Zeitschrift für den Physikalischen und Chemischen Unterricht, 1934 H 5

Z e i t s c h r i f t

für den

Physikalischen und Chemischen Unterricht.

X L V I I . J a h rg a n g .

1934. Fünftes Heft.

Zur optischen Abbildungsformel.

Von Wilhelm Volkmann in B erlin.

1. E i n w ä n d e g e g e n d i e ü b l i c h e D a r s t e l l u n g .

D ie A b b ild u n g s fo rm e l fü r L in s e n w ir d in d e r R e g e l aus d e r F o rm e l f ü r eine brechende F lä c h e h e rg e le ite t, u n d diese g e w in n t m a n aus F ig . 1 L

S etzt m a n diese F ig u r einem U n k u n d ig e n v o r, so k o m m t e r zu d e r V o rs te llu n g , das B ild eines A c h s e n p u n k te s b e fin d e sich da, w o ein v o n diesem P u n k t ausgehender L ic h ts tr a h l n a ch d e r B re c h u n g d ie Achse

w ie d e r schneidet. F ü r das ric h tig e V e r ­ s tä n d n is d ie s e r F ig u r m uß also m a n c h e rle i z u v o r e rö r te rt w e rd e n .

A ls „ B i ld “ eines le u c h te n d e n P u n kte s k a n n m a n im w e ite ste n S inne d ie S telle a n ­ sprechen, an d e r z w e i b e n a c h b a rte v o n ih m ausgehende S tra h le n sich na ch d e r B re c h u n g schneiden. B le ib t m a n zu n ä ch st in d e r Ebene

d e r F ig . 1, so g ib t d e r S c h n itt je z w e ie r b e n a c h b a rte r S tra h le n je e in e n P u n k t d e r K a u s tik . D iese „ B ild e r “ lie g e n also ke in e sw e g s a u f d e r A chse. Sie s in d lic h ts c h w a c h , w e il das L ic h t ü b e r eine g roß e F lä c h e (d ie ka u s tis c h e F lä ch e ) v e r te ilt is t. A us diesem G ru n d e spie le n sie b e i d e r V e rw e n d u n g d e r L in s e n g e w ö h n lic h k e in e b e m e rk e n s w e rte R o lle (B üschel in d e r A chse n e b e n e , M e rid io n a l-

büschel).

S e n k re c h t zu d e r Zeichnungsebene b e n a ch ­ b a rte S tra h le n k ö n n e n dem K e g e lm a n te l zu g e o rd n e t w e rd e n , d e r d u rc h den W in k e l a m it d e r Achse b e s tim m t is t. D iese S tra h le n schneiden sich in einem A c h s p u n k t, u n d h ie r tre ffe n sich auch a lle a n d e re n dem selben K e g e lm a n te l z u g e h ö rig e n S tra h le n . Sie haben g le ic h e W e g lä n g e z u rü c k g e le g t, tre ffe n also m it g le ic h e r S ch w in g u n g sp h a se zusam m en u n d geben ein z ie m lic h helles „ B i ld “ . D ie L a g e dieses

B ild p u n k te s is t a b e r v o m W in k e l a a b h ä n g ig , so daß ein lä n g e re s S tü c k d e r Achse bis z u r S pitze d e r K a u s tik h in v o n „ B ild e r n “ des le u ch te n d e n P u n kte s e r f ü llt is t (B üschel q u e r z u r A chsenebene, S a g itta lb ü s c h e l).

D ie A u s s o n d e ru n g eines K e g e lm a n te ls is t in den F ig . 2 u n d 3 d a d u rc h a n g e ­ deutet, daß v o r d e r b re ch e n d e n F lä c h e eine B le n d e m it schm alem , rin g fö r m ig e m S c h litz a n g e b ra c h t i s t 1 2.

F ig . 1 w ill als ein A u s z u g aus F ig . 3 a u fg e fa ß t sein. Sie b e z ie h t sich n u r auf die e in e m K e g e lm a n te l a n g e h ö rig e n S tra h le n u n d setzt die K e n n tn is v o ra u s , daß

1 Entnommen aus Mü l l e r-Pf a u n d l e r, Bd. 2, 19. A u fl., Fig. 75, jedoch m it den neuen Bezeich­

nungen [diese Zeitschr. 4a, 39 (1932), N o rm b la tt D IN 1335] versehen. Die Figuren in vielen anderen Büchern sind im wesentlichen ebenso.

2 V gl. hierzu Wil h e l m Vo l k m a n n: Linsenoptik in der Schule, Fig. 45—49 (Versuche) und Eig. 64—73 (Rechnung). B e rlin : Julius Springer 1927.

Fig. 2. Ausgeblendeter Strahlenkegel virtueller Abbildung.

Fig. 1. Übliche Zeichnung zur Ableitung der Abbildungsformel.

U. X L V IL 13a

diese sich in ein e m A c h s p u n k t tre ffe n . D ie F ig . 1 lä ß t a b e r a lle s w e g b is a u f die in d e r R e c h n u n g b e n u tz te n L in ie n . Sie k a n n n ic h t als eine f ü r d ie E i n f ü h r u n g g e n ü gende Z e ic h n u n g a n e rk a n n t w e rd e n , d e n n das, w as sie ü b e rs p rin g t, is t f ü r das p h y s ik a lis c h e V e rs tä n d n is g a n z w e s e n tlic h .

2. D ie A b b i l d u n g s f o r m e l f ü r e i n e R i n g z o n e ( S a g i t t a l b ü s c h e l ) . W a s d ie F ig . 1, 2 u n d 3 ü b e r den V e rla u f des au sg e so n d e rte n s a g itta le n S tra h le n ­ ke g e ls u n d d ie v o n ih m b e w irk te A b b ild u n g aussagen, sei zu n ä c h s t h in g e s c h rie b e n . U m e in h e itlic h e G e s ta lt d e r F o rm e l in a lle n m ö g lic h e n F ä lle n zu e rh a lte n , h a t m a n

v e re in b a rt: Z u r Achse se n kre ch te S tre c k e n (z. B. E in fa lls h ö h e n ) w e rd e n o b e rh a lb de r Achse p o s itiv , u n te rh a lb d e r Achse n e g a tiv g e re ch n e t. A lle a n d e re n S tre c k e n w e rd e n v o n d e r b re ch e n d e n F lä c h e aus g e re ch n e t, u n d : A ls p o s itiv g i lt in d e r g a n ze n Z e ic h n u n g d ie F o rtp fla n z u n g s ric h tu n g des L ic h te s . D iese w ä h lt m an, w e n n n ic h t w ic h tig e G rü n d e da- Fig.3. Ausgeblendeter Strahlenkegel reeller Abbildung. gegen sprechen, Stets Von lin k s n a ch rechts.

D a ra u s e rg ib t sich, daß den S tre c k e n s u n d p in F ig . 2 n e g a tiv e , in F ig . 3 a b e r p o s itiv e Z a h le n w e rte zu geben s in d . D ie V o rz e ic h e n d e r W in k e lw e rte e rgeben sich aus den V o rz e ic h e n d e r S e ite n v e rh ä ltn is s e , d ie ja die trig o n o m e tris c h e n F u n k tio n e n n achw eisen. F ig . 2 (v irtu e lle A b b ild u n g ) is t am bequem sten fü r d ie R echnung, w e il a lle S tre c k e n in ih r p o s itiv e Z a h le n w e rte haben.

I n den D re ie c k e n C A O u n d C A O ' ist, w e il sich d ie Seiten w ie d ie S inus d e r G e g e n w in k e l v e rh a lte n :

s — r sin s sin cp

V u n d s — r

V' fe rn e r i s t :

u n d (B rechungsgesetz) a lso :

n == n u n d n • sin e — s — r w -sine

sin (p s — r V

sin cp n ' = n '

n ' • sin sf r n ' • sin e'

n - V = n

V s' — r

sin (p

d i 3. D a s Z u s a m m e n w i r k e n d e r R i n g z o n e n .

N u n k a n n m a n in W ir k lic h k e it m it e in e m S tra h le n b ü s c h e l, das so d ü n n is t, w ie w ir v o ra u s g e s e tz t haben, n ä m lic h n u r d e r M a n te l eines K e g e ls, g a r n ic h ts a n fa n g e n ,

w e il es w egen d e r W e lle n n a tu r des L ic h te s ü b e rh a u p t n ic h t a b g e s o n d e rt w e rd e n k a n n . N im m t m a n den S c h litz b re ite r, so w e iß m a n aus E rfa h ru n g , daß, w ie schon e rw ä h n t, im a llg e m e in e n k e in genaues Z u ­ s a m m e n fä lle n d e r „ B ild e r “ zu e rw a rte n is t. Es k a n n a b e r d ie F ra g e g e s te llt w e rd e n , ob n ic h t in b esonderen F ä lle n m it e in e r K u g e lflä c h e e in v ö llig e s Z u s a m m e n ­ fa lle n a lle r „ B ild e r “ e rz ie lt w e rd e n k a n n . W e rd e n a lle s a g itta le n B ü sch e l in e in e m P u n k t v e re in ig t, so h a t das z u r F o lg e , daß auch d ie m e rid io n a le n B üschel sich h ie r schneiden. E in e solche V e re in ig u n g des g a n ze n B ü n d e ls n e n n t m a n in d e r re c h n e n d e n O p tik „e in e s ch a rfe A b b ild u n g “ 1.

F o rm e l (1) b e z ie h t sich a u f ein e n e in z ig e n K e g e lm a n te l, s' is t also a b h ä n g ig v o n o.

D ie eben a u fg e w o rfe n e F ra g e is t g le ic h b e d e u te n d m it d e r F o rd e ru n g , daß s' u n a b h ä n g ig 1 E in „B üschel“ besteht aus oo1 Linien, die eine Fläche fü lle n ; ein „B ü n d e l“ besteht aus oc 2 Linien, die einen Raum füllen. E in Büschel w ird durch e in e n Parameter bestim m t, ein Bündel durch z w e i.

Fig. 4. Ausnahmefall vollkommener Abbildung durch eine Kugelfläche.

und chemischen U nterricht.

1934. H e ft V . W . Vo l k m a n n, Zu r OPTISCHEN Ae b il d u n g s f o r m EI.. 195

vo n a, also fü r a lle B ü sch e l dasselbe sei. D a n n fo lg t, daß auch

= const, u n d z w a r g le ic h seinem A c h s w e rt = y sein m uß .

Is t dies d e r P a ll, so is t d e r K re is , d e r in d e r F ig u r d ie S p u r d e r b re ch e n d e n F lä c h e d a rs te llt, e in A p o llo n is c h e r K re is , u n d e r te ilt den A b s ta n d 0 0 ' außen im V e r ­ h ä ltn is s/s'.

F ig . 4 e n th ä lt a uch den P u n k t B , d e r 0 0 ' in n e n im V e rh ä ltn is p j / / te ilt. D o rt sch n e ide t d e r K re is u n d d ie W in k e lh a lb ie re n d e z w is c h e n p u n d p ' d ie A chse. D e r h a lb ie rte W in k e l is t s ■—■ e'. D ie W in k e lh a lb ie re n d e is t B asis eines g le ic h s c h e n k lig e n D re ie c k s , an dessen S pitze C d e r A u ß e n w in k e l cp

lie g t. D ie B a s is w in k e l s in d :

e' + s + e

also i s t : <p = s 4~ e'.

F e rn e r is t <p A u ß e n w in k e l b e i C an den D re ie c k e n C A O u n d C A O ', d e re n W in k e l b e i A e u n d e' sind, also i s t :

a — e' u n d o' = e.

I n diesen D re ie c k e n is t w e ite r:

s '—-r s in e ' n s — r sine n ' n ’ also s '- - r u n d s-

sm e

n' Fig. 5. Die Weierstrass (Yo ung) sehe Zeichnung.

Dieses E rg e b n is is t a uch e n th a lte n in d e r F ig . 5, d ie u n te r dem N a m e n v o n We ie r s t r a s s a llg e m e in b e k a n n t is t, sich a b e r schon b e i Th o m a s Yotjng fin d e t1.

4. D ie L ö s u n g i s t e i n A u s n a h m e f a l l , F o l g e r u n g d a r a u s .

D ie F o rd e ru n g d e r „s c h a rfe n A b b ild u n g “ eines P u n k te s m it H ilfe e in e r b re ch e n d e n K u g e lflä c h e h a t sich also als b e re c h tig t erw ie se n , a lle rd in g s n u r f ü r ein e n e in z ig e n S o n d e rfa ll v ir tu e lle r A b b ild u n g . I n je d e m a n d e re n F a ll g e h t d ie F o rd e ru n g ü b e r das E rfü llb a re h in a us, sie e n th ä lt also m in d e ste n s eine B e s tim m u n g zu v ie l.

D as a llg e m e in b e k a n n te B e is p ie l f ü r U b e rb e s tim m th e it is t d e r v ie rb e in ig e T is c h . D e r T is c h le r h a t ih n g e a rb e ite t m it d e r V o ra u s s e tz u n g , daß d e r F u ß b o d e n eben sei.

D a dieses a b e r in d e r K e g e l n ic h t z u tr if ft , p fle g t e in v ie rb e in ig e r T is c h zu w a c k e ln . E r h a t eben fü r den a llg e m e in e n F a ll eines unebenen F u ß b o d e n s e in B e in zu v ie l.

W e n n es sich u m ein e n T is c h h a n d e lt, is t w o h l n ie m a n d so u n e rfa h re n , daß e r als A b h ilfe fü r das W a c k e ln v o rs c h lä g t, e in fü n fte s B e in a n z u b rin g e n . Sonst a b e r is t d e r e n tsprechende V o rs c h la g n ic h t selten.

W e n n h ie rn a c h u n s e r A n s a tz zu v ie l e n th ä lt, m üssen w ir , u m a llg e m e in „s c h a rfe A b b ild u n g “ , zu e rh a lte n , m in d e ste n s eine A n n a h m e o p fe rn ; a b e r w e lch e ?

D ie G e ra d h e it d e r S tra h le n ? D as B re ch u n g sg e se tz?

D ie K u g e lflä c h e ?

D ie W a h l is t s c h w e r! Sehen w ir zu, w as b e i d e r ü b lic h e n A b le itu n g d e r A b ­ b ild u n g s fo rm e l ta ts ä c h lic h n a c h trä g lic h g e o p fe rt w ir d !

5. D ie E i n s c h r ä n k u n g a u f d e n a c h s e n n a h e n K a u m .

D ie A b b ild u n g s fo rm e l w il l L in s e n sehr v e rs c h ie d e n e r E ig e n s c h a ft zusam m enfassen, e tw a so, w ie d e r B e g r iff B a u m zu sa m m e n fa ß t, w as w ir im e in z e ln e n als E ich e , T a n n e , P a lm e usw . u n te rs c h e id e n . D e r e rw e ite rte U m fa n g des G e ltu n g sb e re ich e s k a n n n u r d u rc h E in b u ß e am In h a lt d e r A ussage g e w o n n e n w e rd e n . So w ir d d enn s c h lie ß lic h * 3

1 V ielleicht sogar schon bei Httyg ens. V gl. S. Cz a p s k i: Theorie der optischen Instrum ente, 3. A u fl., S. 32.

13*

v o n dem g a nzen S tra h le n b ü n d e l, das a u f d ie b re ch e n d e F lä c h e fä llt, n u r noch d e r w in z ig e A n te il beachtet, d e r d ie S pitze d e r K a u s tik b ild e t. U b e r a lle s an d e re sie h t m a n h in w e g .

D ie S pitze d e r K a u s tik w ir d v o n den S tra h le n gezeichnet, d ie g a n z nahe b e i d e r Achse v e rla u fe n , p u n d s, p ' u n d s' fa lle n n u n so nahe zusam m en, daß sie sich n u r noch u m B e trä g e k le in e re r O rd n u n g u n te rs c h e id e n . D u rc h ih re G le ic h s e tz u n g k a n n d ie F o rm e l (1) v e re in fa c h t w e rd e n . Es w ir d d a n n :

a ls o : ⁽2)

H ie rd u rc h is t s' in je d e m F a ll b e s tim m t. M an k a n n auch vo n F lä c h e zu F lä ch e w e ite rre c h n e n , w e n n eine F o lg e z e n tr ie r te r F lä c h e n gegeben is t. Daß d ie F o rm e l

das V e rla n g te le is te t, is t u n z w e ife lh a ft.

W o ra u f es a b e r h ie r a n k o m m t, das is t, zu u n te rsu ch e n , w as d u rc h d ie G le ic h s e tz u n g v o n p u n d s, v o n / / u n d s' an den G ru n d ­ la g e n d e r A b le itu n g g e ä n d e rt ist.

D e r u rs p rü n g lic h e A n s a tz bezog sich a u f d ie D re ie c k e C A O u n d C A O ' d e r F ig . 1.

D iese hab e n w ir n u n v e rla s s e n u n d sin d a n sch e in e n d a u f d ie D re ie c k e S A O u n d S A O ' ü b e rg e g a n g e n , w e lch e d ie Seiten s u n d s’

e n th a lte n . Es w ir d sich d a ru m h a n d e ln , ob u n d w ie m a n v o n h ie r ausgehend zu d e r F o rm e l g e la n g e n k a n n ; d a b e i is t a b e r e in U m w e g n ö tig .

D e r neue A n s a tz b e g in n t m it den D re ie c k e n in F ig . 6 , d ie p, b, h u n d p \ b', h ' e n th a lte n (b is t P ro je k tio n v o n p u n d k a n n auch als A b s ta n d des P u n kte s 0 v o n d e r B le n d e n lo c h m itte g e d e u te t w e rd e n ). Es i st:

h h , , h

- y = tg • a, - y = tg • a , - = sm <p, (B rechungsgesetz) n sin (cp — a) = n ' s in (99' — o').

F ü r abnehm endes 0 stre b e n diese A u s d rü c k e zu den G re n z w e rte n : Fig. 6. Ein anderer Weg zur Abbildungsformel.

n {cp — 0) = n ' (99 — 0') u n d d e r F u ß p u n k t v o n h r ü c k t zu m S ch e ite l 8 .

R echnet m a n w e ite r m it diesen G re n z w e rte n , so i s t :

(3) Das is t dieselbe F o rm e l w ie (2).

D ie s e r W e g h a t also auch zu m Z ie le g e fü h rt u n d e r lä ß t besser als d e r erste e rk e n n e n , w elches d ie entsch e id e n d e n S c h ritte sin d . A lle F u n k tio n e n , d ie sich im A n s a tz fin d e n , s in d b e im G re n z ü b e rg a n g d u rc h lin e a re F u n k tio n e n e rse tzt w o rd e n ; anders gesagt, es is t n u r das erste G lie d e in e r R e ih e n e n tw ic k lu n g ü b rig g e b lie b e n . Das g i lt auch v o m B re chungsgesetz, w as in d e r A b le itu n g v o n (2) v e rb o rg e n b le ib t.

D ie G e w in n u n g d e r S c h lu ß fo rm e l b e ru h t also n ic h t a u f d e r E in fü h ru n g , so n d e rn g e ra d e z u a u f d e r A u s m e rz u n g des B rechungsgesetzes. D ie S c h lu ß fo rm e l is t n ic h t m it W e rte n e rre c h n e t, d ie irg e n d e in o p tis c h e r S tra h le n g a n g w ir k lic h lie fe rt, so n d e rn m it den G re n z w e rte n , d ie a u ß e n lie g e n d e N a c h b a rn des G ebietes o p tis c h e r W ir k lic h ­ k e it sin d . D ie F o rm e ln sin d z w a r in dem engen R a u m nahe d e r A chse f ü r optische R e ch n un g a n w e n d b a r, sie stam m en a b e r a n d e rs w o h e r u n d s in d uns ü b e r d ie G renze h in w e g z u g e re ic h t w o rd e n .

und chemischen U nterricht.

1934. H e ft V. W . Vo l k m a n n, Zu r o p t i s c h e n Ab b i l d u n g s f o r m e l. 197

6 . A n s c h a u l i c h e A b l e i t u n g a u s l i n e a r e n B e z i e h u n g e n .

M it d e r A u s m e rz u n g des B rechungsgesetzes haben w ir d e n B o den o p tis c h e r W ir k lic h k e it z w e ife llo s v e rla sse n . W i r w e rd e n n u n a u f a n d e re m B oden n a ch den W u rz e ln d e r F o rm e l (2) zu suchen haben. D a b e i den b is h e r b e tra c h te te n A b le itu n g e n n u r lin e a re B e z ie h u n g e n ü b i’ig g e b lie b e n w a re n , sei v e rs u c h t, v o n solchen auszugehen.

D e r neue A n s a tz sei:

1. J e d e r G e ra d e n im D in g ra u m e n ts p ric h t eine G erade im B ild ra u m (G e ra d h e it d e r S tra h le n ).

2. A lle n G eraden, d ie im D in g ra u m d u rc h ein e n P u n k t gehen, e n tsp re ch e n G erade, d ie im B ild ra u m d u rc h e in e n P u n k t gehen (B ü n d e lv e rw a n d ts c h a ft, „s c h a rfe A b b ild u n g “ ).

W ir w o lle n n ic h t d ie a llg e m e in s te F o rm d e r e tw a m ö g lic h e n A b b ild u n g 1 u n te r ­ suchen, so n d e rn b e s c h rä n k e n uns a u f das, w as d e r

F o lg e z e n trie rte r K u g e lflä c h e n in d e r O p tik e n t­

s p ric h t, u n d setzen desh a lb e in s c h rä n k e n d :

3. D ie A b b ild u n g is t s y m m e tris c h r u n d u m eine Achse, d ie f ü r D in g ra u m u n d B ild ra u m g e m e in sa m ist.

A u s 2. fo lg t, daß a lle n P u n k te n , die im D in g ­ ra u m a u f e in e r G e ra d e n lie g e n , im B ild ra u m P u n k te a u f e in e r G eraden entsprechen. D e n n lä g e e in e r d e r B ild p u n k te a u ß e rh a lb d ie s e r G eraden, so w ü rd e sie im B ü n d e l dieses P u nktes fe h le n , w as 2. n ic h t zu lä ß t.

N a c h F ig . 7 w ir d e in e r G e ra d e n , d ie im D in g ­ ra u m d e r Achse p a ra lle l lä u ft, eine G erade im B ild ­ ra u m zu g e o rd n e t. Sie m uß d ie A chse irg e n d w o schneiden. G in g e sie an d e r Achse v o rb e i, so m ü ß te d e r S y m m e trie w e g e n, die in 3. g e fo rd e rt is t, noch eine z w e ite G erade a u f d e r a n d e re n Seite d e r Achse als B ild d e r G era d e n im D in g ra u m g e lte n . Das w id e rs p ric h t a b e r d e r A n n a h m e 1. D ie B ild g e ra d e sei A 'F ', sie s ch n e ide t in A ' d ie (v e rlä n g e rte ) D in g g e ra d e .

In d erselben W e ise o rd n e n w ir n a ch F ig . 8 e in e r d e r Achse p a ra lle le n G eraden im B ild ra u m eine d ie Achse schneidende G erade im D in g ra u m zu. W ir w ä h le n die P a ra lle le in dem selben A b s ta n d v o n d e r A chse, w ie d ie in F ig . 7 (d ie auch in F ig . 8 e in g e ze ie h n e t is t), w as d ie le tz te d e r d re i fre is te h e n d e n A n n a h m e n d a rs te llt. M it diesen d re i b esonderen F e stse tzu n g e n u n d den d re i a llg e m e in e n V o ra u s s e tz u n g e n is t d ie ganze A b b ild u n g d e r b e id e n R äum e in e in a n d e r v o lls tä n d ig b e s tim m t, w ie n u n zu ze ig e n is t.

I n F ig . 8 lie g t A a u f F A u n d a u f mA , A ' a u f A ' u n d a u f A ' F ' ,

A 'c o ' is t F A zu g e o rd n e t, A 'F ' is t zu g e o rd n e t, also is t A ’ das B ild v o n A .

N a ch V o ra u s s e tz u n g 3. lie g e n im g le ic h e n A b s ta n d a u f d e r a n d e re n Seite d e r A chse entsp re ch e n d e L in ie n d u rc h B u n d B ’ u n d es e rg ib t sich in g le ic h e r W eise, daß B ’ das B ild v o n B in F ig . 9 is t. F e rn e r lie g t

H a u f A B u n d a u f d e r Achse, I i ' a u f A 'B ' u n d a u f d e r Achse.

ÄAB' is t A B z u g e o rd n e t, d ie A chse is t sich se lb e r zu g e o rd n e t.

A ls o is t H ’ das B ild v o n H .

N a ch A n n a h m e 3. is t d ie A b b ild u n g r u n d u m d ie A ch se s y m m e tris c h . M an k a n n sich also F ig . 9 u m d ie Achse g e d re h t d e n k e n u n d d u rc h H u n d H ' Q u e rs c h n itte

1 F ür den allgemeinen F a ll s. S. Cza p s k i: Optische Instrum ente, 3. A u fl., S. 33— 72.

13b Fig. 7. Ein Paar einander zugeordneter

Geraden.

Fig. 8. Zwei Paare einander zugeordneter Geraden.

Fig. 9. Auf finden der Hauptpunkte.

U. XUVII.

s e n k re c h t z u r A chse le g e n. D iese s in d , b e id e in d e r R ic h tu n g F 'F gesehen, in F ig . 10 d a rg e s te llt. Es s in d z w e i g le ic h g ro ß e K re is e , in denen Ä , H ' u n d B ' n a ch F ig . 9 B ild e r v o n A , H u n d B sin d . A u s d e r D re h u n g d e r F ig . 9 u m d ie Achse fo lg t aber, daß auch d ie u n te r g le ic h e n W in k e ln lie g e n d e n P u n k te A x u n d A \ b is A 4 u n d A \ als g e g e n s e itig e B ild e r zu e in a n d e r gehö re n . D a n n is t a b e r auch d e r P u n k t Q' B ild vo n Q, d enn e r lie g t a u f den G e ra d e n A ¡A '2 u n d A'3A '4, d ie B ild e r d e r G eraden A 4A 2 u n d A 3A 4 s in d . D ie b e id e n Z e ic h n u n g e n in F ig . 10 s in d k o n g ru e n t. D e r

S chluß, d e r f ü r Q u n d Q' gezogen is t, k a n n f ü r jedes P u n k tp a a r d e r b e id e n E benen

Fig. 10. Abbildung der Hauptebenen aufeinander.

gezogen w e rd e n , d ie E be n e n s in d k o n g ru e n t a u fe in a n d e r a b g e b ild e t. D ieses s in d d ie H a u p te b e n e n , u n d w ir ha b e n n u n a lle H ilfs m itte l beisam m en, u m m it d e r Li s t i n g- schen F ig u r das B ild jedes P u n k te s im R a u m zu fin d e n .

I n F ig . 11 is t das d u rc h g e fü h rt. V o n e in e m b e lie b ig e n P u n k t P s in d d ie P a ra lle le z u r Achse u n d d ie G erade d u rc h F ' gezogen, b e id e b is z u r H a u p te b e n e , d ie in den P u n k te n A u n d Q g e tro ffe n w ir d . V o n den k o n g ru e n t lie g e n d e n P u n k te n A ' u n d Q’

d e r a n d e re n H a u p te b e n e g e h t d ie Z e ic h n u n g w e ite r. P A e n ts p ric h t A 'F ', P Q e n t­

s p ric h t d ie P a ra lle le z u r Achse d u rc h Q '; d e r S c h n ittp u n k t P ' is t das B ild v o n P . Z w is c h e n d e n H a u p te b e n e n is t eine K lu f t, z w isch e n ih n e n s o ll m a n d ie L in ie n (so w e it sie n ic h t v ir tu e lle r A b b ild u n g zugeh ö re n ) g a r n ic h t zie h e n o d e r a lle n fa lls ih re R ic h ­ tu n g d u rc h le ic h te P u n k te a n d e u te n .

A u s den ä h n lic h e n D re ie c k e n in F ig . 11 k a n n m a n ablesen -— z : — / = A H : H Q = A 'H ' : H 'Q ' =

zz’ = f f . (4)

D iese F o rm e l sie h t z w a r a n d e rs aus w ie F o rm e l (2), sagt a b e r dasselbe aus, w ie fo lg e n d e U m fo rm u n g z e ig t:

(2) (s u n d s' e n d lic h ) 11 1 \ , ( 1 n --- = n —

\ r s 1 \ r

-1)

(2a) (s' u n e n d lic h ) — 0 ) (2)

(2b) (s u n e n d lic h )

“ ( y - ° ) = “ ' (t

- } )

(2a) — (2 b) g e b e n : 1 II (B re c h k ra ft)

(2) -—: (2b) g e b e n : n n'

s s' + 7

o d e r: n ' n n'

s' s / '

s n s

ii+

s c h re ib t m a n d a fü r f s + fs ’ = SS

u n d setzt s' — f - f z' u n d s = / + z, so fo lg t:

zz' = / / ' . (4)

und chemischen U nterricht.

1934. H e ft V . W . Vo l k m a n n, Zu r o p t i s c h e n Ab b i l d u n g s f o r m e l. 199

D a s V e r h ä l t n i s d e r d r e i A b l e i t u n g e n z u e i n a n d e r . D ie le tz te A b le itu n g , d ie zu F o rm e l 4 f ü h r t , is t v o n v o rn h e re in a llg e m e in e r g e h a lte n als d ie b e id en a n d e re n . Sie b e z ie h t sich a u f b e lie b ig d ic k e u n d b e lie b ig zusam m engesetzte A b b il­

d u n g s m itte l (L in s e n fo lg e n e n tsp re ch e n d ), d ie b e id e n a n d e re n n u r a u f eine T re n n flä c h e v o n R ä u m e n v e rs c h ie d e n e r L ic h tg e s c h w in d ig k e it. U m v e rg le ic h e n zu k ö n n e n , beziehen w ir d ie d r itte A b le itu n g je tz t a u f eine gem einsam e

A n fa n g se b e n e d e r Z ä h lu n g f ü r D in g ra u m u n d B ild ­ ra u m . I n sie rü c k e n d ie b e id e n Ila u p te b e n e n h in e in (F ig . 12).

D ie G erade, w e lch e P u n d P ' u n m itte lb a r v e r ­ b in d e t, s ch n e id e t d ie A chse im P u n k t K , dem K n o te n p u n k t. E r lie g t v o m B ild ra u m -B re n n p u n k t F '

u m d ie D in g ra u m -B re n n w e ite /, v o m D in g ra u m -B re n n p u n k t F u m d ie B ild ra u m - B r e n n ­ w e ite / ' e n tfe rn t. S ein A b s ta n d H K vom H a u p tp u n k t is t g le ic h dem U n te rs c h ie d d e r B re n n w e ite n . A u s den F o rm e ln 2 a u n d 2 b e rk e n n t m a n , daß H K , d e r U n te rs c h ie d d e r B re n n w e ite n , in den b eiden a n d e re n A b le itu n g e n den R a d iu s r bedeutet.

Es is t n ä m lic h

A \ H

Fig. 12. Der Knotenpunkt im einfachsten Fall.

(2 a) (2 b)

- 4 \ , 1 o d e r / — 1r n'

/ / r .1 n

n' ( 1 o d e r r n'

, r f l f ' — r n

also (.f — r ) ( f ' — r ) = f f ,

r = f + r = r - ( - f ) .

D ie le tz te U m fo rm u n g is t n ö tig , u m d e r V e re in b a ru n g g e re c h t zu w e rd e n , daß a lle S tre cke n v o n d e r b re c h e n d e n F lä c h e zu zä h le n sin d . D u rc h diese V o rz e ic h e n ­ w a h l e rs c h e in t d e r U n te rs c h ie d d e r B re n n w e ite n z u e rs t in F o rm e in e r Summe,

D ie d r itte A b le itu n g e n th ä lt n u r g e ra d e L in ie n , d ie als S tra h le n b ü n d e l d u rc h je ein e n P u n k t zu sa m m e n g e fa ß t w e rd e n . In fo lg e d e r e in s c h rä n k e n d e n V o ra u s s e tz u n g , daß a lle s u m d ie A chse h e ru m s y m m e tris c h sei, k o m m t den z u r A chse s e n kre ch te n E benen eine besondere B e d e u tu n g zu, u n te r ih n e n v o r a lle m den H a u p te b e n e n . Z u diesen a llg e m e in e n B e s tim m u n g e n ü b e r d ie A b b ild u n g s w e is e k o m m e n d u rc h F e s t­

le g u n g z w e ie r a u fe in a n d e r a b g e b ild e te r S tra h le n p a a re d ie 3 B e s tim m u n g s s tü c k e des beso n d e re n A b b ild u n g s fa lle s , n ä m lic h d e r im e in fa c h s te n F a ll v e rs c h w in d e n d e A b s ta n d d e r H a u p te b e n e n v o n e in a n d e r u n d d ie b e id e n B re n n w e ite n .

A n diesen A n s ä tz e n w ir d im L a u f d e r A b le itu n g n ic h ts g e ä n d e rt, es w ir d w e d e r etw as h in z u g e fü g t, n och etw as d a v o n w ie d e r w e g g en o m m e n .

D ie erste A b le itu n g g in g v o n den E ig e n s c h a fte n des L ic h ts tra h le s aus u n d z w a r in d e r b e re its v e re in fa c h te n F o rm : G erade S tra h le n , B re ch u n g sg e se tz. D a z u k a m eine K u g e lk a lo tte , d ie G ebiete v e rs c h ie d e n e r L ic h tg e s c h w in d ig k e it v o n e in a n d e r tre n n t.

D ie Z u s a m m e n fa ssu n g a c h s e n s y m m e tris c h e r K e g e lb ü s c h e l zu e in e r A b b ild u n g s fo rm e l w a r n u r in e in e m S o n d e rfa ll m ö g lic h . D e r A n s a tz e n th ie lt also zu v ie l u n d m uß te n a c h trä g lic h e in g e s c h rä n k t w e rd e n . Im G ru n d e g e n o m m en w ic h m a n d e r S c h w ie rig ­ k e it aus, in d e m m a n den G e ltu n g s b e re ic h a u f den G re n z fa ll des achsennahen R aum es e in s c h rä n k te . D ie W in k e l w e rd e n n u n a lle sehr k le in . W a s d u rc h d ie G le ic h s e tz u n g d e r S inus m it den W in k e ln aus d e r K u g e lflä c h e u n d dem B re ch u n g sg e se tz w ir d , b le ib t u n d u rc h s ic h tig . N u r dem Scheine n a ch w ir d das B re ch u n g sg e se tz a u fre c h t e rh a lte n .

D ie z w e ite A b le itu n g m e rz t v o n v o rn h e re in d ie K u g e lflä c h e aus, d e n n h lie g t n ic h t in d e r K u g e lflä c h e , so n d e rn in d e r eine K a lo tte a b sch n e id e n d e n Ebene. D e r V o r te il is t, daß s ta tt d e r S inus d ie T a n g e n s a u ftre te n , a b e r e r w ir d d a d u rc h v e r ­ k ü m m e rt, daß diese E bene b e w e g lic h is t u n d e rs t in dem A u g e n b lic k in den K u g e l­

sch e ite l rü c k t, in dem d e r T a n g e n s seinen U n te rs c h ie d v o m W in k e l e in g e b ü ß t hat.

D e r A n s a tz is t d e r O p tik fre m d , das B re ch u n g sg e se tz t r i t t als e in s a c h lic h n ic h t

b e g rü n d e te r N o th e lfe r a u f u n d w ir d e rs t in v e rk ü m m e rte r F o rm v e rw e n d b a r. Das ganze V e rfa h re n is t n u r als e in re ch n e risch e s K u n s ts tü c k c h e n zu b e w e rte n u n d steht z u r Sache b e ste n fa lls in dem ä u ß e rlic h e n V e rh ä ltn is , das e in B a u g e rü s t z u dem Hause h a t, w elches m it s e in e r H ilfe e rric h te t w ir d . D aß es ü b e rh a u p t z u m Z ie le fü h r t, b e ru h t d a ra u f, daß Sinus u n d T a n g e n s denselben G re n z w e rt, n ä m lic h den sehr k le in e n W in k e l selbst haben.

Das d r itte V e rfa h re n k a n n in d e r F o rm d a rg e s te llt w e rd e n , daß d ie T a n g e n s d e r W in k e l zw isch e n Achse u n d S tra h l v o m D in g -( B ild - )p u n k t zu m P u n k t in d e r H a u p t­

ebene a u ftre te n . D a diese E bene fe s tlie g t, is t k e in e w e ite re R e c h e n h ilfe n ö tig . Ir g e n d e in G e g e n stü ck zum B re ch u n g sg e se tz is t dem gem äß in d e r K o llin e a tio n n ic h t v o rh a n d e n . Es w ä re eine K ü n s te le i, eine ih m e n tsprechende ü b e rflü s s ig e B e z ie h u n g a u fzu ste lle n , d ie ja n ic h ts S elb stä n d ig e s e n th a lte n d ü rfte , w e il sie sonst m it d e r schon v ö llig be­

s tim m te n A b b ild u n g im W id e rs p ru c h w ä re .

A b le itu n g 2 v e r k n ü p ft B e s ta n d te ile v e rs c h ie d e n e r H e rk u n ft, d ie n a c h trä g lic h a u f gem einsam e Reste a b g e b a u t w e rd e n k ö n n e n . B e frie d ig e n d e r is t d ie A r t, w ie Re u s c h

den g e m einsam en G re n z fa ll v o n O p tik u n d K o llin e a tio n d a rs te llt, in d e m e r d u rc h Ü b e rh ö h u n g d e r Z e ic h n u n g q u e r z u r Achse d ie K u g e lflä c h e z u r T a n g e n tia le b e n e s tr e c k t1.

D as B re ch u n g sg e se tz is t eine F o lg e ru n g aus d e r W e lle n v o rs te llu n g , an se in e r S telle k a n n m a n auch d ie W e lle n v o rs te llu n g u n m itte lb a r (Hu y g e n s) o d e r das P rin z ip des aus­

g ezeichneten L ic h tw e g e s (Fe e m a t) in den A n s a tz nehm en. A b e r im m e r fü h r t d e r W e g z u r F o rm e l (2) ü b e r eine G renze, a n d e r auch diese A n sä tze h a ltm a c h e n m üssen u n d ü b e r d ie sie n u r e in e n lin e a re n Rest als S chatten w e rfe n k ö n n e n .

W e r n ic h t zugeben w i l l , daß d ie V e re in fa c h u n g , d ie zu F o rm e l 2 g e fü h rt hat, eine A u s m e rz u n g des B rechungsgesetzes bedeutet, d e r w e n d e dasselbe V e rfa h re n a u f den w a c k e ln d e n T is c h an. D as sie h t d a n n so a u s : D e r T is c h b e h ä lt v ie r B eine, sie w e rd e n a b e r g anz n ahe a n e in a n d e r g e rü c k t; je m e h r dies g e s c h ie h t, u m so besser passen sie sich je d e r b e lie b ig e n U n e b e n h e it des F ußb o d e n s an. D e r U n b e fa n g e n e w ir d den T is c h d a n n fr e ilic h n ic h t m e h r f ü r v ie rb e in ig h a lte n ; a b e r, was schadet das?

K o l l i n e a t i o n u n d O p t i k .

Z ie h t m a n d ie F ig . 12 w ie d e r zu F ig . 11 a u se in a n d e r, so s p a lte t sich a u ß e r d e r H a u p te b e n e auch d e r K n o te n p u n k t, u n d K ' lie g t v o n H ' eben so w e it e n tfe rn t, w ie K v o n H . D ie a u f K z ie le n d e n S tra h le n gehen d u rc h K ! u n te r g e n a u den g le ic h e n W in k e ln gegen die A chse. Sie s p rin g e n d a b e i v o n d e r e in e n z u r a n d e re n H a u p te b e n e an k o n g ru e n t lie g e n d e n P u n k te n . D ie K n o te n p u n k te s in d also d ie Z e n tre n e in e r p e rs p e k tiv is c h e n P r o je k tio n 1 2.

D ie d u rc h d ie K n o te n p u n k te b e s tim m te n B ü n d e l lie fe rn , w e n n m a n im B ild ra u m irg e n d w o eine Ebene s e n k re c h t z u r A chse a u fs te llt, a u f ih r eine A b b ild u n g des D in g ­ r a u m e s a u f eine B i l d e b e n e , w ie w ir sie in d e r M a le re i b e n u tze n u n d in d e r L o c h ­ k a m e ra o p tis c h h e rv o rb rin g e n . D iese A b b ild u n g is t u n v o lls tä n d ig e r als d ie in d e r LiSTiNG schen F ig u r d u rc h d ie B ü n d e l v o n F u n d F ' b e w irk te des D in g r a u m es a u f den B ild r a u m . D e r G ru n d fü r diese M in d e ru n g is t: K u n d K ' s in d k o n ju g ie rte P u n k te , F u n d F ' a b e r n ic h t. D e r E rs a tz e in e r R a u m a b b ild u n g d u rc h z w e i F lä c h e n ­ a b b ild u n g e n in d e r S te re o sko p ie sei h ie r n u r e rw ä h n t.

W ie d ie A b le itu n g e n z e ig te n , lie f e r t d ie K o llin e a tio n a u f d e r A chse gen a u das, w as a u f ih r auch d u rc h je d e irg e n d w ie o p tis c h b e w irk te A b b ild u n g h e rv o rg e b ra c h t w ir d . M it S tra h le n , d ie sich u m gegebene W in k e l v o n d e r Achse e n tfe rn e n , k a n n

1 V gl. Linsenoptik in der Schule, S. 87.

2 Es soll hier n u r ausgedrückt werden, in wie w e it das eine Bündel durch die zu einander konjugierten Knotenpunkte die geometrische A bbildung der K o llin e a tio n d a rs te llt (die durch zwei Bündel eindeutig bestim m t ist). Etwas davon v ö llig Verschiedenes is t die optische A bbildung einer Ebene im Dingraum auf eine Ebene im B ildraum m it einer verzeichnungsfreien Linsenfolge, bei der die Projektionszentren in den M itte n der E in tritts p u p ille und der A u s tritts p u p ille liegen.

und chemischen U nterricht.

1934. H e ft V . W. Vo i k m a n n, Zu r o p t i s c h e n Ab b i l d u n g s f o r m e l. 2 0 1

a b e r e in A c h s e n p u n k t P a u f ein e n gegebenen A c h s e n p u n k t P ' o p tis c h in sehr v ie le rle i W e ise a b g e b ild e t w e rd e n tr o tz fe s tlie g e n d e r A b b ild u n g f ü r die A c h s e n s tra h le n . I n d e r K o llin e a tio n dagegen g ib t es d a n n n u r eine M ö g lic h k e it. D as lie g t d a ra n , daß die O p tik K u g e lflä c h e n b e lie b ig e r K r ü m m u n g 1 z u r V e rfü g u n g hat, d ie K o llin e a tio n a b e r n u r d ie z u r Achse se n kre ch te Ebene.

D ie g ro ß e A u s w a h l, w elche d ie O p tik z u r V e rfü g u n g h a t, u m S tra h le n a u ß e rh a lb d e r Achse zu fü h re n , lä ß t sich n ic h t in e in e r e in fa c h e n A b b ild u n g s fo rm e l zu sa m m e n ­ fassen. D e n n och re ic h t d e r N u tz e n d e r im e in fa c h e n G re n z fa ll des d ü n n e n A c h s e n ­ raum es g ü ltig e n K o llin e a tio n s fo rm e l auch in jenes G ebiet h in e in .

L . Se i d e l h a t in d e r M itte des v o rig e n J a h rh u n d e rts N ä h e ru n g s fo rm e ln z u r V o ra u s ­ b e re c h n u n g v o n L in s e n fo lg e n a b g e le ite t, d ie d a ra u f beru h e n , daß v o n d e r R e ih e n e n tw ic k - lu n g d e r trig o n o m e tris c h e n F u n k tio n n ic h t n u r das erste, so n d e rn auch das nächste G lie d b e n u tz t w ir d . B e i d e r optisch e n A b b ild u n g tre te n d ie Sinus, bei d e r K o llin e a tio n die T a n g e n s a u f. D ie K e ilie n e n tw ic k lu n g e n die se r b e id e n F u n k tio n e n e n th a lte n dieselben P otenzen, n ä m lic h d ie u n g e ra d e n . D a d u rc h is t es

m ö g lic h , d ie in den sehr la n g e n F o rm e ln a u f­

tre te n d e n T e rm e g ro ß e n te ils in den le ic h t e rh ä lt­

lic h e n D a te n d e r A b b ild u n g im achsennahen R a u m a u s z u d rü c k e n .

D ie g ro ß e A u s w a h l, w e lc h e die O p tik z u r V e r ­

fü g u n g h a t, U m d ie L ic h ts tra h le n a u ß e rh a lb d e r Fig. 13. Eine optisch unbrauchbare Abbildung.

A chse zu fü h re n , e rm ö g lic h t d ie „ K o r r e k t io n “ d e r

o p tisch e n L in s e n . D as h e iß t, d u rc h eine F o lg e passend a u s g e w ä h lte r G re n zflä ch e n u n d d u rc h s ic h tig e r S to ffe k a n n d ie A b b ild u n g des R aum es a u f eine E bene g e g e n ü b e r d e r A b b ild u n g d u rc h eine E in z e llin s e sehr v e rb e s s e rt w e rd e n . D ie „ K o r r e k t io n “ z ie lt a b e r n ic h t e tw a a u f e in N a c h b ild e n d e r k o llin e a re n A b b ild u n g ab, so n d e rn g e h t g a n z andere W ege. A m m e iste n v e rb r e ite t is t d e r Ir r tu m , daß es a u f eine N a c h b ild u n g d e r H a u p t­

ebenen anko m m e . D as w ü rd e F ig . 13 entsprechen. A u f dem A c h s e n s tra h l w ü rd e die N a c h b a rs c h a ft des P u n kte s P in P ' 1/ 7 v e r k le in e r t w e rd e n , a u f dem s c h rä g geze ichn e te n S tra h l im V e rh ä ltn is 1/ 2,6> a u f n o ch w e ite r a b w e ich e n d e n n och w e n ig e r. O p tisch is t n ä m lic h f ü r d ie G röße d e r A b b ild u n g d ie L ä n g e d e r S tra h le n bis zu m K n ic k m aß gebend, k o llin e a r a b e r d ie L ä n g e d e r P ro je k tio n d e r S tra h le n a u f die A chse. E in e optische A b b ild u n g n ach F ig . 13 w ü rd e g anz ve rw a sch e n e u n d u n b ra u c h b a re B ild e r lie fe rn .

W e n n w ir d ie LiSTiNGSche F ig u r b e n u tze n , u m das B ild eines n ic h t a u f d e r Achse lie g e n d e n P u n kte s u n d das G rö ß e n v e rh ä ltn is v o n D in g u n d B ild zu Anden, so m achen w ir v o n den b e id en entge g e n g e se tzte n E ig e n s c h a fte n G e brauch, daß d ie K o llin e a tio n als g e o m e t r i s c h e s A b b i l d u n g s v e r f a h r e n rä u m lic h u n b e g re n z te G e ltu n g hat, u n d daß sie in d e r N ähe d e r A chse z u g le ic h den G re n z w e rt je d e r o p t i s c h m ö g lic h e n A b b ild u n g d a rs te llt.

A u f k e in e n F a ll a b e r d a r f d ie LiSTiNGsche F ig u r als eine W ie d e rg a b e v o n L ic h t ­ s tra h le n in e n d lic h e m A b s ta n d v o n d e r A chse g e d e u te t w e rd e n . Es is t desh a lb auch g ä n z lic h v e r k e h r t, H a u p te b e n e n in w ir k lic h e n L in s e n o d e r L in s e n fo lg e n z u suchen.

D ie b e id e n H a u p te b e n e n d e r K o llin e a tio n legen zusam m en m it den b e id e n B re n n p u n k te n das B ild jedes D in g p u n k te s fest. Es is t n ic h t m ö g lic h , f ü r eine L in s e n fo lg e e in F lä c h e n ­ p a a r v o n so w e itg e h e n d e r B e d e u tu n g a nzugeben. F ü r k o n ju g ie rte P u n k te a u f d e r Achse k a n n m a n je d e n a b gehenden u n d a n k o m m e n d e n S tra h l ohne R ü c k s ic h t a u f d ie brech e n d e n F lä c h e n v e rlä n g e rn , b is e in a n d e r z u g e o rd n e te S tra h le n sich schneiden. D iese S c h n itt­

p u n k te s te lle n eine E rs a tz flä c h e d a r z u g l e i c h fü r die L in s e n fo lg e u n d die A b b ild u n g dieses P u n k tp a a re s , a b e r n ic h t a llg e m e in f ü r eines v o n b e id e n . W e n n m a n w ü n sch t, daß ih re U m g e b u n g v o n a lle n S tra h le n in g le ic h e r G röße g e ze ichn e t w e rd e , s o ll die S p u r d ie s e r E rs a tz flä c h e e in A p o llo n is c h e r K re is f ü r d ie b e id en P u n k te sein. Ir g e n d

1 Die noch w eiter gehenden M öglichkeiten kommen hier n ich t in B etracht.

u m dies a n z u d e u te n , sie als K n ic k flä c lie bezeichnen, ein e n K n ic k flä c h e v ie le K n ic k flä c h e n p a a re zeichnen.

(.jji B re ch u n g sg e se tz an d e r E rs a tz flä c h e lä ß t sich a b e r n ic h t d e fin ie r e n , m an k a n n , M a n k a n n auch an S te lle d e r

F ü r A b b ild u n g eines A ch se n ­ p u n k te s lie g e n d a n n zusam ­ m e n g e h ö rig e P u n k te d e r b e i­

den K n ic k flä c h e n in g le ic h e m A b s ta n d v o n d e r A chse. E in e s d ie se r F lä c h e n p a a re g e h t z w a r d u rc h d ie b e id en H a u p tp u n k te , es e rh ä lt a b e r d a d u rc h k e in e B e d e u tu n g , d ie m it d e r d e r H a u p te b e n e n v e rg le ic h b a r i s t 1.

Z u r V e ra n s c h a u lic h u n g diene F ig . 14. U m M g e h t d e r A p o llo n is c h e K re is , d e r P P ' im V e rh ä ltn is 3 :1 te ilt. 1, 2, 3 s in d K re is e u m P u n d P , d e re n zu sa m m e n ge h ö rig e P u n k te f ü r das b is zum S c h n itt gezeichnete S tra h le n p a a r d u rc h u n te rb ro c h e n e L in ie n v e rb u n d e n sin d . D ie K re is e 2 gehen d u rc h d ie H a u p t­

p u n k te , u n d d ie K re is e 1 schneiden s ich a u f dem A p o llo n is c h e n K re is .

G anz v e rfe h lt is t d e m n a ch au ch d ie in v ie le P h y s ik b ü c h e r ü b e rg e g a n g e n e A n le itu n g zum A u f­

fin d e n d e r H a u p tp u n k te . D as e rk e n n t m a n am le ic h te s te n aus ih r e r A n w e n d u n g a u f d ie P la n ­ k o n v e x lin s e (F ig . 15). D ie A n w e is u n g h e iß t, m a n ziehe ein e n e in fa lle n d e n S tra h l p a ra lle l z u r Achse Fig. 15. Die angebliche Auffindung eines

Hauptpunktes,

u n d den z u g e h ö rig e n a u s tre te n d e n S tra h l, v e rlä n g e re b e id e b is zum S c h n itt u n d fä lle das L o t a u f d ie A chse. I n dem g e ze ichn e te n F a ll, d e r deshalb so ü b e rs ic h tlic h is t, w e il n u r an d e r z w e ite n F lä c h e B re c h u n g s ta ttfin d e t, fü h r t diese A n le itu n g im m e r a u f einen P u n k t in n e rh a lb d e r L in s e , w ä h re n d d e r H a u p tp u n k t ta ts ä c h lic h im L in s e n s c h e ite l lie g t.

Reines Kupfer(l)-oxyd für die Ableitung des Gesetzes der multiplen Proportionen.

Von R. Scharf in B erlin.

D e r A u s g a n g s p u n k t f ü r d ie e x a k te B e h a n d lu n g d e r A to m th e o rie is t das Gesetz d e r m u ltip le n P ro p o rtio n e n . V o m m e th o d is c h e n S ta n d p u n k t gesehen e ig n e t sich z u r A b le itu n g dieses Gesetzes am besten d ie R e d u k tio n v o n K u p fe r ( l) - o x y d u n d von K u p fe r(2 )-o x y d . W e r es je v e rs u c h t h a t, K u p fe r ( l) - o x y d q u a n tita tiv zu re d u z ie re n , w ir d w issen, daß d ie s e r V e rs u c h seine T ü c k e n h a t. D as lie g t d a ra n , daß re in e s K u p fe r ( l) - o x y d im C h e m ik a lie n h a n d e l e in fa c h n ic h t zu hab e n is t. Ic h habe P rä p a ra te v e rs c h ie d e n s te r H e r k u n ft a u f ih re Z u s a m m e n se tzu n g u n te rs u c h t, u n d ic h habe b e i k e in e m v o n ih n e n e in e in ig e rm a ß e n z u frie d e n s te lle n d e s V e rh ä ltn is v o m K u p fe r- zum S a u e rs to ffg e h a lt g e fu n d e n . A u ß e rd e m w a re n fa s t a lle u n te rs u c h te n H a n d e ls w a re n c h lo rid h a ltig , w as, abgesehen v o n d e r V e rs c h le c h te ru n g d e r g e w ic h ts m ä ß ig e n Z u sa m m e n ­ setzung, den w e ite re n N a c h te il h a tte , daß sich b e i d e r R e d u k tio n m it W a s s e rs to ff e in K u p fe rs p ie g e l im S c h iffc h e n u n d so g a r a u ß e rh a lb desselben b ild e te . U m diese N a c h te ile zu v e rm e id e n , w u rd e n v o n a n d e re n A u to r e n 1 2 V e rfa h re n angegeben, die aus dem im H a n d e l b e fin d lic h e n K u p fe r ( l) - o x y d e in re in e re s P ro d u k t h e rs te lle n . D iese V e rfa h re n s in d je d o c h u m s tä n d lic h u n d fü h re n a uch zu k e in e m v o lle n E rfo lg . Ic h habe d a h e r fo lg e n d e n W e g f ü r d ie H e rs te llu n g v o n re in e m K u p fe r ( l) - o x y d e in g esch la g e n .

1 N u r fü r die S agittalstrahlen is t dieses Elächenpaar vo r anderen ausgezeichnet.

2 Arendt-Doermer : Technik der Experim ental-Chem ie, 5. A u fl., S. 335/336 u. S. 346.

und chemischen U nterricht.

1934. H e ft V. R . Sc h a r f, Re in e s Ku p f e r(1)-o x y d.

203

K u p fe r( 2 )-o x y d u n d m e ta llis c h e s K u p fe r w e rd e n in e in e r M is c h u n g ä q u iv a le n te r M engen u n te r L u fta b s c h lu ß g e g lü h t. A ls K u p fe r(2 )-o x y d v e rw a n d te ic h „ K u p fe r o x y d - P u lv e r z u r E le m e n ta ra n a ly s e “ v o n K a h lb a u m , das u n te r den n ö tig e n V o rs ic h ts m a ß ­ re g e ln (s. Ar e n d t- Do e r m e r, 5. A u fl., S. 334) g e tro c k n e t w u rd e ; e in A u s g lü h e n des O x y d s fü h r t b e k a n n tlic h zu e in e r g e rin g e n S a u e rsto ffa b g a b e . Das m e ta llis c h e K u p fe r s te llte ic h m ir se lb st h e r d u rc h R e d u k tio n v o n K u p fe r(2 )-o x y d m it tro c k e n e m W a s s e r­

s to ff bei m ö g lic h s t n ie d rig e r T e m p e ra tu r. D ie H a n d e ls p ro d u k te , auch d ie S o rte „ e x tra - fe in “ v o n K a h lb a u m , g e n ü g te n n ic h t in B e zu g a u f ih re F e in h e it. D as k o m m t s ic h e rlic h d a h e r, daß d ie H e rs te lle r des re d u z ie rte n K u p fe rs aus G rü n d e n d e r B illig k e it v o n g rö ß e re n M e ngen K u p fe r o x y d ausgehen müssen, die sich d a n n d u rc h die R e a k tio n s ­ w ä rm e so w e it e rh itz e n , daß d ie fe in s te n K u p fe rte ilc h e n zu sa m m e n s in te rn . S e lb st­

v e rs tä n d lic h lassen sich auch d ie b e i d e r A b le itu n g des Gesetzes d e r m u ltip le n P ro ­ p o rtio n e n e rh a lte n e n R ü ckstä n d e re d u z ie rte n K u p fe rs v e rw e n d e n .

I n e in e m n ic h t z u k le in e n W ä g e g lä s c h e n w ir d zu n ä ch st eine K u p fe rm e n g e v o n 6 bis 8 G ra m m a u f Z e n tig ra m m e gen a u abg e w o g e n u n d d a ra u f d ie b e re ch n e te M enge K u p fe r(2 )-o x y d (das l,2 5 1 7 fa c h e d e r K u p fe rm e n g e ) h in z u g e w o g e n . D e r In h a lt des W ä g e g läsch e n s w ir d in eine saubere u n d g a n z tro c k e n e P o rz e lla n -R e ib s c h a le g e s c h ü tte t u n d g rü n d lic h v e rm is c h t u n d z e rrie b e n , bis k e in e h a rte n K ö rn c h e n m e h r m it dem P is t ill w a h rz u n e h m e n sin d . D ie in d e r R e ibschale b e fin d lic h e M is c h u n g w ir d in ein R e a g en zg la s aus S u p re m a x g la s e in g e fü llt; m e in e G lä s e r h a tte n eine L ä n g e vo n 160 m m , 17 m m In n e n d u rc h m e s s e r u n d d ie W a n d s tä rk e 2 m m . D ie K u p fe r-K u p fe r- o x y d -M is c h u n g w ir d in den u n te re n T e il des R eagenzglases g e s c h ü tte t; an den W ä n d e n h a fte n d e P u lv e rte ilc h e n w e rd e n d u rc h A u s w is c h e n m it e in e m tro c k e n e n L a p p e n e n tfe rn t. D as R e a g en zg la s w ir d m it e in e m e in fa c h d u rc h b o h rte n G u m m i­

stopfen, in dem e in k u rz e s , b e id e rs e its offenes G la s rö h rc h e n s te c k t, verschlossen. A u f dieses G la s rö h rc h e n w ir d e in k u rz e s S ch la u c h s tü c k a u fg e s e tz t, das an dem e in e n E nde d u rc h e in S tü ckch e n G lasstab verschlossen is t u n d an d e r Seite ein e n in R ic h tu n g d e r L ä n g sa ch se v e rla u fe n d e n , 1 cm la n g e n E in s c h n itt m it e in e m sc h a rfe n T a s c h e n ­ m esser e rh a lte n h a t (B u n s e n v e n til). D ie b e im E rh itz e n sich ausdehnende L u f t u n d d e r u n te r U m s tä n d e n sich b ild e n d e W a s s e rd a m p f [w e n n das K u p fe r( 2 )-o x y d v o rh e r n ic h t s o rg fä ltig g e tro c k n e t w u r d e !] kö n n e n m it H ilfe d ie se r V o rric h tu n g w o h l aus dem Glase e n tw e iche n , je d o ch k a n n k e in e L u f t v o n außen h e r an das sich b ild e n d e K u p fe r ( l) - o x y d h e ra n .

D as m it dem V e n til verschlossene R e a g en zg la s w ir d w a a g e re c h t o d e r m it g e rin g e r N e ig u n g (das offe n e E n d e tie fe r als das g e sch losse n e !) nahe am S to p fe n in e in S ta tiv g e sp a n n t. N a ch v o rs ic h tig e m A n w ä rm e n m it le u c h te n d e r F la m m e w ir d d ie Masse e tw a 15 M in u te n m it e in e m T e k lu - o d e r ä h n lic h e n B re n n e r k r ä f t ig e rh itz t, w o b e i das R e a g en zg la s e in ig e M ale u m 90° u m seine A chse g e d re h t w ir d , d a m it a lle T e ile des P u lv e rs g u t d u rc h g lü h e n k ö n n e n . D ie zu n ä c h s t b rä u n lic h g e fä rb te Masse w ir d d a b e i a llm ä h lic h sc h w a rz . S o llte n s ich doch n och e in ig e W a s s e rtro p fe n a n d e m H a ls e des R eagenzglases n ie d e rs c h la g e n , so s in d diese m it d e r le u c h te n d e n F la m m e eines z w e ite n B re n n e rs m ö g lic h s t zu m V e rd a m p fe n zu b rin g e n .

N a ch e in e r V ie rte ls tu n d e w ir d d e r B re n n e r e n tfe rn t u n d das R e a g en zg la s bis z u r v o lls tä n d ig e n A b k ü h lu n g sich selbst üb e rla sse n . D a b e i v e rä n d e rt sich d ie F a rb e des e rh a lte n e n K u p fe r ( l) - o x y d s g a n z a u ffä llig zu dem b e k a n n te n Z ie g e lro t. U m das g e b ild e te K u p fe r ( l) - o x y d aus dem G lase zu e n tfe rn e n , m uß dieses m itu n te r z e rsch la g e n w e rd e n , besonders w e n n das P u lv e r v o r dem G lü h e n g a r zu fe st e in g e s ta m p ft w o rd e n ist.

D ie ro te , b rö c k lig e Masse w ir d d a n n no ch in e in e r R e ib s c h a le z e rrie b e n u n d z u r V o rs ic h t in k le in e R e a g en zg lä sch e n p o rtio n s w e is e , w ie m a n sie g e ra d e fü r ein e n V e r ­ such b e n ö tig t, e in g e sch m e lzt. Es is t v o rte ilh a ft, d a m it g le ic h eine W ä g u n g d e r e in ­ geschm elzten M e ngen zu v e rb in d e n , u m in d e r U n te rric h ts s tu n d e schon ein e n A n h a lt fü r das zu e rm itte ln d e G e w ic h t des K u p fe r ( l) - o x y d s zu haben.

D aß je tz t w ir k lic h K u p fe r ( l) - o x y d v o r lie g t u n d n ic h t e tw a e in zu sam m engesin- te rte s G em isch v o n K u p fe r u n d K u p fe r(2 )-o x y d , e rk e n n t m a n d a ra n , daß das R e a k tio n s ­ p ro d u k t n ahezu re s tlo s in S alzsäure lö s lic h is t u n d die L ö s u n g a lle E ig e n s c h a fte n des K u p fe r ( l) - c h lo r id s ze ig t.

D ie w e ite re A u s fü h ru n g des V ersuches d ü rfte b e k a n n t s e in : Ü b e r z w e i S ch iffch e n , das eine m it K u p fe r ( l) - o x y d , das a n d e re m it K u p fe r( 2 )-o x y d g e fü llt, w ir d g le ic h z e itig b e i h ö h e re r T e m p e ra tu r W a s s e rs to ff g e le ite t. A u s den G e w ic h ts a b n a h m e n d e r S ch iffch e n e rg e b e n sich d ie S a u e rsto ffm e n g e n . B ezogen a u f d ie g le ic h e K u p fe rm e n g e v e rh a lte n sich d ie b e id e n S a u e rs to ffz a h le n w ie 1 : 2. W ir d d e r V e rs u c h als D e m o n s tra tio n s ­ ve rs u c h a u s g e fü h rt, so k a n n m a n z w e c k m ä ß ig auch e le k tris c h e H e iz u n g v e rw e n d e n , w ie sie in a n d e re m Z u sa m m e n h ä n g e in e in e r A r b e it v o n H . Pe t z o l d u n d R. Sc h a r e1 b e s c h rie b e n w u rd e .- D e r O fe n f ü r diesen V e rs u c h w ü rd e a m besten m it C h ro m n ic k e l­

b a n d (ich b e n u tzte B a n d 1,25 m m X 0,1 m m ) g e w ic k e lt w e rd e n ; H a lte s tre ife n aus A sbest s in d ü b e rflü s s ig , da d e r O fe n in h o riz o n ta le r L a g e g e b ra u c h t w ir d . E in e B e z u g sq u e lle f ü r C h ro m n ic k e l-D ra h t u n d -B a n d i st : E d e ls ta h lw e rk e S ö d in g & H a ib a c h , H a m m in W e s tfa le n .

V ie r v e rs c h ie d e n e P ro b e n selbst h e rg e s te llte n K u p fe r ( l) - o x y d s h a tte n ein e n S a u e r­

s to ffg e h a lt v o n 12,44 g, 12,49 g, 12,56 g, 12,56 g, b e re c h n e t a u f 100 g K u p fe r ; das e n ts p ric h t F e h le rn v o n 1,1 b is 0,2 P ro z e n t. M it dem z u le tz t h e rg e s te llte n u n d besten K u p fe r ( l) - o x y d u n d m it K u p fe r( 2 )-o x y d z u r E le m e n ta ra n a ly s e als A u s g a n g s p ro d u k te n e rg a b e n sich S a u e rs to ffz a h le n , d ie sich w ie 1 :2 ,0 0 3 v e rh ie lte n .

Kleine Mitteilungen.

Doppler-Effekt erster Art.

Von R. Jockel in Berlin-G runew ald.

W e n n auch d e r a ku stisch e D o p p le r- E ffe k t e rs te r A r t v o n v ie le n S c h ü le rn b e i v o rb e ifa h re n d e r p fe ife n d e r L o k o m o tiv e o d e r h u p e n d e m A u to b e o b a c h te t w o rd e n is t, so is t es d och w ü n s c h e n s w e rt, diese E rs c h e in u n g an e in e m e n tsp re ch e n d e n V e rs u c h im U n te r r ic h t n o ch m a ls g e n a u w a h rn e h m e n zu lassen. A ls T o n q u e lle k a n n m a n eine g e w ö h n lic h e S p o rtp fe ife v e rw e n d e n , d e re n M u n d s tü c k d u rc h e in k le in e s S c h la u c h s tü c k m it e in e m G u m m i-K in d e rlu ftb a llo n v e rb u n d e n w ir d . N a c h d e m d u rc h d ie P fe ife n ö ffn u n g d e r B a llo n m it L u f t g e fü llt is t, e rtö n t d ie P fe ife in einem b e s tim m te n T o n . U m n u n d ie tö n e n d e P fe ife g e fa h rlo s u n d bequem d u rc h d ie K la sse w e rfe n zu k ö n n e n , be ­ fe s tig t m a n d ie „p fe ife n d e L o k o m o tiv e “ lä n g s des D u rch m e sse rs eines G u m m i-T e n n is ­ rin g e s . S ch ü le r, d ie in d e r N ä h e d e r A b w u rfs te lle stehen, v e rn e h m e n e in T ie f e r ­ w e rd e n des T o n e s ; S ch ü le r, d ie lä n g s d e r F lu g b a h n A u fs te llu n g g e n o m m en haben, beo b a ch te n e rs t e in H ö h e rw e rd e n , n a ch dem V o rb e iflu g e in T ie fe rw e rd e n , u n d d ie ­ je n ig e n , d ie sich an d e r R ü c k w a n d des P h y s ik z im m e rs b e fin d e n , d e r A u ftre ffs te lle d e r b e w e g te n P fe ife , h ö re n n u r e in H ö h e rw e rd e n des T o n e s. D u rc h ve rsch ie d e n e W u rfg e s c h w in d ig k e ite n k a n n m a n d ie A b h ä n g ig k e it d e r Ä n d e ru n g d e r beobachteten T o n h ö h e v o n d e r G e s c h w in d ig k e it d e r b e w e g te n T o n q u e lle zeigen.

Z u r E r k lä r u n g des D o p p le r-E ffe k te s u n d in sb e son d e re zu se in e r q u a n tita tiv e n E rfa s s u n g k a n n m a n w ie b e i v ie le n a k u s tis c h e n E rs c h e in u n g e n einen en tsp re ch e n d e n V e rs u c h m it W a s s e rw e lle n h e ra n z ie h e n . I n e in e m B e c k e n v o n e tw a 90 X 60 cm G röße, das u n g e fä h r 1 cm h o ch m it W a s s e r g e fü llt is t, w ir k e n d ie re g e lm ä ß ig e n T ro p fe n aus einem T r o p ft r ic h te r als W e lle n e rre g e r. (A ls B e c k e n k a n n m a n auch e in e n ausgehobenen F e n s te rflü g e l v e rw e n d e n , m uß a b e r d a ra u f a c h te n , daß die Scheiben n o ch g u t g e k itte t s in d .) D e r T r o p ftr ic h te r is t an e in e m S ta tiv b e fe s tig t,

1 H . Pe t z o l d und R. Sc h a r f: E in A pparat zur E rm ittlu n g des Volum verhältnisses bei der Synthese des Wasserdampfes. Diese Zeitschr. 45, 97 (1932).

und chemischen U nterricht.

1934. H e ft V. Kl k i n e Mi t t e i l u n g e n. 205

das lä n g s d e r lä n g e re n Seite des B eckens v e rs c h ie b b a r ist. B e i feststehendem T r o p ftr ic h te r b eobachtet m a n k o n z e n tris c h e W e lle n rin g e v o n b e s tim m te r W e lle n ­ lä n g e . B e w e g t m a n n u n d e n W e lle n e rre g e r, so s in d d ie e rre g te n W a sse rw e lle n n ic h t m e h r k o n z e n tris c h . D a a b e r d ie F o rtp fla n z u n g s g e s c h w in d ig k e it d e r W e lle n ­ b e w e g u n g im W a sse r dieselbe b le ib t, b e o b a c h te t m a n in R ic h tu n g d e r B e w e g u n g des T ro p l'tric h te rs eine k le in e re W e lle n lä n g e als in d e r e n tg e g e n g e se tzte n R ic h tu n g . In d e r B e w e g u n g s ric h tu n g w e rd e n d ie W e lle n rin g e z u s a m m e n g e d rä n g t, rü c k w ä rts aus­

e in a n d e r gezogen. Es b le ib t a b e r d ie K re is fo rm des e in ze ln e n W e lle n rin g e s e rh a lte n u n d n ic h t, w ie m a n in e in ig e n P h y s ik le h rb ü c h e rn in s ch e m a tich e n Z e ic h n u n g e n des D o p p le r-E ffe k te s d a rg e s te llt s ie h t, zu e in e r e ifö rm ig e n G e s ta lt z u s a m m e n g e d rü c k t.

D e r V e rs u c h z e ig t so m it, daß d ie Ä n d e ru n g d e r T o n h ö h e b e im D o p p le r- E ffe k t e rs te r A r t b e d in g t is t d u rc h d ie Ä n d e ru n g d e r W e lle n lä n g e des v o n d e r b e w e gte n tö n e n d e n P fe ife e rze u g te n W e lle n fe ld e s . D ie V e rs u c h s a n o rd n u n g g e s ta tte t, d u rc h v e rsch ie d e n sch n e lle B e w e g u n g des T ro p ftr ic h te r s auch den E in flu ß d e r B e w e g u n g s g e s c h w in d ig ­ k e it des W e lle n z e n tru m s a u f d ie Ä n d e ru n g d e r W e lle n lä n g e zu ze ig e n. B e i k le in e re n W a sse rb e cke n k a n n m a n d ie S tö ru n g e n , die d u rc h R e fle x io n an den W ä n d e n auf- tre te n , d u rc h V e rk le id e n des R andes m it einem T u c h b eseitigen.

Sichtbare Folgen der Verdunstung einer niedrig siedenden Flüssigkeit.

Von D r. Hermann Lorenz in Bonn.

U m d ie V e rd u n s tu n g e in e r — m e is t w a s s e rk la re n — F lü s s ig k e it beobachten zu k ö n n e n , fe h lt es g e w ö h n lic h an d e u tlic h e rk e n n b a re n T e ilc h e n , d ie d ie B e w e g u n g d e r F lü s s ig k e it m itm a c h e n u n d d a m it s ic h tb a r w e rd e n lassen. A lu m in iu m p u lv e r is t fü r diesen Z w e c k sehr g e e ign e t. D as s te llte d e r V e rfa s s e r z u fä llig fest, als e r M e t a llfix 1 A c e to n zusetzte u n d e in s ta rke s B ro d e ln in d e r L ö s u n g

sah. M an k a n n so a u f e in fa ch e W eise den V o rg a n g d e r V e rd u n s tu n g a u g e n fä llig zeigen.

M a n tr ä g t z. B. e in ig e T ro p fe n M e ta llfix a u f den u m ­ g e k e h rte n D e c k e l eines k le in e n P o rz e lla n tie g e ls a u f u n d r ü h r t es m it re ic h lic h A c e to n (Sdp. 56, 7° C) zu e in e r le ic h t b e w e g lic h e n Masse an, w o b e i das A lu m in iu m p u lv e r a u f­

g e sch le m m t w ir d . W e n n m a n d a n n das Ganze sich selbst ü b e rlä ß t, so w ir d ein h e ftig e s B ro d e ln b eobachtet. D ie O berfläche d e r M is c h u n g is t s p ie g e lb la n k . U n t e r ih r b ild e n sich k le in e „ K r a t e r “ in le b h a fte r T ä tig k e it, die v o n e in a n d e r d u rc h A n h ä u fu n g e n v o n A lu m in iu m s ta u b g e tre n n t sind. Es g e lin g t n a ch e in ig e m H e ru m p ro b ie re n , e in s ta tio n ä re s B ild w ä h re n d e in ig e r S ekunden zu b e ­ ko m m e n , das sich bequem p h o to g ra p h ie re n lä ß t. So is t

d ie b e ig e fü g te F ig u r h e rg e s te llt w o rd e n . D ie O berfläche e rn e u e rt sich fo rtw ä h re n d in ra sch e m T e m p o , so daß in s tü rm is c h e m V o rg ä n g e d ie M o le k ü le des A cetons aus d e r T ie fe n ach oben a u fs te ig e n müssen.

D e r V e rsu ch k a n n auch m it fe ttfre ie m A lu m in iu m p u lv e r fe in s te r K ö rn u n g a lle in u n d m it a n d e re n F lü s s ig k e ite n (Ä th e r , Sdp. 3 4 ,6 ° C) ä h n lic h a u s g e fü h rt w e rd e n . M it fe tth a ltig e m P u lv e r lä ß t sich d e r fo lg e n d e hübsche V e rs u c h m a c h e n : G ie ß t m a n a u f ein solches P u lv e r A ceton, so b e d e c k t sich d ie F lü s s ig k e its o b e rflä c h e m it e in e r A lu m in iu m ­ h a u t, da A c e to n F e tt n ic h t lö st. G ib t m a n d a n n Ä th e r h in z u , d e r sich m it A c e to n m is c h t u n d F e tt löst, so v e rs c h w in d e t d ie H a u t, das G em isch b ro d e lt h e ftig . D e r Ä th e r

1 M e ta llfix is t ein wasserunlöslicher, farbloser, dickflüssiger K itt, der zur besseren Verwendung m it A lum inium pulver versetzt ist. Es is t von der Firm a G re v e & B e h re n s , A b t. M e ta llfix, Stellingen-Ham burg, Postfach 13, zu beziehen. Man e rbitte die Gratissendung eines Probefläschchens.

Bild stationärer „Krater“ in einer Mischung- von Aceton und Alu- miniumpulver (Metallfix), die auf einer flachen Schale verdunstet.