Notitie m.b.t. de probalilistische benadering van de veiligheid van een duinkust

(1)

N o t i t i e S-79.027-3

Naar a a n l e i d i n g van de d i s c u s s i e i n werkgroep 5 op 30 november j . 1 . m.b.t. de p r o b a b i l i s t i s c h e benadering van de v e i l i g h e i d van een

d u i n k u s t en eerdere d i s c u s s i e s i n h e t kader van de subgroep R i c h t l i j n Zeeland h e t volgende.

I k vraag m i j a f o f h e t j u i s t i s

om

b i j een s t e r k eroderende d u i n k u s t onderscheid t e maken i n e n e r z i j d s " g e l e i d e l i j ke teruggang" en ander- z i j d s d u i n a f s l a g door stormvloeden.

Een stormvloed i s s l e c h t s een combinatie u i t de h e l e verzameling com- b i n a t i e s van g e t i j , golfhoogten, opwaaiing, w i n d r i c h t i n g e t c .

Wordt h e t optreden van z o ' n combinatie a l s een s t o c h a s t i s c h proces gezien en a l s g e v o l g daarvan de optredende k u s t f l u c t u a t i e s evenzo dan i s i n een g e r e g i s t r e e r d e t i j d r e e k s van bv. de p o s i t i e v.d. d u i n - v o e t o f h e t zandvolume i n een r a a i , s t a t i s t i s c h g e z i e n h e t e f f e c t van stormvloeden en dus ook van de superstormvloed i m p l i c i e t aanwezig. Daar komt b i j d a t a l s we a l i n s t a a t z i j n h e t v e r s c h i j n s e l d u i n a f s l a g goed t e besctïri jv e n , we de g e l e i d e l i j k e teruggang m . i . w e l l i c h t

n o o i t goed z u l l e n kunnen b e s c h r i j v e n daar i n de i n de p r a k t i j k ge- meten k u s t f l u c t u a t i e s ook h e t e f f e c t van stormen met d u i n a f s l a g aanwezig i s en h e t m i j n i e t m o g e l i j k l i j k t deze t e scheiden.

I n d i e n aangenomen mag worden d a t de f l u c t u a t i e van de p l a a t s van de d u i n v o e t ( z i e b i j l a g e 1 ) een s t a t i o n a i r Gaussisch proces i s , dan z i j n e r w e l l i c h t a a r d i g e dingen m o g e l i j k : z i e n l . de a n a l o g i e met de s t a - t i s t i sche benadering van h e t v e r s c h i j n s e l windgol f / d e i n i ng i n h e t c o l l e g e b78 van B a t t j e s . Onderstaand i s e.e.a. nader aangegeven. Beschouw b.v. onderstaande f i g u u r :

H i e r i n i s de p o s i t i e van de d u i n v o e t aangegeven i n de t i j d . t-

(2)

De

plaats

van

de D.V.

kan

beschreven worden door de functie

f ( t ) .

Het verloop

van

f ( t ) i s g r i l l i g ; toch i s wel een

trend

aanwezig.

Deze trend

i s

t e bepalen met een regressieanalyse. Het g r i l l i g e

verloop wordt benaderd door een rechte

o f

gebogen

l i j n

die een

zo

goed mogelijke schatting van het gemiddelde verloop geeft. Stel

dat deze l i j n gegeven

i s

door a

=

a ( t ) .

De ruis (residu) die o v e r b l i j f t

rond

de l i j n a

=

a ( t )

beschouwen

we a l s een stochastisch proces.

De

momentane uitwijking t . o .

v.

a

=

a ( t) noemen we

x(

t )

.

Er g e l d t d a n :

f ( t ) =

a ( t )

+

x(t).

Wanneer we

n u

veronderstellen dat het proces

& ( t )

s t a t i o n a i r en

Gaussisch i s

z i j n

de volgende beschouwingen mogelijk.

1.

Beschouwing

van

de verdeling

van de hoogten van de maxima

2, ( i n d i

t

geval de maxima1 e dui nvoet teruggangen)

Deze maxima z i j n bepaald door de neerwaartse nuldoorgangen van

In

het vervolg beschouwen we het genormeerde proces

( g ( t )

1 Het proces [ ~ ( t ) ]

heeft a l s variantie

öX =

m

.

Voor

( g ( t ) } g e l d t

p . d .

( g ( t ) } =

-

2 O F O -

la

i s

i n

maximum.

ia

heeft

d.w.z.

Pr

het genormeerde proces de functiewaarde t . p . v . een

N.B.

ga

kan negatief

z i j n !

a l s

kansdichtheidsfunctie:

f ( n )

(3)

Door Rice i s a f g e l e i d :

L

-03 J

( O < . P d ) "2

h i e r i n i s p =

Tm i s h e t gem. t i j d s i n t e r v a l tussen maxima.

To

i s h e t gem. t i j d s i n t e r v a l tussen opwaartse n u l doorgangen M.b.v. Tm en

To

i s dus p u i t een r e g i s t r a t i e t e schatten.

z i j n resp. h e t oe, Ze en 4e moment van de verdel m

m o y m23 4

De bijbehorende o v e r s c h r i jdingskans

Q(W)

:

Numerieke waarden van deze i n t e g r a l e n z i j n t e bepalen m. b.v. t a b e l l e n voor de f o u t e n i n t e g r a a l :

O J O J

U i t een r e g i s t r a t i e i s p t e s c h a t t e n door over een zekere periode

Tm

en

To

t e bepalen.

dv

Voor p = o v o l g t voor de v e r d e l i n g van de hoogten van de maxima

(4)

Voor p = 1

volgt de z.g. Rayleigh-verdeling.

Wordt bv. p(grof) geschat uit bijlage

1

(WWK2

-

79.v

205'

annex 2) dan volgt

=

( 2

i- 3 , 5 ) / 2 = 2,75 Tm

To

= 3,5

Tm

-

~ 7 - 5o,8 TO 3 95 P = - - -

(5)

2 .

Beschouwing van de kans d a t het hoogste maximum

(

za

max

)

van

een r e a l i s a t i e van eindige d u u r de waarde

r\

zal overschrijven,

dus

Pr

I

Z a

max

'

0 1

Het

verwachte aantal maxima

5,

in een r e a l i s a t i e met gegeven

duur D

i s :

1

N = D n m

(nm

= )

m

De genormeerde hoogten

van

de maxima z i j n t e beschouwen a l s

aselecte trekkingen

u i t

een populatie

[

-

t a }

die verdeeld i s volgens de

door

Rice ( z i e eerder) gegeven

vergelijkingen voor

f ( 0 )

en

Q ( 0 ) .

De

kans dat een maximum de waarde

rl

n i e t overschrijdt i s dan:

Pr

(

-a

E

6 i1

].

=

[

l - Q ( r i ) ]

De kans dat d i t geldt voor a l l e

N

maxima

i s :

Dit

i s tevens de kans dat het hoogste maximum

waarde

TI

n i e t overschrijdt.

ga

max

de

Deze

kans

i s

tevens g e l i j k

aan

de kans

d a t

de functiewaarde

( t )

een bepaalde waarde

0

n i e t overschrijdt op een zeker

(6)

1981

A

72m

v /

- /

3. Beschouwen

we

nu

weer

de

duinkust.

I n

het

duin

i s

een l i j n

aan

t e

geven

waarachter

de duinvoet niet komen

mag

i.v.m. de veiligheid.

Overschrijding

van

de l i j n levert een

doorbraak

op.

Deze

l i j n

noemen

we

de kritieke duinvoetlijn.

per

periode).

I

1980

t -

1 1

-

kritiek

ge mid de Id

Beschouwen

we b . v . perioden

van

1 j a a r :

bv. 1980

t / m

+

P(A) P(B) P(C)*

Een i e t s andere benadering i s ook m o g e l i j k :

De kans d a t de DVkritiek i n deze 3 j a a r n i e t overschreden wordt i s g e l i j k aan de kans d a t de DVkritiek én i n 1980 én i n 1981 én i n 1982 n i e t overschreden wordt.

Volgens P(X en Y) = P(X) P(Y) i n d i e n X en Y o n a f h a n k e l i j k z i j n v o l g t dan voor de bovengenoemde kans:

(8)

aan

1

-

R ,

zodat weer de eerder gevonden uitdrukking volgt.

T o t

s l o t z i j opgemerkt dat a l s deze benadering al j u i s t i s ,

zi ch problemen zul 1 en voordoen

b i j

een cijfermatige ui twerki ng

,

daar

waarschijnlijk van geen enkele duinvoet

i n

een sterk

eroderend kustvak een

voor

d i t doel geschikte plaats r e g i s t r a t i e

in de

t i j d

beschikbaar i s .

(9)

I

. ...-.

--a

_<.._ ..

-...

_-_. --.. ... ... .--. ... __. .. ... ... _. * -- ...

1 LA-I--'1

-.-y ...

_____-

.

[I---J4?;

.--m .- ... , ...

-

I- (Y

":

yg

I Q I

4-

/

x

-

,.

.. ... <_ .- . -. .. --..-.- .. ." '1. --- ... . .

__

... ~ ...

:I

... .--. ... .- ._-.-._. <.. ..y.--.. ... I -...-.- ...

__

I

..

___-

.

t

.-.-_.

I

.. cn f U . ,.,. ...I ... .. cn f U li

i

I .* _. get. w.

bijlage

1

_-.- .--- -.."*I---.. _c_LI

----

ond ma

-

advirory dcpartmcrnt at rlushing tor wattrrnanag6mnt and hydraul ic research ... .-_- .I_--..- I ,---I ~ ..-- 01 thq caastline In the course of tha time .... . ~e ,--, ~~~

,-

-- .. ...-._..--.. ... ..____

t

o*=. I..--. -..-. ~ --- ..

A1

7Ca-494

I. 1 1_." .1