Zeitschrift für den Physikalischen und Chemischen Unterricht, 1938 H 5

ZEITSCHRIFT

FÜR DEN PHYSIKALISCHEN UND CHEMISCHEN UNTERRICHT

51. JAHRGANG 1938 H E F T 5

A b la u f und D auer der Planetenabsclileuderung und Sonnenschrumpfung.

Von Hans Lorenz in München.

1. D e r T r e n n u n g s v o r g a n g .

In der A b ha ndlung „E lem en ta re P rü fu n g der LAPLACEschen Abschleuderungstheorie“

[diese Zeitschr. 50, 49 (1937)] w urde die M ö g lich ke it einer aufeinanderfolgenden A b ­ schleuderung d e r B egleiter vom Z e n tra lk ö rp e r auf G run d des Flächensatzes und des d ritte n KEPLERschen Gesetzes sowie d er E rh a ltu n g der

D rehw ucht nachgewiesen und die m it der scharfen Ä q u a to rka n te jew e ils übereinstim m enden T re n n u n g s­

halbmesser berechnet. H ie rb e i han de lt es sich n u r um Beziehungen zwischen den Bew egungszuständen nach d e r A bschleuderung und in der G egenw art, die sowohl vom T re n nu ng svorga n g als auch vom V e rla u f des Ü b e r­

gangs der B e gle iter in ih re r jetzig en Bahn unabhängig w aren. Das bedeutete naturgem äß den V e rz ic h t auf jede Z eitbestim m ung, die zu r B e u rte ilu n g der A b ­ schleuderungstheorie n ic h t entbehrt w erden ka n n und die K e nn tn is der E in zelvorgänge e rfo rd e rt.

W ir betrachten zunächst den T re n nu ng svorga n g des Begleiters m von der Ä q u a to r­

kante des Z en tralkö rp ers m0 im Abstande r von dessen Drehachse und m it der U m fan gs­

gesch w in dig keit u und lassen es dahingestellt, ob die A b tren nu n g durch Zusam men­

b a llu n g innerhalb des Ä quatorw ulstes oder d urch Abblasen eines Gasringes und darau f folgende Zusam menziehung zum nahezu k u g e lfö rm ig e n B e gle iter m it dem Halbmesser a1 e rfo lgt.

Das in der F ig u r dargestellte E rgebnis is t je d en fa lls eine B e rüh ru ng des getrennten Begleiters m m it dem auf den H albm esser r x — ( / — eq) zurückgegangenen, n ic h t m ehr scharfkantigen Ä quator. Im F a lle eines RocHEschen M odells des ursp rü ng lich e n Zen­

tra lk ö rp e rs m it p u n k tfö rm ig e r M assenverdichtung w ürde der in der F ig u r gestrichelte M e rid ia n m it der Äquatorebene den W in k e l 60° einschließen und zwischen zw ei E llip ­ sen m it den großen Halbachsen / und i \ sowie der gemeinsamen k le in e n Halbachse 6 = 3 / 4 / verlaufen. A ndererseits is t der Bestand des k u g e lfö rm ig e n B egleiters in der bezeichneten Lage an den Ausgleich der Beschleunigungen im B e rührungspunkt, also m it R ücksicht auf die jed en fa lls starke Z e n tra lv e rd ic h tu n g vo n m 0, m it / an die Bedingung

( 1 ) r i r ' y ma

gebunden, aus der w ir a. a. 0 . schon die in der d o rtig e n T a fe l 4 zusammengestellten Trennungshalbm esser der Planeten berechnet haben.

W ir setzen nun w e ite r voraus, daß der G esam tinhalt des Ä quatorw ulstes vo n etwa dem halben R aum un erschied A V der beiden E llip so id e m it den großen Halbachsen / und rx bei gleicher Polaclise b in den abgeschleuderten B e gle iter übergegangen ist.

Das g ib t m it der in A V herrschenden D ichte ö' vo n m0 m it <q < /

“ = A V = y

l.,T

( / 2 — r\ ) b — ~ r / ai b = ^ n r ' 2ax (2)

Abtrennung: des Begleiters vom Zentralkörper.

U . 51. 13

178 H. Lokenz: Ablauf und Dauer dek Planetenabschleuderung. Zel]|jnundfü^

oder nach Ausschaltung von

F ühren w ir schließlich noch Sonne beim jetzig en Halbm esser

durch (1)

v _ m 9 i/m m , 0 — Zf - * ' W~

die m ittle re r n durch

n r “ D ichte 47rr*!<V

(2a)

<50 des Z en tralkö rp ers, also der 3 m0 ein, so w ird aus (2a)

(3a) l 5! — 3 J i . l

ö0 ~ 2 r * \ m 0 -

H iernach is t ö' die m ittle re D ichte der Randschicht, aus w elcher der abgeschleuderte B egleiter im Zentralabstande r' hervorgegangen ist, wobei die D icke dieser R andschicht selbst m it der Begleiterm asse wächst. D er B e g le ite r seinerseits hat nach der Abschleu­

derung die durch 4 tt ^ = 3 m gegebene m ittle re D ichte dlt die wegen (1) m it d e r­

jenigen d' der R andschicht und der je tz ig e n des Z en tralkö rp ers durch die Beziehungen

¿1 _ 2 m0 = rl ■ / m„

ö' 3 m ’ Ö0 r ' 3 y m

zusammenhängt. Daraus geht h ervor, daß die Zusam m enballung des B egleiters aus der R andschicht m it einer sehr starken V e rd ic h tu n g verbunden ist.

Bezeichnen w ir ferner, w ie in der früh ere n A rb e it, m it x das V e rh ä ltn is des T rä g ­ heitsarm s des Z e n tra lkö rp e rs zu seinem Äquatorhalbm esser, so gelten fü r den A b ­ schleuderungsvorgang der Masse m von m 0 der Flächensatz u nd die E nergiegleichung

oc2 m0 r u = xf m0 rx iq -f- m' r ’ u'\

rj a2 »t0 u'2 = x\ m 0 u\ + m u'2 \ '

D a rin is t rj ein sogenannter W i r k u n g s g r a d , in dem die bei d er A b tre n n u n g bzw.

der Zusam m enballung entstandenen V erluste der D rehw ucht des Z e n tra lkö rp e rs durch R eibung und Stoßvorgänge zu r G eltung kom m en. H ie rin is t nach (1) wegen m « m 0:

(4)

und w e ite r aus (4)

oder

und m it (la )

- = l + l / — , ~ = 1 — ]/-

_{i V r \/ imn}^m

“ ? ( l . m -i / m \ u '2

a2 <x?m0 ) r xux a2 m0/ u\

/ l m \ r ' i n

m \ u' V a2 m„) r i ' u?m0) % w

ui 1

^ ) ( » - ^ r ( > + j/:

^{> 1 ,}

(la )

(4a)

(4b)

(5) so daß also wegen rj < 1 d u r c h d i e A b s c h l e u d e r u n g s o w o h l d e r Ä q u a t o r h a l b ­ m e s s e r a l s a u c h d i e U m f a n g s g e s c h w i n d i g k e i t d es Z e n t r a l k ö r p e r s a b ­ n e h m e n . Schließlich fo lg t aus der V e rb in d u n g von (4a) und (5)

M i-^.)‘(i+y'I)V Ä r i5s>

und daraus als B e d i n g u n g 1 f ü r d i e M ö g l i c h k e i t e i n e r A b s c h l e u d e r u n g

1 > V > z ^ r _ - (6)

Da sich dieser V o rg a n g n u r auf die R andschicht des Z e n tra lkö rp e rs m it einer gegen m0 fa st verschw indenden Masse m e rs tre c k t und so rasch abläu ft, daß fü r eine U m ­ lag eru ng in n e rh a lb der Hauptmasse g a r keine Z eit v e rfü g b a r ist, so dürfen w ir von einer Ä n d e ru n g des fü r die M assenverteilung maßgebenden Verhältnisses des T rä g ­ heitsarm s zum Äquatorhalbm esser absehen und erhalten m it af = a 2 aus (5a) fü r den W i r k u n g s g r a d d e r Ä b s c h l e u d e r u n g

• (7)

( 1 m y ( i | i / m ) V a ~ m j \ 1 m j

D a fü r können w ir auch m it der 2. G leichung (4) m it af = oc2 schreiben:

v- crwi0 (7a)

und chemischen U nterricht.

1938. H e ft 5. H . Lo b e n z: Ab l a u f u n d Da u e r d e r Pl a n e t e n a b s c h l e u d e r u n g. 179 oder im E in k la n g m it der 1. G leichung (4a) fü r a?:

n ) - ( -

^(4c)

2. Ü b e r g a n g s b e d i n g u n g e n .

D er Ü bergang des vom Z e n tra lk ö rp e r getrennten Begleiters in seine G egenw arts­

bahn ka nn n u r durch eine E a d ia lg e s c h w in d ig k e it v erfolgen, deren A n fa ng sw ert %\ bei der T re n nu ng durch eine E ru p tio n nach A r t d er Sonnenprotuberanzen dem B e gle iter auf Kosten der potentiellen und therm ischen E nergie des Z en tralkö rp ers e rte ilt w ird . Außerdem e rfo rd e rn die entgegengesetzten Ä nderungen des Eigen d ra lls des Z e n tra l­

körpers und des U m la u fd ra lle s m u r des Begleiters die W irk u n g eines Drehmomentes 9Jc so zw ar, daß m it der w irksa m e n Gesamtmasse ~ m0» m und der G ra v ita tio n s ­ konstante /

(8) äft = ( mur ),

d t dv dt

M (9)

Die letztere G leichung, welche die R adialbeschleunigung als Überschuß der F lie h b e ­ schleunigung über die der Schwere kennzeichnet, ka n n u nte r E in fü h ru n g der re s u l­

tierenden G e schw ind igke it w durch w2 = u- + r 2 , d (w2)

„ . d v d v . ..

»2 m it - 7 - = v , in die F orm

dt dr

d(u2r2)

dr dv \ f M (9a)

ü b e rfü h rt werden. E rfa h re n die Einzelm assen des Z e n tra lk ö rp e rs und des Begleiters keine Ä n de run g, so e rg ib t (9 a) bei beständigem u r entsprechend dem zw eiten KEPLEitschen Gesetz u n te r g le ichze itig e m W e g fa ll des Momentes SR nach (8) als Ü bergangsbahn einen K e ge lschn itt, der z w a r den schließlichen B a hnkreis berühren kann, eine F ortse tzu ng der Bew egung in diesem aber ausschließt.

Schreiben w ir dagegen an Stelle von (9) m it M = M ' + M "

dv ’ • / ( M r ■ u r* = r ö v

dr - M " ) r und zerlegen diese G leichung in

I ----d v dr

•2 = f M ' r ,

■ M "

J ~r2

(9b)

(10) (11)

so w erden w ir u n te r A u fre c h te rh a ltu n g des ^.ritten KEPLEttschen Gesetzes (10) dem Ü bergang des Begleiters in die nahezu k re is fö rm ig e G egenw artsbahn vom H a lb ­ messer rjc m it vk = 0 gerecht, w o m it aus (11) fü r konstantes M "

fo lg t und der A n fa n g s w e rt v' sich aus

berechnet. A ndererseits erhalten w ir aus (10) durch A b le itu n g nach der Zeit d (ur)

= 2 / M " ( (11a)

Vr rjc/

aus

= 2 / M " ( - 7 — —)

\ r rk J (11b)

2 u r -

dt ; dt M

oder wegen dr — vdt sowie u n te r E in fü h ru n g einer re la tiv e n M assenänderung e des Z e n tra lkö rp e rs durch S trahlung

d M ’ = e M ' d t < 0 , (12)

d(ur) 4 M' I r- ..2 ^ ln, I (10a)

2 u r - dt - f M ' (v + s r) = u2 r (v + 2 r ).

Vernachlässigen w ir fe rn e r die zeitliche Massenänderung des Begleiters ra, setzen also

in (8) _{m i/} n i nt ar i

(8a) 9R

m

d (ur) : dt ’

13*

180 ^{H . Lo r e n z : Ab l a u f u n d Da u e r d e r P}l a n e t e n a b s c h l e u d e r u n g; Zeitschrift fü r den physikalischen Einundfünfzigster Jahrgang.

so w ird aus (10 a)

y R _ u

m 2(v + e r) (13)

u n d m it

d(ur) d t

du dt

u v = --- ,9Ji m

(14) Es n im m t also wegen £ < 0 sowohl die U m la u fg e s c h w in d ig k e it u, also auch die R ad ialge sch w in dig keit v nach (11) bzw. (11a) beim Ü be rg a ng des Begleiters ab.

E rw e ite rn w ir nun (13) m it dem Bogenelem ent dtp u d t

r

udr v r 9

so fo lg t die auf die abgeschleuderte M asseneinheit ü bertragene A rb e it d L 931 , u2

— = — dcp = - -m m ' 2

4+4

oder wegen (10) und (12) sowie d r = vdt d L f f M ' j

— = + —m 2 \ rlö- d r +

dr = ^z— i » - f e r ) dr

2 rv (15)

:) = 2 f^ d ( M ' r ) , (15a)

was w ir auch u n m itte lb a r aus (8 a) erhalten hätten. Diese A rb e it w ürde m it dem M om ent iüc verschw inden, w enn M ' r = konst., die Z entralkörperm asse also m it dem K e h rw e rte des Begleiterabstandes abnehmen w ürde, was auf eine ganz unm ögliche Massenänderung nach der Abschleuderung führen w ürde. Das M om ent kann aber auch n ic h t m it v - \ - e r =

0

verschw inden, da bei beständigem £ die R ad ialge sch w in dig ­ k e it v m it dem F a h rs tra h l r dauernd zunehmen müßte, was m it der nahezu k re is ­ fö rm ig e n Gegenwartsbahn, d. h. m it vk = 0, u nve re in b a r ist. Lassen w ir aber eine V e rä n d e rlic h k e it von £ zu, so fo lg t aus (11a) doch v2 = e2r 2 = 2 f M " ( — ----—j , also ein m it der Tatsache des noch andauernden Massenverlustes des Zenti’a lkö rp e rs durch S tra hlu ng unvereinbares V erschw inden von e fü r r = r k. A ndererseits ist dieser W e rt fü r die Sonne m it 1,9 erg. g_1 s"1 oder ^e= 2/3 10“ 13 spez. Massenverlust im Jahre so k le in , daß w ir ih n zunächst einm al vernachlässigen w ollen, das M om ent 9JI dagegen jedenfalls in K a u f nehmen müssen. D ann aber d ürfen w ir in (10 a) und (15 a) M ' = m0, also m it dem Gegenwartswerte der Sonnenmasse gleichsetzen, und erhalten durch In te g ra tio n zwischen den Grenzen r und rk

L

m (u2— u l ) , (16)

so daß das M om ent 9Jf durch die Abnahm e d er U m laufsenergie des B egleiters beim Ü be rg a ng in die Gegenwartsbahn b e d in g t w ird . D a m it vereinfachen sich die F o rm e ln (13) und (14) in

501 uviv du

m 2 dt

V e rbind en w ir diese G leichung m it (11a), so erhalten w ir m it (10) an2

m2

\ r ^{--- - V}rk I M "

M ' (u2 — u%) und fü r den A u g e n b lic k der Abschleuderung m it u'2 = g'i

f f l

M "

M' u

~2 ('u 2 — u%) ■ M "

M ' g r -

(>-+

(17)

(18)

(18 a) w odurch d a s M a s s e n v e r h ä l t n i s M " : M ' m i t d e m R e i b u n g s m o m e n t b e i d e r A b s c h l e u d e r u n g v e r k n ü p f t u n d d u r c h d i e s e s b e s t i m m t i s t . N unm ehr können w ir auch die E nerg ie gle ichu ng fü r den Ü be rg a ng des B egleiters u nte r Be­

rü c k s ic h tig u n g a lle r Verluste aufstellen. A ls Quelle is t je tz t die durch die A btren nu n g

und chemischen U nterricht. L O R E N Z : 181

1938. H e ft 5.

Ab l a u f u n d Da u e r d e r Pl a n e t e n a b s c h l e ü d e r u n g.

selbst geschwächte, d. h. m it dem W irk u n g s g ra d ij behaftete D rehw ucht des Z e n tra l­

kö rp ers anzusehen, die n ic h t a lle in dessen jetzig e D rehw ucht, sondern auch die der noch n ic h t abgetrennten B e g le ite r und die durch (16) gegebene Ü bergangsarbeit zu bestreiten hat. D araus aber e rg ib t sich

k

Yj oc2 m0u'2 = a.%m0u% + Z m u 2r m k (u'2 — uk) oder

Schreiben w ir d a fü r

und an Stelle von (7)

k — 1 (tj oc.2 m0— m) u'2 = a2 m0 u%Ą- Z m u 2 .

k — 1 Z m u2

a ma I

2

or aó mo K

r yyiq

J k ) v + y ^ o ) ’

k — 1 E m u 2

mo uo

(19)

(19 a)

(7 a)

(20) so lie fe rt die Ausschaltung von rj die E n ergieform el

/ 1 __ {LÜ’L - V ( i i i / m \ 2 = g”u ( i J_

W a2 ajj m.0 ) V1 + \ m 0 ) a2 u' 2 \ x

A ndererseits besteht fü r den Ü be rg a ng die D ra llfo rm e l und das d ritte KEPLERsche

Gesetz «*

k

oc2 m0r' v! — ocjj m 0 w0 + Z nur u, (21)

r u 2 = r k u% (22)

oder v e re in t u nte r W egheben von r a2 u0 a2 u' rk uk

Z m r u

al m0 r 0 u0 (23)

Dieser Ausdruck ergibt schließlich in Verbindung m it (20) unter Ausschaltung von Uq : U

also eine kubische G leichung fü r oc: oc0, die sich wegen m < ocg m 0 le ic h t durch P ro­

b ie re n lösen läßt, w ährend die zugehörigen V erhältnisse u ' : u 0 und r : r 0 sich alsdann bequem aus (23) in (22) berechnen und in der Z a h l e n t a f e l 1 v e re in ig t sind, die an Stelle der Z ahlentafel 3 der früh ere n A b h a n d lu n g zu treten hat. Beide T a fe ln stim m en fü r die massenarmen inneren Planeten fast genau überein, w o m it n u r der angesichts ih re r ohnehin kle in e n U m laufsenergien und D ra llw e rte zu erw artende ge­

rin g e Einfluß der E n ergieverluste b ei der A blösung u nd beim Ü be rg a ng auf die D re h ­ w uch t der Sonne b estä tigt w ird . D em gegenüber ergeben sich wesentlich andere W erte fü r die großen Außenplaneten, insbesondere J u p ite r und Saturn, fü r welche andererseits fast genau dasselbe V e rhä ltnis a2/oc2 = 37,6 im M itte l sich e rg ib t und auf eine homogene Schrum pfung der Sonne w ährend deren A bschleuderung hindeutet.

M it den so erhaltenen W e rten von ocg/oc2 is t nunm ehr auch der W irk u n g s g ra d r] fü r den Abschleuderungsvorgang bestim m t und fü r die einzelnen B e g le ite r in die Z ahlentafel 1 ebenso aufgenommen w orden, w ie das V e rh ä ltn is der W in k e lg e s c h w in d ig k e ite n m : co0 des Z en tralkö rp ers b ei B eginn der Abschleuderung zum G egenw artswerte. Dieses hat sich e rsich tlich nach der A b tre n n u n g der k le in e n Planeten n u r noch unerheblich geändert, dagegen w ährend der Abschleuderung der großen Planeten, insbesondere vom Saturn zum Ju p ite r, eine starke Zunahme e rfahren tro tz der homogenen Schrum p­

fu ng des Z en tralkö rp ers. Daraus e rh e llt d e u tlich der überw iegende E in fluß der beiden H auptplaneten auf den ganzen T rennungsVorgang.

x m

a0 a2 m0 rkU-k

k E m r u a(-) m0 TqUq i +

k — 1 E m u 2

«5 mo K (20 a)

182 H . Lo r e n z: Ab l a u f u n d Da u e r d e r Pl a n e t e n a b s c h l e u d e r u n g. Zeitschrift fü r den physikalischen Einundfünfzigster Jahrgang.

Z a h le n -

1 2 3 4 5 6 7

Planeten rk

C. U0

m0 1 / mk rk uk mk uk*

mk V m0 ocq m0 r 0 u0 aj- m0 ul

M e rk u r... 83.4 23.4 8 - 106 3,53 • IO“ 4 0,0035 0,001 Venus ... 156 17,1 4,1 • 105 1,56 • IO- 3 0.096 0,0107 E rd e ... ... 215 14,5 3,3 • 105 1,74- IO- 3 0,136 0,009

Erde-M ond . . . . 60 2,19 81 0,111 4,43 0,159

M a rs ... 318 11,8 3,4 • 10« 5,43 • IO- 4 0,0176 0.00064

K leine Planeten . . 470 10 1 • 107 3 IO- 4 ^{— —}

J u p ite r... 1120 6,4 1047 3,05 ■ IO 2 97,5 0,559 S a tu rn ... 2050 4.7 3500 1,64 • 10- 2 39,3 0,0885 U ra n u s ... 4130 3,3 22650 7,64 • IO- 3 8,6 0,0069 N e p tu n ... 6460 6.63 19350 7,19 • IO- 3 12,6 0.0062

3. D a s B r e m s m o m e n t d e r F l u t r e i b u n g .

Z u r Berechnung des Bremsm om ents gehen w ir aus von einer Masse m des schon abgetrennten Begleiters im a u g en blicklich en A bstand r von d er M itte des Z e n tra l­

kö rp ers m 0 u nd dem im allgem einen ve rä nd erlich e n Äquatorhalbm esser a. D ann is t die O berflächenbeschleunigung des letzteren auf der Z entrale u nter dem E influß von m m it g = f m j r 2

’ i i ’ 7 = f [ - oder

. . . / .... \ 9 ..9

(24) D ieser V e rm in d e ru n g der B eschleunigung e ntsp rich t aber eine größte statische F lu t­

höhe t i « a über der Oberfläche d e ra rt, daß g' {a -f- h')2 = ga2 oder g — g' _ 2 h'

a a

1 m o m _{a _ m )}

1 m ( a \ 2 a2Y

8to — a ) 2 ' r2 / y m» V r — a ) r2 /

g — g ' m ^[ m \ 2 a2

g m 0_{L \} r ~- a ¹ r2

(24a) A n einem O berflächenpunkte m it der N eig un g des Strahls cp gegen die Z entrale m m 0 haben w ir alsdann eine Fluthöhe

h = h2- (3 cos2cp — l ) = ~ (2 — 3 sin2 ę j , (25) w o m it der B edingung genügt w ird , daß d urch die über die ganze Oberfläche v e r ­ te ilte F lu t u n d Ebbe keine V o lum än de run g h ervorge rufe n w ird , w ie m an sofort durch M u ltip lik a tio n vo n h m it 2 n a sin cpdcp und In te g ra tio n zwischen den Grenzen 0 und n feststellen kann.

Legen w ir nun durch die Z entrale und die Drehachse von m0 eine Ebene, so w ird diese bei der D rehung des K ö rp e rs m an der O berflächenstelle cp entsprechend der W in k e lg e s c h w in d ig k e it co m it einer G e schw ind igke it am cos cp d urchschritten, w obei m it dem Flächenelem ent — hadcp in der Z eite in h e it m it der O berflächendichte 6 ein Massenelement d ^ j = d c o h a 2 cos cp d cp durch die Ebene fließt. Dessen Erhebung um dh e rfo rd e rt alsdann eine Leistung

d2 L = g d h - d ( ^ = co <5 g a2h d h cos cpdcp oder m it (25)

d2 L = ^ w b g h ’ dh' (2 — 3 sin2 cp) d sin cp

und nach doppelter In te g ra tio n über h' von 0 bis h' sowie zwischen cp = ± 71

L = 0,9 - mbg a2 h'2 . (26)

V on dieser L eistu ng is t nun in fo lg e d er T u rb u le n z re ib u n g der F lu tw e lle ein B ru c h ­ te il J dauernd aufzuwenden, so zw ar, daß m it

L ' = lL = 50 Im

u n d chemischen U nterricht, t j l o r e n z . A B L A U F UND D A U E R DER Pl aNETENABSCHLEUDERUNG. 183

1938. H e ft 5. ' _______________________ __________ _____________

t a f e l 1.

8 9 10 11 12 13 14 15 16

Z m r uk Z m u2^k a0 a

ao a2

a

™k

u'

U o

r'

r 0 n ^{O l'}

ocy m0 r 0 U o a§ m0 ul co0

0,0035 0,001 36 1296 5,6 • 105 36 36,1 0,998 1

0,0995 0,0117 34,9 1218 2,86 • 10> 35,1 38,1 0,959 0,92

0,2355 0,0207 33,5 1122 2,31 • 104 33,6 41,1 0,954 0,82

327 10,9 30,3 5,0 12,0 0,865 0,415

0,2531 0,0208 33,3 1109 2,2 - 105 33,5 41,6 0,995 0,805

0,2550 0,0211 13,3 1109 — 33,4 41,7 1 0,80

92 0,58 6,17 37,8 73 12,55 296 0,736 0,317

137 0,668 6,12 37,45 245 9 575 0,846 0,0157

146 0,675 6,19 38,3 1585 8,45 653 0,937 0,013

157 0,737 6,06 36,7 1355 7,87 752 0,959 0,011

sich das gesuchte Brem sm om ent zu

äß = 0 ,9 - C - d g a ^ h ' 2 (21)

e rg ib t. W ä h re n d des Abschleuderungsvorgangs is t d er Äquatorhalbm esser des Z e n tra l­

kö rp ers a — r'\ außerdem d ü rfe n w ir fü r diesen Z e itp u n k t, da der B e gle iter m it dem Halbm esser ax selbst der aus dem Ä q u a to rw u ls t hervorgehenden F lu tw e lle entstam mt, d = d' und ti = a* setzen und erhalten som it fü r den A n fa n g sw e rt des Bremsmoments

W = 0 , 9 - J d ' g ' r ^ a f . (27a)

F ühren w ir h ie rin noch die W erte von a1 und d' durch G leichung (1) und (3) ein, so w ird daraus m it 4 n r® d0 = o m 0

W

= 0,322- und in Verbindung m it (18a)

t s i V ] /

0,208 • C2 g'2 r'2 — = u

’ * m 0 M

M "

M '

0,208 rk m rk — r ' m0

(27b)

(28) D urch diese einfache Beziehung sind w ir a lle r Annahm en über die D ichteänderung in der F lu tw e lle w ährend der E n tfe rn u n g des Begleiters vom schrum pfenden Z e n tra l­

k ö rp e r enthoben.

4. Ü b e r g a n g s b a h n u n d Ü b e r g a n g s z e i t .

D er Ü bergang des vom Z e n tra lk ö rp e r getrennten Begleiters in die G egenw arts­

bahn is t nunm ehr durch die beiden G leichungen (10) und (16a) gegeben, fü r die w ir m it M ' = mo sowie / m 0 = gr0rg , w o rin g0 und r 0 die je tz ig e n W erte der O berflächen­

beschleunigung und des Äquatorhalbm essers des Z e n tra lkö rp e rs bedeuten, schreiben d ürfen

u * r = g0rl-, v* = 2 g0r % ^ ( | - ~ ) . (29) jß jt ¿ r — v dt w ird aus der zw eiten dieser F o rm e ln

■ S = i r ' l / — L - . (29a)

y rj. M \ rk — r

deren Integration m it der Substitution r • 9

— = s i r w ,

rk

I --- = cos2 w, w = arc sin

rk r T

also ip- fü r r = rk, sowie wegen (28)

rk l / rk---- r ™o — — a rc s in ! / j L + n / j L ( 1 — j ~ ) 0,416 • g0 m [ 2 \ rk n V rk \ rk / und fü r r = r ' die gesamte Ü bergangsdauer tk e rg ib t.

(30)

(31)

184 H. Lorenz: Ablauf und Dauer der Plänetenabschleuderung. Zeitschrift fü r den physikalischen

______ Emundfunfzigster Jahrgang.

W e ite r erhalten w ir fü r den B a h n w in k e l i? m it dem F a h rs tra h l aus (29) und (28)

v y 2 M rjc — r ° [/ — r m x (32)'

m it dem A n fa n g sw e rt bei der A b tre n n u n g fü r r — r

Ctg # ' = 1 , 5 5 ] / “ - , (32a)

w ährend fü r r = rk, t g # = oo, $ = entsprechend der tangentialen E in m ü nd un g in die G-egenwartsbahn w ird . F ü r die Bahn selbst erhalten w ir aus (28) m it u : v = r d c p : d r und (26)

dir i / rk 2 d y>

j 1 / 0 M a r -i / r

■izdcp

I /

2 ,

= --- /

—

y M r X rk — r sin y>

oder in te g rie rt wegen y = -Ä fü r r = r k , (p = (pk

<P = < P * + ] / 2 ^ 1 n t g | -

(33)

und m it (24)

(34) D araus berechnet sich sofort m it cp = 0 fü r r — r' der ingesam t vom F a h rs tra h l über- strichene Bogen zu

C<pic= - 3 , 1 ' ( l — — )l - ^ l n ( y ~ k - \ / r k —

\ Th) m \ \ r / r (34a)

und daraus die W in du ng szah l n = <p/J2 n durch D iv is io n m it 2 n . S chließlich erhalten w ir noch fü r die ra d ia le A n fa n g sg e sch w in d ig ke it aus (28) und (29) m it r — r'

=

0.416

c2 % > =

0,416

c2

g r

_____ ’ m0

oder wegen ]/2gr0rö = 6 1 7 k m s“ 1 fü r die Sonne v = 281 • C l / —r \ r m0■

m (35)

(35a)

5. D ie S c h r u m p f u n g d e s Z e n t r a l k ö r p e r s .

Im ersten A b sch n itt haben w ir gesehen, daß durch die A b tre n n u n g eines aus der R andschickt des Ä quatorw ulstes gebildeten B egleiters der Äquatorhalbm esser des Z e n tra lk ö rp e rs eine V e rk le in e ru n g e rfu hr, d er dann auch eine durch E nergieverluste noch erhöhte Abnahm e der U m fan gsg esch w in d ig keit entsprach. Infolgedessen besteht am Ä q u a to r nach der A b tre n n u n g k e in A usgleich m ehr der F lie h- und Schwere­

beschleunigung, und es t r i t t fü r die neuen W erte von u1r 1 am neuen Ä q u a to r an Stelle des d ritte n KEPLEBSchen Gesetzes v! V = g' die allgem einere G leichung

dv dv

d t V d r ■g- (37)

Diese geht m it ( la ) und (4c), d. h. wegen

über in H \ = 1 -i Im s „

+ V m 0 ’ 9 r 2 = g i rf

( £ H ( i - £ ; ) ,- i - V ä (« + V s W <**>

da nach der Zahlentafel (1) 2

m \ 2 a?m0 m -i / m

> m.

y

ist. Es ü b e rtr ifft also ant neuen Ä q u a to r die Schwere w eitaus die F lie hb e schleu n ig un g, w o m it sogleich die B e din gu ng fü r eine weitere S chrum pfung gegeben ist, die erst u n te r S teigerung der U m la ufsg e schw ind ig ­ k e it bis zu einer w eiteren G leichgew ichtslage m it w2 r2 g2 z u r Ruhe ko m m t, in der die nächste A bsehleuderung einsetzen ka nn . F ü r die S chrum pfungsgeschw indigkeit am

und chemischen U nterricht.

1938. H e ft 5.

H . Lo r e n z: Ab l a u f u n d Da u e r d e r Pl a n e t e n a b s c h l e u d e r u n g. 185

Ä q u a to r dürfen w ir nach A n alo gie vo n (29) v2 = setzen, woraus

--C - — \ bzw. v\ = C ( —--- — an-

(37) [«W r rl ---r2

hervorgeht. Die anscheinend w illk ü rlic h e A n fa ng sge schw in digke it vx muß sich aber, da fü r die A bschleuderung das d ritte KEPLERsche Gesetz g ü ltig ble ibt, m it der nach außen gerichteten R ad ialge sch w in dig keit der Begleiterm asse aufheben, so daß also v1 = — v' schon d urch G leichung (35) gegeben ist.

F ü r die S chrum pfungszeit erhalten w ir dann m it d r = vdt

vi d 1 1 / ——— — d r ] / — - — , (37a)

\ r i — r 2 \ r ~ r 2

deren rechte Seite sich m it der S u bstitutio n r cos2 y> = r 2 geschlossen in te g rie re n läßt.

Angesichts des recht unbequemen Ergebnisses w ollen w ir uns indessen n u r m it einer N äherungslösung begnügen. Is t n ä m lich 2 (rx— r 2) < (r1-j-r2), so d ürfen w ir die beiden W u rz e ln in (37a) einfach gleichsetzen und erhalten alsdann fü r die Schrum pfungszeit <12

2 1, (38)

1/ —y r — i

(39) Diese F orm el g ilt fast genau fü r die n u r geringe Schrum pfung inn erh alb der A b ­ schleuderungsradien der Planetoiden bis zum M e rk u r und d a rf auch unbedenklich fü r die Schrum pfung nach der T re n n u n g d er großen Planeten ve rw en d et w erden. Sie t r if f t aber zw eifellos n ich t m ehr zu fü r die Schrum pfung von der J u p ite rtre n n u n g bis zu den P lanetoiden und den V o rg a n g nach der M erkurabschleuderung, da in beiden F ä lle n r 2 < rx ist, und

I ü . l / J L . 1 - r % \ ~ 1 r r ' 2 r \ rx — r 2 gesetzt w erden ka nn . D ann aber e rg ib t die In te g ra tio n von (37a)

vi hz = ri — rt + \ r2l n -

also wegen der a n fä n g lich raschen Abnahm e von v m ehr als den doppelten W e rt von t10 gegenüber (38). D ie m it vx = — v nach den F orm eln (38) und (3a) berechneten Schrum pfungszeiten f12 sind in der Z ahlentafel 2 neben den Ü bergangsdauern tk der einzelnen B e gle iter und der W in du ng szah l t,cpk : 2 n der Ü bergangsbahnen eingetragen, und schließlich noch das V e rh ä ltn is d':da der D ichten der R andschicht, aus w elcher die B e gle iter entsprungen sind, zu r jetzig en m ittle re n Sonnendichte nach G leichung (3) hinzugefügt. D er hieraus e rsichtlichen enorm en V erdü nn un g der R andschicht bei der A bschleuderung steht nun eine starke K e rn v e rd ic h tu n g gegenüber, die m an am e in ­ fachsten aus dem V e rg le ic h der homogenen K u g e ln von gleichem T rägheitsm om ent m it der dem jetzigen Sonnenzustand entsprechenden erkennt. Bezeichnet m an den Halbmesser einer solchen K u g e l m it r a, den der homogenen Sonnenkugel auch m it

r aoi s0 ,

0,4 rrx — v.r , 0 ,4 r a„ = a0r 0, (40)

also

Al = -A iL . (40a)

r (X o « 0 r o

Die beiden Verhältnisse d er rechten Seite sind aber d er Z ahlentafel 1 zu entnehmen und ergeben so die W e rte der lin k e n Seite, die als letzte Spalte der T a fe l 2 angefügt sind. Daraus geht w ieder h ervor, daß die Schrum pfung w äh re n d der Abschleuderung der großen Planeten im V e rh ä ltn is etwa 2,6 :1 nahezu homogen erfolgte, und daß erst nach der A bschleuderung des J u p ite r eine besonders starke inhom ogene Schrum p­

fung v o r allem im K e rn einsetzte, d er bei der A bschleuderung der Gaswolke, aus der die kle in e n Planeten h ervorgin ge n, nahezu die Abm essung des jetzig en Sonnenkerns e rre ich t hatte.

W enn w ir auch die Absolutw erte der Ü bergangszeiten tk der Planeten von der A blösung bis zu den Gegenwartsbahnen, die Schrum pfungsdauern zwischen den

186 H. ^Lo r e n z : Ab l a u f u n d Da u e r d e r Pl a n e t e n a b s c h l e u d e k u n g. Zeitschrift fü r den physikalischen Einundfünfzigster Jahrgang.

Z a h le n -

1 ² 3 ⁴ 5 6 7

Planeten r '

V — ^t/ i— — l / — ( 1 ---— ) arc sin l / - ^{£ tfc}Jahre

r k V r k V r k V r k \ r k 1 V r k

M e rk u r... 0,433 0,666 0,753 0,501 0,728 177,0 Venus ... 0,244 0,494 0,875 0,432 0,517 127,5 E rd e ... 0,191 0,437 0,900 0,393 0,452 192,7 M a rs ... 0,127 0,356 0,934 0,332 0,363 992,7 k l. P lan... 0,088 0,297 0,955 0,284 0,301 2520 J u p ite r... 0,264 0,514 0,858 0,441 0,540 118,1 S a tu rn ... 0,280 0,530 0,849 0,450 0,558 532,1 U ra n u s... 0.156 0,395 0,919 0.365 0,406 4286 N e p tu n ... 0,116 0,341 0,940 0,321 0,347 8198 einzelnen A btrennungsvorgängen, sowie die zugeordneten K a dia lge schw ind igke iten erst nach K e n n tn is des h ydrau lisch en W iderstandsbeiw ertes | anzugeben verm ögen, so fo lg t doch aus d er Z ahlentafel 2 das V e rh ä ltn is der beiden Zeiten. Insbesondere e r­

k e n n t man, daß die Ü bergangsdauer des N eptun a lle in fast ebensoviel b e trä g t w ie die a lle r anderen B e gle iter zusammen und daß dagegen die gesamte S chrum pfungs­

dauer d er Sonne fast verschw indet. Setzen w ir nach ird ische n E rfa h ru n g e n über die turbulente Ström ung an gla tte n W änden f = 0,01, so sind die w ahren Zeiten und W indungszablen etwa das hundertfache, und die K a d ia lg e s c h w in d ig k e ite n der h u n ­ dertste T e il der in Z ahlentafel 2 enthaltenen W erte, wonach der ganze E n tw ic k lu n g s ­ vo rg a n g des Planetensystem s von d er A b tre n n u n g des N eptun bis zu den gegen­

w ä rtig e n Bahnen ru n d 1 M illio n Ja hre e rfo rd e rt haben w ürde . Den P luto konnten w ir, da seine Masse noch ganz u nbestim m t ist, aber kaum die G rößenordnung der Erdmasse überschreiten d ü rfte , n ic h t m it in B e trach t ziehen. Da jedoch seine Bahn teilw eise in n e rh a lb der des N eptun v e rlä u ft, so d ü rfte seine A bschleuderung n u r w en ig v o r der N eptuntrennung e rfo ig t sein.

D ie K ü rze der Schrum pfungsdauern zwischen zw ei T re n nu ng svorgä n ge n leg t nun die F ra g e nahe, ob n ic h t beim Ü berw iegen der R a d ia lg e s c h w in d ig k e it eines später abgetrennten Begleiters w ährend d er Ü bergangszeit ein Einholen des früheren eintreten kann, w enn die Abschleuderungsradien n ic h t sehr verschieden sind. Das t r i f f t nach den W e rten der Zahlentafel 2 in der T a t fü r die inneren Planeten zu, welche die k u rz v o r ihnen abgetrennte G aswolke der P lanetoiden einholen und z e it­

weise in derselben ra d ia l fo rtschreite n. D adurch können sie entw eder deren Z u ­ sam m enballung v e rh in d e rn oder einen schon gebildeten G asball d urch ihre Störungs­

k rä fte w ied er auflösen, w odurch sich v ie lle ic h t die M a n n ig fa ltig k e it der P lanetoiden­

bahnen und deren klein e Einzelmassen e rk lä re n . Eine rechnerische V e rfo lg u n g dieser Vorgänge e rü b rig t sich angesichts der n u r m it einem M itte lw e rt aufgenomm enen B ahn­

rad ie n und U m laufszeiten der P lanetoiden und ih re r n u r schätzungsweise angegebenen Gesamtmasse. Dagegen w urden in die Z ahlentafel 2 noch die aus dem Massenver­

h ältn is nach G leichung (1) berechneten V erhältnisse der größten A bschleuderungs­

ra d ie n der Planeten zu ih re n G egenw artsw erten sowie die V erhältnisse a : «„

der Radien bei der M ondabschleuderung u nte r Benutzung der Z ahlentafel 2 a. a. O.

aufgenomm en, w ährend die entsprechenden W erte fü r die etw aige A bschleuderung des Erdm ondes in die Z ahlentafel 1 eingetragen sind. Daraus fo lg t, w ie schon in der früheren A rb e it erw ähnt, w ie d e r die U n m ö g lic h k e it d er A bschleuderung des Erdm ondes von der E rde sowie der M arsmonde, da dies eine unm ögliche Ausdehnung der P la ­ neten nach ih re r T re n n u n g von der Sonne bedingen w ürde. U nser M ond is t som it neben der Erde als selbständiger Planet der Sonne entsprungen, w ährend die beiden M arsmonde w ahrscheinlich aus der Planetoidengruppe w ährend des V erw eilens des Mars in derselben von ihm eingefangen sind.

Die h ie r vorgetragene Abschleuderungstheorie scheint indessen m it der Ä q u a to r­

neigung der Sonne von 7° gegen die E k lip tik , die n u r m it d er B ahnneigung des

187

und chemischen Unterricht. H. Lo r e n z : Ab l a u f u n d Da u e r d e r Pl a n e t e n a b s c h l e u d e r u n g.

1938. H eft 5 . ________________ __ _______________ = = = ^ = ^ =

t a f e l 2.

8 9 10 11 12 13 14

i j n

2 n

v‘ ,

—— ms 1 C<i2 Jahre ^{^ 1 0 !} 0 0

ra r a»

a' a0

a'

Clo

950 366 377 1416 1745 17,7 31,4 108,3 113,6

16,53 72,9 76,4 23.7 14.0 444,6 198,3

73.1 73.7

49 0,303 0,432 0,232 0.157 20.4 15.5 11,7 14.6

1,15 4,23 3,66 1,13 0,621 0,179 0,0133 0,0034 0,0025

1 1,09 1,22 1,24 1,25 43,1 94,0 105 123

12 5,9 2,22 1,78 2,39 2,08

3,54 6,65 7,76 4,62 90,50 116 117 150 M e rk u r von 7° 10,5' nahe übereinstim m t, u n v e re in b a r zu sein, w enn w ir sie als von vo rn h e re in bestehend annehmen. Betrachten w ir dagegen diese Ä q ua to rn e ig un g als das E rgebnis des Ausgleichs des Sonnendralls m it dem U m la u fs d ra ll der Planeten m it R ücksicht auf deren B a hnneigungen1, so kann sie selbst n u r a llm ä h lic h m it deren Abschleuderung sich ausgebildet haben. Das ze ig t schon die Abnahm e d er B ahn­

neigungen gegen die in v a ria b le Ebene nach außen, der eine Zunahme dieser N eigungen in d er Z eitfolge der einzelnen Abschleuderungen und d a m it auch d erjenigen des Sonnenäquators entspricht.

Da fe rn e r die Sonnenoberfläche e le ktrisch geladen is t und daraus verm öge der E igendrehung ein M agnetfeld b e d in gt, so w ird sie diese E igenschaft auch auf die von ih r abgeschleuderten B e gle iter übertragen. A u f diese Weise muß auch das permanente M agnetfeld der Erde entstanden sein, dessen Achse etw a 20° gegen ih re jetzige D re h ­

achse geneigt is t und um diese m it dem E rd b a ll eine konische D rehung vo llzieh t.

Danach kann dieses M agnetfeld n ic h t von der tatsächlich vorhandenen elektrischen Ladung der Erdoberfläche oder den n u r schwachen E rdström en herrühren, sondern hat seinen Sitz in den A tom en des Gaskerns, deren E le ktron en hü lle n bei d er A b ­ lösung. a x ia l g e rich te t w ü rd e n und diese R ichtu ng inn erh alb der E rde nahezu u n ­ beeinflußt von d er V e rla g e ru n g d er Drehachse d urch D ra lla u sg le ich m it der M ond­

bahn beibehalten haben. Da die jetzige Ä q ua torneigung der E rde 23,5° b eträgt, so e rg ib t sich eine u rsp rü ng lich e Ä q ua to rn e ig un g des M agnetfeldes von 3,5°, die m it der des Sonnenäquators zu r Z eit der Erdabschleuderung im E in k la n g m it ih re r Z u ­ nahme w ährend der P la ne te nb ild un g übereinstim m te.

6. Z u s a m m e n f a s s u n g .

Das Ergebnis der vorstehenden in sich geschlossenen, in d u k tiv e n ühe orie dei E n tw ic k lu n g des Planetensystems auf G rund des Plächensatzes und des d ritte n Ke p l e k- schen Gesetzes sowie u n te r B e rücksichtig un g d er E n ergieverluste bei der A b tre n n u n g und durch das Brem sm om ent der F lu tre ib u n g an d er Sonnenoberfläche m it einem W id ersta nd sbe iw e rt von 0,01 is t ein langsam er Ü be rg a ng der Planeten von der A b ­ schleuderung bis zum jetzig en Sonnenabstand in v ie lfa c h gewundenen Spiralbahnen m it rasch ve rlau fe nd er S chrum pfung des Sonnenkörpers vom etw a 800 fachen bis zum jetzig en Halbmesser. Diese S chrum pfung setzt sofort m it der N eptunabtrennung ein und v e rlä u ft ruckw eise zwischen den einzelnen Ablösungen m it einer m ittle re n R a d ia l­

g esch w in d ig ke it von etwa 1 ,1 m s“ 1 am Ä q u a to r in rd . 6300 Ja hren bis zur A b tre n ­ nung der Planetoidenw olken, bei d er die je tzig e M assenverdichtung im Sonnenkern schon nahezu e rre ic h t ist. D ie A bschleuderung der k le in e n Planeten bis zum M e rk u r is t dann nach rd . 110 Ja hren vo lle nd et, w o ra u f die n u r noch auf die Sonnenhülle beschränkte Schrum pfung bis zu r je tzig e n Oberfläche etwa 5000 Jahre erfo rde rte . i

i V g l. Hans Lorenz: D ie Äquatorneigungen der Sonne und Planeten. Diese Zeitsohr. 50, 89 (1937).

188 S . Ja n s s: Me s s u n g e n a n d e r So n n e. III. %fn“Äfite?hÄa^hen

Diese Schrum pfungszeiten ve rschw inden a lle rd in g s nahezu gegen die Ü bergangs­

zeiten der E inzelplaneten, von denen N eptun und U ranus a lle in 820000 und 430000 Jahre z u r Ü b e rw in d u n g von 5500 bzw. 3500 Sonnenradien e rfo rde rn , w ährend Saturn und J u p ite r in 53 000 und 12 000 Jahren ih re je tzig e n Abstände verm öge ih re r re la ­ tiv großen R adial g esch w in dig keite n nach Z urü c k le g u n g von 1500 und 850 Sonnen­

ra d ie n e rre ic h t haben. D urch die Abgabe der großen Planeten, insbesondere des J u p ite r und Saturn, is t sowohl die D re hw u cht als auch besonders der D ra ll des Sonnen­

kö rp ers so sta rk erschöpft, daß in der F olge n u r noch kle in e re Massen abgeschleudert w urden. Von diesen e rfo rd e rte n die P lanetoidenw olken und d er M ars 250000 und 100000 Jahre fü r einen W e g von 430 bzw. 280 Sonnenradien, w ährend die E rde m it dem Mond, Venus und M e rk u r 19 000, 13 000 und 17 700 Jahre zu r Ü b e rw in d u n g von 174, 118 und 45 Sonnenradien brauchten.

Im V e rg le ich m it den Ü bergangszeiten der Planeten is t die gesamte S chrum pfungs­

dauer der Sonne so k u rz , daß w ir geradezu von einem Zusam menbruche eines Riesen - Sternes sprechen dürfen, d er e rsichtlich m it 800 Sonnenradien sich in einem v ö llig in sta b ile n Zustande befand. Da dieser ka um einer vorhergehenden S chrum pfung aus einem noch ungestalteten U rnebel entstammen konnte, so lie g t es nahe, ih n als das Ergebnis eines N ovaausbruchs der Sonne anzusprechen, der som it im V erein m it der schon vorhandenen E igendrehung die Entstehung des Planetensystems erst erm ög­

lic h t und bed in gt hat. W enn w ir auch nach der vo rg etra ge ne n T he orie den ze itlich en A b la u f und die Ü bergangsbahnen einigerm aßen übersehen, so haben w ir doch keinen A n h a lt fü r die Zeit, welche danach bis je tz t verflossen ist. Aus dem nach dem B le i­

gehalt gew isser U ra n- und T horerze bestim m ten A lte r d er e rsta rrte n E rd k ru s te von etwa 1 bis 1,5 • 109 Jahren können w ir indessen schließen, daß die Abschleuderung der dam als noch durchw eg gasförm igen Sonnenbegleiter jed e n fa lls lange v o r dieser Z eit stattgefunden hat und daß sich die w eitere E n tw ic k lu n g der Planeten schon v ö llig in ih re n je tzig e n Bahnen vollzogen hat, was m it der lä n g st e rkannten ernorm en S ta b ilitä t des Sonnensystems im besten E in k la n g steht.

Messungen an der Sonne. I I I 1.

Von S. .b u ll! in Wandsbek.

5. D i f f e r e n t i e l l e R e f r a k t i o n . Sie is t fü r den zu 3 2 'angenommenen Sonnen­

durchm esser im H o riz o n t 2 '4 3 " und b le ib t m e rk lic h bis etw a 30° Höhe bei ru n d 2".

In k le in e n Höhen sind die Beobachtungen sch w ie rig wegen d er g eringen In te n s itä t des Sonnenlichts. A b e r doch ka n n m an in 2° Höhe bei besonders dunstfreiem H o riz o n t noch etwa lO m al ve rg rö ß e rn (fü r P ro je k tio n im K lassenzim m er ka n n ich wegen ungünstiger Lage des Raumes keine Zahlen angeben) und dabei m äßig g u t schätzen.

Die Höhe k a n n m an nach einer E phem eride berechnen oder m it einem W in k e l­

in stru m e n t messen; in k le in e re n Höhen muß aber dann die Bogenm inute sicher sein. — F ü r die Messungen muß m an die M ikro m e terstriche w aagerecht und senkrecht orientieren.

D ann werden die Messungen dadurch erschwert, daß die Sonne sich n ic h t in S trich ­ ric h tu n g bewegt. Man muß daher in dem A u g e n b lic k , w enn sie einen S trich unten oder oben ta n g ie rt, schnell nach oben oder unten zu schätzen versuchen. A uch kann m an Schüler auf ein Zeichen g le ic h z e itig oben und unten schätzen lassen. Zuverlässig sind auch W erte, w enn m an m it gleichen Zwischenzeiten in folge nd er Reihenfolge schätzt: oben— unten— oben oder u n te n — oben-—-unten, und dann den Durchm esser aus dem M itte l des ersten und d ritte n W ertes und dem zw eiten berechnet. M öglich is t es auch, die Sonne bei v e rtik a l o rien tie rte m G itte r m itte ls eines F lecks nachzu­

fü hren und Schüler an den R ändern schätzen zu lassen. — A m 13. O kto b er 1935 1 T e il I und I I siehe diese Zeitschr. 51, 97 und 149 (1938).

und chemischen U nterricht.

1938. H e ft 5.

S . Ja n s s: Me s s u n g e n a n d e r So n n e. III. 189

e rh ie lt ich 25 W e rte in Z enitdistanzen zwischen 86° und 71°, von denen ein "Vi e rt nach der R efra ktion sta be lle um 0,03 m m falsch ist, zw ei über 0,02 m m ; die ü brig e n streuen zwischen ± 0 , 0 2 m m . — Da die so e rm itte lte n W erte doch recht unsicher sind tu t m an gut, sie n ic h t zur K o rre k tio n der Beobachtungen fü r die Messungen u nte r N r. 1 bis 4 zu verw enden, sondern d o rt T a fe lw e rte zu nehmen. D ann muß man die Z enitdistanz kennen. Diese fin de t m an in der Nähe des M eridian s le ic h t m it einem recht rohen H öheninstrum ent (dz = 0,5° g e n ü g t); es is t auch d o rt belanglos, ob die T abelle w ahre oder scheinbare W erte fü r 2 enthält.

6. D u r c h g a n g s z e i t d e r S o n n e . Man fin d e t sie m it der Stoppuhl 5 diese w ild in G ang gesetzt, w enn der W estrand einen bestim m ten senkrechten S trich des M ik ro ­ meters b e rü h rt u nd gestoppt, wenn der O strand denselben S trich b e rü h rt. Ic h wähle d a fü r den ersten feinen S trich nach dem d icke n m ittle re n . O ffenbar ist^ der erste Z e itp u n k t n ic h t so scharf zu fassen w ie der zweite, da m an den S trich n ic h t vo rh e r sieht. Aus diesem G runde und wegen d er U nsich erhe it d er Angaben von Stoppuhren a ka nn m an 0,2 sec erst durch m ehrere Messungen sicher erhalten. D a fü r is t es selbst­

v e rs tä n d lic h angenehm, w enn die in fo lg e des Sportbetriebs sicher zahlreich an einer Schule vorhandenen U hren auf die Schüler v e rte ilt w erden und dadurch w ährend eines D urchganges m ehrere Messungen m ög lich w erden. E ine U h r m it zw ei Z eigern n>) gestattet folgendes V erfahren. Man setzt sie in Gang, wenn der W e stran d einen feinen Strich nach einem M illim e te rs tric h nahe der M itte passiert, a rre tie rt den N ebenzeiger das erste M al beim Passieren des W estrandes an einem andern d e ra rtig e n Strich, v ie l­

le ic h t 3 m al, und schreibt alle A ngaben des Nebenzeigers auf. D ann h ä lt m an den Nebenzeiger w ied er an, wenn der O strand dieselben Striche passiert und n otie rt, ln der Z e it von etwas m ehr als einem D urchg a ng e rh ä lt m an also d re i und m ehr Messungen. Dabei ist es angenehm, wenn ein Schüler nach Z u ru f eines andern a u f­

schreibt. Man ka nn dann v ie lle ic h t sogar m it dem Strichabstand 0,5 m m arbeiten und noch m ehr W erte erhalten. Größere A bw eichungen zeigen häufig die ersten Messungen gegenüber den folgenden, da in fo lg e des Tem peraturwechsels das Rohr sich anfangs ve rla g e rt. Man muß das R ohr daher 1/ 4 Stunde v o rh e r an den Beob­

achtungsort b ring e n. Dem Z w e iz ö lle r angemessen is t die 0,2-sec-U hr; denn ihrem S kalenteil e ntsp rich t ung efä h r 0,01 mm in der Bildebene des O b je k tiv s und das genügt.

A m V ie rz ö lle r w ird m an dagegen die 0,1-sec-U hr verw enden müssen, um ih n v o ll auszunutzen; ob das aber in fo lg e d er bestim m t n ic h t so sicheren A u fste llu n g m ög lich ist, ve rm ag ich n ic h t zu entscheiden. — Z u r V e rgleich un g der gefundenen W erte m it den Jahrbücherangaben muß m an beachten, daß die Ja hrbü che r diesen W e rt in Stern­

zeit angeben, die Stoppuhr aber im allgem einen w o h l m ittle re Sonnenzeit ( T ). Man e rhält die Sternzeit T, indem m an T ' : 365 a d d ie rt (oder nach Tabellen). Aus T ka nn man auch den Durchm esser d in Bogenmaß finden. Es is t n ä m lich T = 15. cog 6 + E ig en ­ bewegung der Sonne in oc in T. Die Eigenbew egung ka n n m an aus einem Jahrbuch entnehm en; es genügt aber auch der m ittle re W e rt von 5 " oder 1/ 3 sec. D avon sind die A bw eichungen durch verschiedene B a hn g esch w in dig keit und den W in k e l der E ig en ­ bewegung m it dem Ä quatorsystem n ic h t m e rk lic h . Also is t T = ^ r ^ J + 0,3 oder

¿1" = ( T __0,3) ■ 15 • cos <5; dk a n n m an ebenfalls aus einer T ab elle entnehmen oder selbst aus d er Sonnenhöhe beim M e rid ia n d u rch g a n g finden nach d = h + ( p — 90°; h und cp müssen auf je 2' sicher sein. Im letzten F a ll is t eine K o rre k tio n wegen der S trahlen­

brechung n| (.plt n ö tig ; denn m an e rh ält ja die w irksa m e scheinbare D e k lin a tio n ; den Ja h rb u c h w e rt muß m an aber im W in te r um die R e fra k tio n v e rb e sse rn ; denn am 21. Dezemer is t die Strahlenbrechung in H a m b u rg z. B. re ic h lic h 4 '; dadurch ändert sich cos 6 um etw a 0,50/ 0ni das ka nn sieh g erade eben b em erkba r machen, jed en fa lls

1 a) B. Wa l t e r: Über Fehler in den Angaben von Stoppuhren. Z. Instrum entenkde. 47, 583 (1927) und b) diese Zeitschr. 49, 76 (1936).

190 S . Ja n s s: Me s s u n g e n a n d e r So n n e. III. Zeitschrift fü r den physikalischen Einundfünfzigster Jahrgang.

bei langen Kohren. •—■ K o rre k t e rh ä lt m an so n ic h t den D urchm esser im Bogenmaß, sondern wegen d er N eigung der Stundenkreise an dem Ost- und W estrand gegen­

einander eine Sehne; bei den D e klin a tio n e n bis 23,5° is t der B etrag aber u nm e rklich , ebenso der U nterschied zwischen dem scheinbaren Durchm esser d er Sonne und der Sehne, die sich fü r uns auf den H im m e l p ro jiz ie rt. —■ D urch die D urchgangszeit a lle in

w erden keine w eiteren Tatsachen ge­

funden ; sie is t aber ein schönes B eispiel fü r die B e d in g th e it astronom ischer Größen.

7. Die D urchgangszeit w ir d aber u nb ed in g t bei Messungen an F l e c k e n gebraucht, a) Man ka n n deren O r t bestim men. Nachdem m an das M ik ro ­ m eter ric h tig an der Bew egung eines F lecks o rie n tie rt hat, schätzt man Süd­

ran d, N o rd ra n d und F le c k in Bezug

Fig. 10.

Unterschied zwischen Ze n tral- und Parallelprojektion.

auf ih re Lage in N ord-S ü d richtun g (yn, ys und yf) und fin de t so aus yf - y n + y s dd den A bstand vom S onnenm ittelpunkt entsprechend dem D eklinationsunterschiede. F ern er w ird da. e rm itte lt aus d er D urchgangszeit T und dem Abstande des F lecks tw oder

T T t0 (Zeit) vom West- odör O stra n d ; da — tw 2 — 2

eine Zeichnung eintragen, dann muß m an da. um rechnen nach

— 1„. W ill m an diese W erte in de A f ' d (mm). F ü r diesen Zw eck b ra uch t m an die Zeiten n ic h t in Sternzeit zu ve rw an d eln, da ja n u r

das V e rh ä ltn is der Zeiten vo rk o m m t. — Im K lassenzim m er ka n n eine Gruppe Schüler die Schätzungen am N ord- und Südrand v o r ­ nehmen, eine andere die Lag e des F lecks in g le iche r R ichtung beurteilen, eine d ritte G ruppe m it Stoppuhren T messen und eine v ie rte und eine fü n fte tw u nd t0. E ine U h r m it zw ei Z eigern ka nn bei einem D urchg a ng fü r m ehrere F lecken tw und t0 neben T bestim m en und bei n ic h t zu zahlreichen durch gleiche

Fig. 11. E influß der Zentralp ro jek tio n auf

die rechtwinkligen K oordinaten.

Messungen an m ehreren senkrechten S trichen die W erte häufen (einer liest ab, ein anderer schreibt nach Z u ru f auf). In der Zw ischenzeit is t dann noch G elegenheit z u r Schätzung fü r dd. — W ir d größte G enauigkeit angestrebt, dann muß man die so ge­

fundenen Ö rte r wegen d er A bw eichung der Z e n tra lp ro je k tio n von der P a ra lle lp ro je k tio n k o rrig ie re n . Nach F ig . 10 w ird bei P a ra lle lp ro je k tio n in R ichtung E S der P u n k t P in P' erscheinen, bei Z e n tra lp ro je k tio n aus E dagegen in P " ■ D ann is t c = b-tgy; = r • cos cp-a : A E = r 2 • cos<p • s i n ^ i H E T • r • cos cp ■ s in -99; r : D is t der

scheinbare Sonnenradius, etwa 1 : 200 (arc). Also hat man c — ^ ^ ■ r ■ sin 2 cp . Das M axim um lie g t also bei = 45° m it r : 400 = 0,0075 m m [0,02], is t demnach auch schon bei kurzen Rohren m indestens störend. Nach F ig . 11 e rh ä lt m an aus den gemessenen d y und dx' die ric h tig e n W e rte nach dy = dy' — c - c o s p und d x = dx' — c - s i n p . Die n u r roh benötigten W erte fü r c und p sind bestim m t nach t g p = d y ' : d x ’ -, sin cp = a : r = ] / d y’2 -\- d x'2 ■. r . Es sei aber hervorgehoben, daß die K o rre k tio n fü r F le c k e n ö rte r ka um Bedeutung hat, auch n ic h t bei langen Rohren, w o h l aber fü r die ähnlichen Rechnungen bei den M erkurdu rchg än ge n.

b) F e rn e r lä ß t sich die G r ö ß e eines F lecks bestim men. M a n s c h ä tz te in fa c h die Ausdehnung in beiden R ichtungen, im allgem einen auch in da an dem M ik ro m e te r;

n u r fü r größere Gebilde w ird m an die S toppuhr heranziehen. G ut ist, w enn man weiß, daß der E rddurchm esser etwa 1 :1 1 0 des Sonnendurchmessers ist; 660 m m

und chemischen U nterricht.

1938. H e ft 5. S . Ja n s s: Me s s u n g e n a n d e r So n n e. III. 191 B rennw eite b ild e t also einen F le ck, dessen Durchm esser g le ich dem Erddurchm esser ist, in etwa 0,06 m m Größe ab [0,14], Auch lo h n t die Feststellung, bei w elcher Größe ein F le c k m it bloßem Auge sichtba r w ir d ; m an w ird d a fü r etwa 3/ 4 bis 1 D u rc h ­ messer finden (0,15 bis 0,2 mm). Z u r Beobachtung m it bloßem Auge sind sehr gut geeignet photographische D ia p o s itiv p la tte n , die m an in B re iten vo n etw a 15 m m zu­

nehmend 1, 2 sec usw. b elichte t und dann k r ä ft ig e ntw ickelt, fix ie rt, wässert und trockn et. Die nach Sonnenhöhe und L uftbeschaffenheit angemessene D icke ka nn m an so le ic h t durch Verschiebung des Streifens v o r dem Auge finden. Die P latten eignen sich auch v o r ­ züglich zu r Beobachtung einer Sonnenfinsternis und zu r P rüfung, ob bei w o lk ig e m H im m e l zeitweise die Sonne zu r Photographie fre i ist.

Sie sind dagegen n ic h t geeignet als D äm pfgläser fü r visuelle Beob­

achtung am F e rn ro h r, w oh l w e il an den K ö rn e rn zu v ie l Streuung Figus.

stattfindet. — M athem atisch lohnend is t auch die Aufgabe, aus der der Scheibenmitte.

Ausdehnung eines F lecks außerhalb der Scheibenm itte dessen Größe

in Scheibenmitte zu berechnen1. In R ichtu ng des Radius erscheint er dann näm lich k le in e r, senkrecht dazu aber n ich t. Is t sein Durchm esser heliographisch cp (Fig. 12), dann erscheint er in der M itte in der Größe F — 2 - r - s i n ^ • S eitlich is t die Größe

F ' = a2 — ®i — r ' (sln V2' - sin q){) = 2 - r • cos <Pz ■ s i n ^

2 2

<p 1 = 2 •r ■cos<Pz ±JÜ !. sin — 2 sm 2 E r is t also v e rk ü rz t entsprechend cos ^ Den W in k e l fin de t m an sehr genähert aus

2

D urch K o n s tru k tio n und Rech- s i n F± = a:r-, « i s t wie oben (Fig. 11) zu berechnen.

nung ka n n man auch eine am Rande vermessene F lecke n ­ gruppe auf die Scheibenm itte übertragen. H ie r soll es durch K o n s tru k tio n geschehen. D urch den S chw erpunkt d er Gruppe F \ , F'2, F's (F ig . 13) w ird der Durchmesser G S G gelegt und angenommen, daß die zu diesem D u rc h ­ messer p ara lle le n Sehnen durch die einzelnen F n u r u n ­ m e rk lic h von diesem Durchm esser abweichen. Zu dem Durchm esser e rric h te t m an d urch jeden F le c k Senkrechte bis zum Schnitt F " usw. m it dem K re is ; fe rn e r be­

zeichnet man die M itte M " ; d a ra u f zieht m an M S senkrecht zu G S und ü b e rträ g t jeden S chnitt F ” usw.

m it der Z irk e lö ffn u n g M M " in die N achbarschaft von M . D urch F \ " usw. zieht m an Senkrechte zu G S G ; deren

Schnitte m it den P a rallelen zu G S durch F [ usw. ergeben die gesuchten F le cke n -

F ig . 13. Ü bertragung einer Flecken­

gruppe au£ die Scheibenm itte.

Örter F x usw.

c) W esentlich erscheint, daß m an die R o t a t i o n s e l e m e n t e der Sonne bestim m en kann. Diese A ufgabe w ird im Anschluß an Ep p s t e in a llgem ein trig o n o m e trisch gelöst von Voss a. a. O., S. 102ff. und a llgem ein graphisch von We l l m a n n: Zeichnerische Bestim m ung der Elemente von Sonnenfleckenbahnen [H im m e lsw e lt 42, 105 (1932)]. H ie r sollen die besonders einfachen Verhältnisse A n fa n g J u n i v e rfo lg t w erden (ähnlich auch A n fa ng D ezem ber; dann e rfo rd e rn aber die u n te r B erw ähnten Photographien die B eachtung der R e fra k tio n , h ie r a lle rd in g s n ic h t; v g l. unten). — Schon nach einer Stunde k a n n m an die Bew egung eines F lecks in a d e u tlich m it der Stoppuhr erhalten, m e rk lic h w ird sie in Scheibenm itte schon in 10 m in [4 ]; die U h rz e it d a rf also n ic h t Fehler von 5 m in [2] enthalten. W ill m an fe rn e r z u r Steigerung der G enauigkeit die Messungen häufen und w erden 5 m in [2] w esentlich überschritten, dann muß man die m ittle re Z eit notie re n und fe rn e r die Abstände zwischen den einzelnen Messungen m öglichst gleich w ählen. Diese V orsicht hat aber n u r W e rt bei der trigo no m e trische n

1 V gl. Voss a. a. 0 ., S. 100.