .

Dla A a 2 t j. k = 10 w t a b l i c y u zy sk an e j w 1 2 } d la h, = 0 . 0 i z, = 0 . 4 ,

a t \ r .

0 . 8 w y s tę p u ją s ta n y zab ro n io n e.'.'/ p o z o s ta ły c h p u n k ta c h t j . h,^ = 1 .1 ( 2 .2 , z^ =. 0 .4 , 0 . 8 obydw ie t a b l i c e m ają id e n ty c z n e w a r t o ś c i .

O znacza t o , ż e d la ro zp atry w an eg o .p rz y k ła d u 1 p r z y ję ty c h w nim danych zmia­

na s t r u k t u r y n i e spowodowała s t r a t y o p ty m a ln o śc i p r z y z a ło ż e n iu ,ż e t r a j e ­ k t o r i a n i e ro zp o c zy n a s i ę stanem zabronionym ,bow iem wtedy poró w n an ie n ie j e s t m ożliw e.

5 . 5 . 3 . Wpływ ruchomego h o ry z o n tu o p t y m a l i z a c j i .

W porównywanych r e g u ła c h d ec y z y jn y c h e f e k t pochodzący od h o ry z o n tu o p t y m a l i z a c j i p o ja w ia s i ę je d y n ie w ty c h e ta p a c h ,w k tó r y c h p rzy z n an a i l o ś ć

\vody e ^ / p ^ / j e s t m n ie jsz a od zk ■='££.

V/ t a k i e j s y t u a c j i w e ta p a c h 1-5 i l o ś c i p rzy z n aw an e j wody z a le ż ą od d łu g o ­ ś c i h o r y z o n t u . P a t r z , n p . e ta p 2 b.^ = 0 .0 , z |,p o d o b n le e ta p 4 h ^ » 0 ,0 ,z ^ = 0 .4 . N ajw ię k sz a i l o ś ć p rzyznaw ar» J e s t p rz y a =1, n a jm n ie j sza d la p e łn e g o hory­

z o n tu stosow anego w [ 2],. Wy s t ę p u j ą c e r ó ż n ic e n ie są z b y t w ie lk ie 1 wynószą o k o ło 10 - 15^6.

Ten e f e k t można w ytłum aczyć b i o r ą c pod u v o g ę ,ż e w e ta p a c h 1 - 5 n a s tę p u j e s t a ł y w z r o s t dopływu p r z e k r a c z a ją c y nom inalne z a p o trz e b o w a n ie s t ą d "k ró tk o w z ro c z n e " h o ry z o n ty A = 1 ,2 prow adzą do z w ię k sz e n ia i l o ś c i p rzy z n aw an e j wody .N a to m ia s t "dalek o w zro czn y " h o ry z o n t d la c h w ili uw zglę­

d n ia ju ż spadek dopływ u w y stę p u ją c y 00 e t a p i e 5.

[1] G eosing r . ,D a ta r n ik NCGterowanie ę / ę t / r t l n e r r z y h o ry z o n c ie skończ-.- nym .Archiwun A utozn tr/Sii i T e l e - s c h a r .i k i , 1975, t

,

138 K.Sg¿Cie c h o w s k i, Z .C ie ś la k

[ ż ] S e s s in ^ 1» i i n r i i K etoda s y n te z y s to c h a s t y c z n i e c ę t y t a l n y c h re jn a ł d łc y z y jn y c r. r o z d z i a ł u zasobów w s t r u k t u r z e h i e r a r c h i c z n e j . I-raca z le c o n a p r z e z I n s t y t u t I n ż y n i e r i i Środow iska. P o l i t e c h n i k i V - r s z a w s k i e j . te rs z a w a 192',

f l j G ecsŁas S . i i n n i ; h e ro d a i a l g o r y t a y s te r o w a n ia s t o c h a s t y c z n i e c s ty a a ln e c ® z b io re m o b ie k tó w w s y s te m ie wodno—gosjaoidsrczym, C z . I I . B a d a n ia t e o r e t y c z n e i s y m u la c y jn e . P re c a z le c o n e p r z e z I n s t y t u t I n ż y n i e r i i Ś ro d o w isk a P o l i t e c t o l k i W arszaw ski e j . M arsza vn 1990

§A| SłarŁnzfca EL, C i e ś la k Z . f Duda Z . : 1 te r o w a n i- s to c h e s t y c z n i e o p ty ­ m alne p i s y różnym s p o s o b ie w y k o rz y sty w an ia I n f o r m a c j i pom iarow ej

■w p ro s ty m s y s te m ie u o d n o -c o s p o d a rc z y a . Z a s z y ty K-anbcM® P o l i t e c h n i k i Ś l ą s k i e j . Z .5 3 ..C liw ic e 1921 .

o o F E s a p r a E A i r o p i m t t . t u p a b s e b m b p & a o r a n M cm ctem e C auS H E E S E M JJEH B 050I03a& IB SH B 02 ratrrraiK

/ PesEBa /

S f B & a a tp e a c r a i n e H c n o e o d o n p e jta z e e x s o a r m a r a a o B c T p a ie -

t s u „ łntrirajPKipsBCTg a hjshou a x x e p e a e m e js a c ^ p e is a r o nsH eSH oro jP & ie £ h * h . Bpat xja&mpuica xaaj^paTBOM o o s a s a i e a s a a ^ s t r a a a t o ąpDDnpra' x a a i a p e ja ajtp aT H o ro n p o rp a x u x p o z a s x a , pemaesioz) a u ro — px rx o H B o a Ł |a . 3pejiCTaxxeHHHi « e t o a n o a s a i s e i h e pem enae sbnoxostE&DT»EEno3 c a c T e x a , co cT o a^eS 23 łffiiom r BDaoipamMzm . 3$EBtCT522sai o ip a sa ^ e H a e si a a r o n curytae s u t s e T c a pasjsepHOCTB Toxije»cT»eaHOTo a a s a n a a j a n e i n o r o n p o x p an M ip ax a sx x .

c m m m , u s i i g i i m o p e ii- s g o ? -pasasw ac- s i r s « ; f o r w a te r S llK L l SX32S3J

Suniraarv. 'The p ro b le m o f o p t i n a l s t r a t e g y deial£ii 1b c o n s i d e r r s t i . a b e ¿ j q p llc lt® I o r a o f t h e e o l u t i o n f o r d i s c r e t e l i n e a r e q u a - i n itnsedD mmd e n a b le n t o a p p l i e t h e ' J o l f a l ’ triiH h n f o r q u a d r a - . t i e jpr^yT®ffinday: when t h e p e r f o r tm n c e in - ie z i s c c n s liŁ e r e d , T h is rteittewfl a llo ® 3 1® s o l v e e y a t e n s w ith carpr r e s e r v o i r s a n d th e dim en­

s i o n o f a n e q o l v a l e s i l i n e a r p r c - r a i a i i n y p ro b le m i s t h e o n ly l i m i - t n t l c a a .