Zagadnienie optymalizacji kolejności operacji z przezbrojeniami przy kryterium minimalizacji kosztów

ZESZYTY NA UKOWE POLI TE CH NI KI ŚLISKIEJ S e n a : A U T O M A T Y K A z. 63

1982

Ewa SKUBALSKA

Inatytut Cybernetyki Technicznej Politechniki Wrocławskiej

ZA GA DN IE NI E OP TY MALIZACDI KOLEDNOŚCI OPERACJI

Z PR ZE ZB RO JE NI AM I PR ZY KR Y T E R I U M M I N I M A LI ZA CJ I K O SZ TÓ W

S t r e s z c z e n i e . Ro zw a ż a n y jest pr ob le m ustalania kolejności rea­

lizacji n niezależnych op eracji wyko ny wa ny ch ne Jednej maszynie.

N a le ży ustalić czasy rozpoczęcia 1 zakończenia realizacji operacji tak, by minima li zo wa ć sumaryczne koezty zwięzane z pr ze zb ro je ni am i ma sz yn y oraz karami za p r ze kr oc ze ni e no rm atywnych terminów w y k o n a ­ nia operacji. Sfor mu ło wa no model m a te ma ty cz ny zagadnienia oraz a l ­ gorytm rozwięzanie op arty na schemacie metody podziału i ograniczeń.

1. SF OR MU ŁO WA NI E PROBLEMU

Dany Jest zbiór n op eracji J » |l,...,n|, które mogę być wy ko na ne na Jednej maszynie. Czaa realizecji każdej operacji, wynosi p^ , J « J. Przy przejściu od realizacji Jednej operacji do realiz ac ji następnej, za chodzi konieczność dokonania przezb ro je nl a maszyny. Dla każdej pm ry operacji 1,J * J ok re śl on y jest czaa trwania przezb ro je ni a - t ^ oraz koszt prze- zbrojenla a ij* w szczególny^ przypadku koezty pr zezbrojenia sę p r o p o r ­ cjonalne do czasu Jego trwania (lub be zp ośrednio mier zo ne czasem trwania), to zn ac zy a ^ /- Ł »J * 9dzie $ Jeet stałym współczynnikiem. Po­

nadto okre śl on e eę czasy i koszty p r z e z b r o j e n i a , w przypadku gdy dane operacja ma być wykony wa na Jako pierwsza. Określaję Je wielkość^, tQj oraz eoj , J € D. A n a l o g i c z n i e ok re śl on e sę czas i koszt trwania przezbrojenia po wy ko n a n i u w s z y s t k i c h operacji. Wielkości te, oznaczane od po wi ed ni o przez tj n+1 oraz n ł l < zależą od operacji, która była realizowana Jako ostatnia.

Każdej operacji p r zy po rz ąd ko wa ne eę n o rm at yw ne terminy:

~ rj “ n a j w c z eś ni ej sz y w y m a g a n y czas rozpoczęcia realiz ac ji operacji j* J;

- d^ - n a jp óź ni ej sz y w y m a g a n y czas za ko ńczenia realiz ac ji operacji J «3.

W y p r ze dz en ie terminu r^ , będż op óź ni en ie wz gl ęd em terminu d^ , więżę się z ko nieczności? po ni es ie ni e dodatkowych koeztów. Oe że li moment r o zp oc zę­

cia realizacji operacji J € D oz na cz ym y prze z s ^ . a moment zakończenia realizacji przez c^ (oczywiście c^ » s^ .* p ^ ), to kara zw ięzane z w y ­ przedzeniem norm at yw ne go terminu r^ Jest równa:

140 E. Skubalska

na toiairis t kara związana z pr ze kr oc ze ni em terminu Jest równa:

dej operacji j e 3.

Za ga dn ie ni e op tymalizacji polega na ustaleniu takiej kolejności reali­

zacji operacji na maszynie 3t(l), % (2),. ,. ,%(n ), fjtf i ) e 0, i = 1 ,n) oraz cz asów rozpoczęcia ra tym samym i zakończenia) realizacji operacji, by minimalizować sumaryczne koszty ¡związane z r e a l i z a c j ę •pr zo zb ro je ń oraz karami za przekr oc ze ni e no rm atywnych terminów wy ko na ni a operacji.

2. MOOE L M A T E M A T Y C Z N Y

Znaleźć ciąg JT « fjlfl') ,3tf2)... j£(n)) oraz wa rtości s^ fj = l....,n),

które minimalizuję: *

Ogra ni cz en ie (2) oznacza, źe cięg Jf jest permutację liczb jl,...,nj od po wi ad aj ąc yc h kolejnym operacjom. O g ra ni cz en ie f3) o z na cz a, żo czas roz­

poczęcia wykonania operacji liii) jest nie mn iejszy niż suma czasu za­

kończenia realizacji poprzedzającej operacji - = 3jtfi-l) * Pjfii-ł )

X

1=1 j=l

przy ograniczeniach:

(2)

3łi(i) ^ ®3ff i-1 ) + pn f i- l) + 'fltf i-1 >7i f i ) ; i = l n.

f4)

f 5)

przy czym dlo uproszczenia zapisu przyjęto:

Ot Co) = 0, 3t f n + 1 ) = n+1 , s Q = 0, pQ = O.

Zagadnienie o p t y m a 1lzacli kolejności. 141

oraz czasu trwania pr zezbrojenia ma sz yn y - 1^'^ i'jJ' i ) ’ Oz naczmy zbiór wszystkich permut ac jl 3C przez fi .

3. DOLNE OSZACOWANIE

Oe żeli odrzucimy w mo de lu (1) - (5) og ra ni cz en ie ’2) i zastąpimy je słabszym og ra niczeniem postaci

3f(i-l) / X ( i ) , 1 = 2 , n . (2')

wtedy o t rz ym am y problem, który można sformułować jako za ga dnienie wy zn a­

czania najtańszej (ze wz ględu ns funkcję celu postaci fi)) drogi w spe­

cjalnie skonst ru ow an ym grafie G « < N , A > , którego strukturę przedstawia rys. 1.

(1,1) (1,2)

(n,1) (n,l)

Ry3. 1. Struktura grafu G = < N , A >

V< grafie tym zbiór w i e r z c h o ł k ó w N zawiera fikcyjne węzł y xQ i * n+1 oraz n2 w i er zc ho łk ów (j,i.), od po wi ad aj ęc yc h umieszczeniu odpowiednio op e­

racji j 6 0 na i-tej po zycji w sekwencji operacji (i » l,...,n). Zbiór łuków A zawiera wszystkie możliwe ustawienia par operacji na sąsiednich pozycjach v sekwencji. Graf o takiej st ru kt ur ze zast os ow an o w pracy [5]

przy wy zn ac za ni u do lnego oszacowania problemu komiwojażera. Tak więc każ­

dy ciąg 31= (iff 1),... ,3T(n)) sp eł ni aj ąc y warunek (2 *) Je dnoznacznie o- kreśla w grafie G = < N , A > drogę między w i er zc ho łk am i x Q 1 x n + .- O z na cz­

my zbiór ws zy st ki ch takich c i ęg ów przez fi. Dest oczywiste, że U C l l Problem postaci (l), (2'), (3) - (5) Jest nadal zaga dn ie ni em NP-zupeł- nym. A o y otrzymać zagadnienie o złożoności wielomianowej dokonano re la k­

sacji funkcji celu (l) za st ęp uj ąc ją funkcją postaci:

n+1

ec*) )*(!)• ( i °

i-1

142 E . Skubaląka

gdzia T’j'j oznacza dolne os za cowanie przyrostu wartości funkcji celu '1), Jeśli 1 * 0 operacja Jest wykonywana Jako l-t w kolejności b e zp oś re d­

nio za operację J e 0.

W a r t o ś c i Cf*, wy zn ac za ne sę itermcyjnie w na st ępujący 3 p o s ó b :

J 1 \

♦ min .max | o , c* _ 1 - * 0 j + w^roax jo,r j^p^-« j + f o

+ . max (^3, d ^ - B ^ ) , (6)

przy og ra niczeniach Bq > ^ j ~ * < ® " ®o + *Jl * p l'

Wa rt oś ć oznacza dolne oszacowanie czasu realizacji sekwencji i-1

J i-1

operacji, z których ostatnia to operacja J « 0 , natomiast cS =min 3 k/J,k«3 kj oznacza dolne os za co wa ni e przyrostu funkcji celu ' 1' . Jeżeli pr zy spieszy­

my termin zakończenia realizacji operacji J « 0 wz ględem w y z n ac zo ne go w poprzedniej iteracji terminu ć * - 1 .

O z n a cz my optymelnę wartość B w wyra że ni u ;6) przez ć ., , wted y ak- tualnę wa rtość określa nierówność:

«S^1 , m ax |o ,5 j1- 8 | ^ i j * 1 .m ax |o ,ć j~1 - ' ^ j )| -

+ w^ .m ax |o,r^+p^-e| + v^.max jo,Ś-djJ ,

przy czym 0 sS Jeat pr zy sp ie sz on ym terminem realizacji operacji 1 £ 3 wykonywanej jako i-ta w kolejności.

W a rt oś ci oraz ćj wy zn ac za ne sę od po wi ed ni o Jako minimalne spo­

śród otrzymanych do tej pory wart oś ci oraz , tzn. :

cj = min fS _1 + t ,+p, ),

1 j/i.jea 3 31

ć\ = min ć*,.

L J /1 , J£ 3 31

A O — O f O

3ako wa rtości noczęfkowe przyjmuje się co = c o = o “ * Tak więc wartość 3”^ zawiera trzy składniki:

- koszt przezbroj enia s jj_;

- dolne oszacowanie ko sztów przekroczenia terminów realizacji operocjl l-tej realizowanej Jako i-ta w sekwencji 1 bezpośrednio po operacji Jc3 - dolne oszacowanie przyrostu funkcji celu Cl) zwięzane z ewnetualnym

przyspieszeniem terminew wykonania wszystkich i-1 operacji poprzedza- Jęcych operację 1 « 3.

Zagadnienie optyma li za cj i kolejności. 1 4 ?

Sp os ób wy zn a c z a n i a wart oś ci íj^ ilustróle rysunek 2.

Istnieje możliwość wzmo cn ie ni a dolnego oszacowania otrzymanego orze-:

rozwiązanie problemu fi' . (2'), ('4), poprzez wp ro wa d z e n i e kar za pr ze­

kroczenie ogra ni cz en ia -'2.. Pr ze pr ow ad za się to, dodając do funkc-i czlu n

dodatkowy człon ^ ‘ u^f ^ ■, , w którym u i 'j e 0) oznecza karę za orze- i=l

kroczenie ogra ni cz en ia r2) ze wz ględu na operację 1 e 3. Karo to i c s t : - dodatnia jeśli w ciągu « Dl operacja j e D w y s t ę D U j e więcej niz j e ­ den raz; - u j e m n a , jeśli nie w y st ęp uj e w ogóle: - równa zeru, jeśli jest uwzględniona do kł ad ni e raz.

W ten sposób otrz ym uj em y po p r ze ks zt ał ce ni u problem

ntl n

F ( u '} “ i.Yi X + t o 1 - X u i*

51(11 i *=i 1=1

który jest nadal p r ob le me m postaci <i'), ( 2 ‘ ), Í4).

Cla dowo ln yc h kar u, Cl = l,;..,n), przy łatwym do s p e ł m e m s worun-

n *

ku ''y Uj = 0, zachodzi nierówność : 1-1

nt 1 n t 1

Z i - i w c i ) * V > :

n + 1

» X Í3í í i - i ) * ( i ) + v d 1 3 f ( u 1 - 3t«n i = l

.Wynika 3tad, Ze dla dowolnych kor (1 = l,...,n' wartość F(u'; jest dolnym osza co wa ni em wa rtości rozwiązania problemu 11 ) - (5).N e jl ep sz e ka­

ry ze wz ględu na wa rtość dolnego oszacowanie można otrzymać rozwiązując problem

144 E. Skubalska

Pr oblem ten możne rozwięzać przy użyciu subpradientowej me to dy optymali­

zacji [l, 3].

4. w y z n a c z a n i e o p t y m a l n y c h t e r m i n ó w r e a l i z a c j i o p e r a c j i PR ZY USTA LO NE J SEKWENCJI Jt

O z n a cz my przez _F C3C) n a j m ni ej sz y koszt realizacji n operacji przy ustalonej sekwencji ich wy ko na ni a . O t r z ym uj em y wtedy, że

(

+ ^ ‘ (w1 ■Ei ( c ^ p ^ ) + y ^ T ^ c ^ ) )1»1

gdzie ć = cJl(n)^ 3 est we kt or em terminów za ko ńczenia realiza­

cji operacji JC^l) 3i(n), natomiast CĆJC) oznacza zbiór dopuszczal­

nych w e k t o r ó w ć, tzn. takich, które spełniaj? og ra niczenia (3), (5).

Niech 31*' oznacza częściowa sokwencję w 7t złożonę z k elementów, 3ik =■ ( J K l ),. .. ,Jt(k )). Bez straty ogól no śc i m o że my przyj ęć, żejf = C l n).

k-1 k-1

Załóżmy, że c 1 ,...,Cy_£ Jest r o zw ię za ni em op ty ma ln ym problemu:

k-1

7 in icŁ ... ck - 1 ) e C\J! n r .-k-lx S) ^ ("i *E i (cl_ P i )+Vl'T i ( c i ))* (l)

W t e d y rozw ię za ni em o p ty ma ln ym pr oblemu (7) dla sekwencji op eracji Jl -

k k

■ (l,...,k) jest wektor cz as ów ( ... c^) w y z n a c z a n y we dł ug następują­

cego algorytmu:

A. Je żeli warrość c£ m i ni ma li zu je wyra że ni e w ^ . E ^C c^ -p ^) + w^.T^fc^' oraz termin ten nie Jest sp rz ec zn y z ustalo ny mi u p rz ed ni o wartościami

c k - i ) - cz* u ? k ^ ckli + rk-i,k ł pk- w t e d y c i ■ « i - 1 * 1 ' - 1 1 k-1 K 1 • ck - ckk k*

B. Je że li w y zn ac zo na uprz ed ni o wartość Jest sprzeczna z terminani fcj- 1 ckli'> w t e d y na le ży pr zyjęć c ^ “ 1 = ck"* + tk_ l k ♦ P k oraz wy­

znaczyć zbiór J k = | 1 , 1 + 1 , . . . , kJ , który zawiera w s zy st ki e kolejne ope­

racje w y ko ny wa ne przy aktu al ni e w y zn ac zo ny ch czasach c* _1 bezpośrednio Jedna po drugiej '’bez przerw), czyli ck 1 = c k~J + * ¿ „ 1 i+P i ‘ + 1 k' a) Jeśli 1 = 0, zbiór J* zawiera w s zy st ki e op eracje z sekwencji f 1 ,.. .,«k

oraz nie istnieje możl iw oś ć pr zy sp ie sz en ia terminów w y ko na ni a opera-

Zagadnienie optyma li za cj i kolejności... 145 k k-1

cji. Wa rt oś ci c i * c i > * c l,...,k sę rozw ię za ni em op ty ma ln ym p r o ­ blemu.

b) Jeżeli 1 > 0, wt ed y Istnieje możliv,ość pr zy sp ie sz en ia terminów real i­

zacji operacji n a le żę cy ch do zbioru CT**. N a l e ż y sprawdzić, czy s p o w o ­ duje to zm ni ej s z e n i e sumy kar: ^ ( w ^. ^ + y^ . T ^c^)'.

i = l + l

stępi to tylko wtedy, gdy spełniona jest nierówność:

Na-

g d z i e :

y -1. ['vi*x i rci"l) + v i - V i i'ci " i > ] < o - 1=1 + 1

1, gdy c < r t + pj, , O, w pr ze ci wn ym przypadku.

f8)

1, gdy c > d t ,

0, w pr ze ci wn ym przypadku.

Je że li nierówność (B) nie Jest spełniona, wtedy zmiana te rminów re a l i ­ zacji operacji f l k) nie sp ow od uj e zm ni ej s z e n i a kar za pr ze kr oc ze ni e normatywnych te rm in ów r^ oraz d^.. W a r t o ś c i rozwięzania op ty ma ln eg o problemu sę wy zn ac za ne tak. Jak w p r zy pa dk u (a). J e ż e l i natomiast nierów- k — 1 ność (8) Jest spełniona, zmni ej sz a się wartość w s zy st ki ch te rminów c 1 = 1 k, która nie spowoduje zmiany n i e r ów no śc i '8) oraz nie k o l i d u ­ je z terminem za ko ńc ze ni a re al iz ac ji o p e r ac ji 1-1. Na st ę p n i e ak tu al iz uj e się zawartość zbioru J*1 i ponownie sprawdza wa ru nk i op is an e w punktach (a) i (b).

W y z n a c z o n e wa rtości opty ma ln e (ej1, . . . , c " ) sę r o zw ię za ni em optyma ln ym problemu w y j ś ci ow eg o postaci min F(jt,c).

ć e C(*)

A l g o r y t m powyższy ma złożoność O(n^) O L

5, A L GO RY TM R O Z W I Ą Z Y W A N I A ZAGA DN IE NI A

Al go ry tm ro zw ięzania zagadnienia (l) - (5) op ar ty Je3t na schemacie

*etody po działu i o g ra ni cz eń z m i e s za nę strategię po działu [2]. A Ro zp oc zy na ję c od pewnej do pu sz cz al ne j/ se kwe nc ji operacji ^ 0 e 11 ge-

wy znacza się po­

ceruje się cięg permut ac ji 3Cr €

A

»lę jej koszt równy F c (jCr ). Nowę permut ac ję otrzymuje

Przez us ta le ni e nowej pozycji w sekwencji dla pewnej operacji, której po­

zycja do tej pory nie było ustalona. W trakcie dz ia ła ni a algo ry tm u zbiór operacji J Jest p o dz ie lo ny na dwa rozłęczne po dz b i o r y J r i j' = J - 5 r .

146 E. Skubalska

Zbiór 3 r Jest zbiorem takich operscll, których pozycja w permutacji została ustalona.

Ro zw aż an e zostanę dwie we rs je algorytmu. w pierwszej , zb iorowi 3 r «

= | j n j_+j • • • - 1 odpowiadać będzie ro zw ię za ni e częściowe (jn ^+ 1 ,...,Jn ), w którym ustalo ny ch Jest 1 ostatnich pozycji w sek­

wencji operacji. V! we rs ji drugiej, zbiór 3 r = |j j J o d p o w i a d a per­

mutacji częściowej f j . . • • * .J i ) ustalonej od poczętku. P r z y generowaniu permutacji z permutacji T ^ e f l , pewna operacja J * 3 r zostanie u- mieszczona na n-l-tej pozycji (lub 1 + 1 pozycji) w 31^, natomiast opera­

cje na leżęce do zbioru 3 p będą zajmowały te same po zy cj e w permutacji JTo i % r . Po zo st ał e operacje zostanę up orzędkowane w przy u ż yc iu do­

wolnej reguły heurystycznej. Na rys. 3 przeds ta wi on o najp ro st sz y sposób generowania nowej permutacji, który polega na zmianie pozycji tylko dwu operacj i.

0 ^{© ©}

V " M | v '

o '

3

Rys. 3. Ge ne r o w a n i e nowej permutacji

Pr oc es ge ne ro wa ni a permutacji pr owadzi się aż do chwili, gdy wyatępi Jedna z dwu na st ępujęcych sytuacji:

- można wykazać, że z danaj permut ac ji 3tr nie można wy ge n e r o w a ć (bezpo­

średnio lub pośrednio) permutacji, która dałaby mn le js zę wartość funk­

cji celu f\) niż najlepsze' do tej pory zn al ez io ne rozwięzanie;

- zbiór 5 r = 0, czyli w s zy st ki e operacje maję us talone pozycje.

W t e d y na le ży odrzucić rozp at ry wa nę sekwencję 3tr i cofnęć się do sek­

wencji 3i , z której 7lr została bezp oś re dn io wy ge nerowana, aktualizując od po wi ed ni o zawartości zbiorów 3 i J'. Proces ge ne ro wa ni a permutacji

A S 3

31 e II można przedstawić w postaci drzewa H, w którym każd y wierzchołek

r ^a

będzie od po wi ad ał pewnej permutacji Jfr e fl , a łuk będzie przedstswiel parę , gdzie pernutacja została w y ge ne ro wa na bezpośrednio z JT.. Oz na cz my przez 11^ (jk J n ) zbiór ws zy st ki ch cięgów JCifl , w któ­

rych ustalony Jest fragment sekwencji poczęwszy od k-tej pozycji, to zna­

czy:

^ l ^ k ... ^ n ^ 3fi n |rfik) = J k JCfn) - J n .

Zbiór ws zy st ki ch permut ac ji 3fq sll , które można w danej sytuacji wyge­

nerować z pe rm ut ac ji Jl • (7[ (l),...,3f (k-l),J. ,...,J_) Jest równy

a ^ P Pa P K m

^ l ^ k 3 n 5 “ n i (3 k i n ) o n -

Zagadnienie op ty mallzacji kolejności. 147

An a l o g i c z n i e można zdefiniować zbiory i ... Jk ^ oraz n 2 ^ 1 ^ ....

w druniej wersji algorytmu.

Po dział zbioru {J k J p ) p r z e pr ow ad za ny Jest w nascępujący s p o­

sób :

. J n > = ^ >11^ ‘j . j I' •. • • • * J n ■ '

- Jnj

W każdej iteracji algorytmu, dla każdej nowo wygenerowanej permutacji JTr = -JT (1 i ,.. .3Tp ( k - l ) ,J k Jn ) wyznacza się dolne oszacowanie wartości rozwiązanie optymalnego w zbiorze 'j . ,... ,J n ) poprzez rozwiązanie p r o ­ blemu

n + 1

min ^ (fjr'' i-l ( i •' * u«-< i ••

...

Zagadnieniu temu odpowiada graf pr ze ds ta wi on y na rys. 4.

k-1

► J 1

Jn o o o O—

rHI

Pys. 4. Graf z us taloną częścią dropi "od końca"

Pełne drzewo rozwiązań H składa się z (e-l'n! wę zł ów [4]. Maksym al na głębokość drzewa (największa liczba luków tworzących drogę skierowaną w H) Jest równa liczbie operacji n.

Ob l i c z e n i e wa rtości rozwiązania w każdym wę źl e drzewa pozwala na po łą cz en ie metody podziału i ograni cz eń z do wolną metodą heurystyczną.

Algorytm rozwiązania problemu możne sformułować na st ępująco (pierwsza w e r ­ sja uw zg lędniające ustalanie sekwencji operacji "od końca"):

Al go ry tm

—

Niech JfQ będzie korzeniem drzewa H oraz niech 0 Q = 0, k »»o, gdzie k* oznacza wa rtość najlepszego znanego do tej pory rozwiązania.

będą permutacją i zbiorem operacji o algorytmu.

Niech Jlr i 5 r - { j , j l italonej pozycji w r-tej iteracji

\ A

Krok 1. Wyzn ac zy ć dolne os za co wa ni e dla zbioru Cjk i n ). Oeżeli wartość dolnego oszacowania Jest nie mniejsza niż k* . przejść do kroku 4.

Krok 2. Obliczyć wartość ro zw ię2ania F_(K_). Deśli uzyskano poprawę,

' ’ " ' - * ,

czyli Fc X r ' ^ k , to przyjęć Ic « F c ''5fr ) i zapamiętać permutację Jir . Krok 3 . D e że li 0'r jt wybrać J* € 0^.. które mini ma li zu je wartość dolneoo oszacowania:

\ n* 1

. - 2 ■'**' i-1 'JC . i : + uit; i ■ • • ]n i = l

Usunęć ze zbioru Oj.-, te operacie, dla których dolne os za cowanie Jest wi ęk sz e od k* . Wy oe ne ro wa ć nawę p e rm ut ac ję JT^ = ( k ,2 ), J** . Jk Jn • 1,311,15,0 operację 1* ze zbioru Oj. i umieścić w zbiorze 3 r - Utworzyć w drzewie H nowy węze ł 31^ oraz nowy łuk < 3 T r<3I^> , Przyjęć 5^ * 5 r oraz 0'a = ^-^g* Przejść do kroku 1. Deśli Oj * 0~. przejść do kroku 4. '

Krok 4 . Cofnęć się do be zp oś re dn ie go poprzednika permutacji 7Cr w drze­

wie H, to znaczy 3Cg , której odpowiadaję zbiory 0^ i D s . Przejść do -k ro ku 3. Deśli na le ży cofnęć się od korzenia drzewa H, to algorytm koóczy działanie. Permutacja Jt* zw ięzena z aktualnę wart oś ci ę k jest rozwię- zaniem op ty ma ln ym problemu.

6. PR ZY KŁ AD T UJ ST RA CY DN Y

Dany Jest problem z 5 op er ac ja mi o czasach wykonania: P 1 «2, p2 «p4 =p5»l.

p^*3. N o rm at yw ne te rm in y realizacji operacji sę od po wi ed ni o równe: r1“ 15, d^ *20. r2 «2. d g » 1 7 , r^=5, dj=10, "¿=3, d4 «16. r5 =4, d5 =18. W s z y s t k i e jed­

nostkowe kary za przekr oc ze ni e normatywnych terminów realizacji operacji sę równe jedności f w ^ y ^ l ) . Ma ci er z ko sztów prze zb ro je ń “ £ r ij]

pr ze dstawiono na rysunku 5.

Deko rozwięzanie ooczat ko we 3lq przyjęto permutację JT0 = (3,2,4,5.l) otrzymana przy użyciu algorytmu h e u r ys ty cz no go f ó ] , którego idea polega na ustBleniu kolejnych operacji w permutacji. Deżeli ostatnio ustalona została w permutacji operacja k-ta, to Jako na stępna w kolejności przyj­

muje 3ię operację 1-tę, która mini ma li zu je wyrażenie:

d i

H k (i) = 2 a ki ł w ir i * x r - p i - °1 ,n+l*

Drzewo rozwięzaó w y ge ne ro wa ne przez algorytm przedstawia rys. ć.Roz- wi ęz an ie m optymalnym Jest permutacja Ji z terminami realizacji Cj=31*

148_____________________________________________________________________ E. Skubaiskn

min min

1 e 3 r '.Jk

c2 =14, c 3 = 7 - c4 =19 . c g =23. Wa rt oś ć optymalna funkcji celu Jest rów­

na 42,

Zagadnienie optymallzacl i kolejności..._____________________________________ 149

Rys. 5. W a r t oś ci kosztów prze- zbroj eń

<3 .2 ,4,5,1) L 6 * 37, U B -42

(3,2.4,1.5)

LB=37, LB=58|

i

ß . 2.4.5,1) L & M 2

«,3,2,4,5)

LB=4-).U5*5^ (3.2,4,4,5) 18=48 (13,2,4,5) lb-53

(3.5,14. Z) 1-6-61

Rys. 6. Dr ze wo przezbrojeń

LITERATURA

[ lj G e of fr io n A.M. : Legrangian relaxation and its use in integer p r o g r a m ­ ming. M a th em at ic al Pr og ra mm in g Stud y 2, 1974, s. 82-114.

[2] G r ab ow sk i D . : Uo gó ln io ne zagadnienia op ty malizacji kolejności op er a­

cji w dyskretnych systemach produkcyjnych. Prace Nauk. ICT P. Wr. , Ser. : M o no gr af ie 50, W r o c ł a w 1979.

[3] Held M . , Wolfe P., Crowder H.O. : Va li da ti on of subgradient opti mi za­

tion, Ma th em a t i c a l P r o g ra mm in g 6, 1974, 3. 62-88,

[4] Lenstra O.K.: Sequen ci ng by enummerativo me t h o d s . M a t h e m a t i c a l Centrum, A m st e r d a m 197R.

[sj Picard C . , Ou ey ra nn e M . : The time-dependent traveling salesman p r o­

blem and its ap pl ic at io n to the tardiness problem in one-machine scheduling. Op er at io ns Research, vol. 26, 1978, nr 1 , s. 86-110.

[ 6 j Skubalska E. : Za ga dn ie ni a optyma li za cj i mi nimalnokosztowej z funkcję kary w systemach transportowych. Praca doktorska, Wyd. Pol. W r . , W r o ­ cław 1980.

Recenzent: prof, dr ini. Henryk KCWALOWSKI i

Wpłynęło do Redakcji 15.05.82 r.

F . H k u b a l s k a

3AAAMA 0IH 5 E .:A .ia S A riiiH nOCJIE^OBATEJIbHOCTH O n E P A lIM i C jlE P EO BO P y¿ 0 bAH;LEM H MHHHMAJIbHOCTHUM KPHTEPKEM

? e 3 >d m e

li paOoie :TpeACTa3JtOMo 3a£a>iy noc.:c^att:iT3JibHOCTH onepamtH Ha o a h o2 uaaxHe c KpHtepneM MHH.iMajinaaHHH cywwbi aiipaipoD H3-3a He annoi'h c h h h c p o k o b « ai o t o b-

»■enHH onepamiti h cTOiiuocTeM nepeoOopy^osaHiia ManHHU.

npe^cxaujreno ajirop;ix:.i pemeHHfl a x o B npoOjieMu Ha 6aae M e T o n a BeTbBeii h orpaHH<teHHii.

THE SCHEDULING PR 08LEM WITH SETUP COSTS A N D WITH MI N I M U M COST CRITERION

S u m m a r y

W o consider a si ng le -m ac hi ne scheduling problem where penalties occur for operations that either co mmence before their target start date or ere completed after their due dote. The total cost is composed of earliness and tardiness penalties Bnd setup coets oceurlng when operation k is followed by operation J.

A branch and bound algorithm is given. Subgradient optimization is used as a me th od of maximi zi ng the resulting lower bounds for imbedding into tree search algorithm.