Jan Szargut
K ate d ra T eorii M aszyn Cieplnych
Wykres (s, InT) gazów półdoskonałych
A u to r w ykazuje, że w ykres (s, T) gazów półdoskonałych m ożna uprościć przez w prow adzenie podziałki logarytm icznej n a osi T. D la w yznaczenia zm ian entropii w dow olnych p rzem ianach oraz zm ian p ara m etró w term icznych w przem ian ach izen- tropow ych w y sta rc zy nakreślić w układzie (s, ln T) dla każdego gazu je d n ą krzyw ą, k tó ra zależnie od nachylenia osi T może służyć jako izobara, izochora lub do w olna in n a politro p a.
W energ ety cznych urząd zen iach przem ysłow ych m a się bardzo często do czynienia z gazam i o stosunkow o w ysokiej te m p e ra tu rz e i stosunkow o niskim ciśnieniu (sp alin y w k o tle parow y m , gazy w ylotow e różnego ro dzaju pieców przem ysłow ych, czynnik- obiegow y w ag reg atach tu rb in gazow ych itp .). G azy ta k ie m ożna z b ardzo m a ły m -b łę d e m tra k to w a ć w obliczeniach term o d y n am iczn y ch jak o półdoskonałe, tj. m ożna p rzy jąć, że ich energia w ew nętrzn a i e n ta lp ia zależą ty lk o od te m p e ra tu ry [1, str. 77].
T
u = F ( T ) = j c v - d T + u 0= c v\ Z - T + u 0 k cal/k g *) (1) 0
T
i = 0 ( T ) = f c„-dT + u 9= c p\l - T + w0 kcal/kg, (2) Ó
c„ f k cal/(kg. 1°) — średnie ciepło właściwe w stałej objętości w' za
kresie te m p e ra tu r od 0 °K do T °K,
cp jp k cal/(kg. 1°) — średnie ciepło właściwe p o d sta ły m ciśnieniem w za
kresie te m p e ra tu r od 0 °K do T °K,
u0 k cal/k g — wielkość sta ła , k tó rej p rz y ro zp a try w a n iu procesów fizycznych m ożna p rzy pisać dow olną w artość.
!) W a rty k u le niniejszym zastosow ano oznaczenia ta k ie sam e ja k w p ra c y Ogólne zasady bilansowania energetycznego procesów chemicznych... (por. zestaw ienie oznaczeń, str. 81).
1 6 6 J a n Szaryut
P o d w zględem term iczn y m gazy półdoskonałe podlegają rów naniu Olapeyrona
P - ® = E - T k G m /k g . (3)
E n tro p ię gazów półdoskonałych m ożna obliczyć za pom ocą wzorów
T
Cr rlT
s = J '-y + A E •ln « + *0= <p(T)+A B -lri s 0 kcal/(kg -1°), (4) r 0
T
s = | - A - /M n P + 4 = / ( T ) -E -ln P + » ó kcal/(k g -1°), (4a)
* E
s 0,«ó k cal/(kg -1°) — wielkości stałe, zw iązane z sobą zależnością
s' = s0+ ^ l E - ln ( B - T 0) kcal/(kg -1°). (5) P 0 °K — te m p e ra tu ra odniesienia p rzy obliczaniu entropii.
Bezpośrednie posługiw anie się w zoram i (1), (2), (4) i (4 a) je s t u tru d n io n e z pow odu zm ienności ciepła właściwego cv i cp z te m p e ra tu rą 1). O bliczenia u p raszczają się znacznie po zastosow aniu w ykresów kalorycznych (i, T) lub (u,T) oraz (s, T). O pisy ty c h w ykresów sp o ty k a się w wielu p u b li
kacjach z dziedziny term o d y n am ik i technicznej (np. [3], [4], [5]).
Celem w yznaczenia zm ian e n ta lp ii i energii w ew nętrznej gazów p ó ł
doskonałych w y starczy dla każdego gazu nakreślić w układzie {i,T) lub (u,T) je d n ą krzyw ą. Zależność pom iędzy e n ta lp ią a energią w ew nętrzną gazu półdoskonałego m ożna bowiem w yrazić wzorem
i = u + A P •v = u-\-A B T kcal/kg. (6) K rzy w a p rze d staw ia jąc a zależność en talp ii od te m p e ra tu ry może więc służyć równocześnie do w yznaczania zm ian energii w ew nętrznej (lub n a odw rót). W ty m celu w y starczy jak o oś T p rzy ją ć p ro stą o odchyleniu od osi pionow ej, w ynoszącym
~ = A -E k c a l/(k g -l°). (7)
Szkic w ykresu służącego do o d czyty w an ia zm ian energii w ew nętrznej lub en talp ii po dano n a rys. 1.
E n ta lp ię i energię w ew nętrzną gazów półdoskonałych dogodnie jest odnieść do m asy 1 km ol. W ówczas p ro sta określona rÓAvnaniem (7) p rz e biega dla w szystkich gazów jednakow o [ M - A E = l , 9 8 6 k c a l/(k m o l-l°)j.
U Zależności ciepła właściwego od te m p e ra tu ry m ożna nie uw zględniać, jeżeli te m p e ra tu ra gazu je s t w rozw ażanym procesie n iezb y t w ysoka lub jeżeli zmienia się ona w niewielkim zakresie. Graz o sta ły m cieple właściw ym nosi nazw ę gazu doskonałego.
W ykres (s, ln T ) gazów póldoskonalych
Do w yzn aczania zm ian e n tro p ii w dow olnych przem ianach oraz zm ian p a ra m e tró w term iczn y ch w przem ian ach izentropow ych służy w ykres (s, T).
N a w ykresie ty m dla każdego gazu półdoskonałego kreśli się 2 krzyw e:
izobarę oraz izochorę. W szy stk ie izo b ary gazu półdoskonałego m ają b o wiem jed n ak o w y k s z ta łt i są jed y n ie przesu n ięte względem siebie w kie
ru n k u osi s o odcinek
AsT= A It \n ( p j p t) k c a l/(k g -l°). (8) To sam o d o ty czy izochor. M ierzona w k ieru n k u osi s odległość pom iędzy izochoram i w ynosi
Ast ==A Jł-hi (r2M ) k c a l/(k g -l°). (9)
Rys. 1. W ykres (i, T) gazów póldoskonalych
t
H d S y — S
. .1,-1 )
— %/*,, P,/Pz Rys. 2. W ykres (s, T) gazów
póldoskonalych
Szkic w yk resu (s , T ) gażów póldoskonalych przedstaw iono n a rys. 2.
O bok w ykresu um ieszcza się podziałkę, k tó ra p o d a je zm ianę entropii podczas p rzem ian y izoterm icznej w zależności od stosunku ciśnień lub objętości (należy zwrócić uwagę, że w p rzem ianie izoterm icznej gazu półdoskonałego v2/v1 = p j p 2).
P o d ziałk a izoterm icznych zm ian en tro p ii pozw ala w ykonyw ać n a w y
kresie (s,T) różne operacje, m im o że m a się do dyspozycji nie całą siatkę izo bar i izochor, lecz ty lk o 2 krzyw e (operacje te omówiono dalej).
W ykres (s,T) gazów pó ldoskonalych m ożna uprościć przez w prow a
dzenie po działk i logary tm iczn ej n a osi T. N a w ykresie ta k im w ystarczy dla każdego gazu półdoskonałego nakreślić jedną lerzywą, k tó ra zależnie od nach y len ia osi T może służyć jak o izochora, izobara lub dow olna inna p o litro p a.
A by udow odnić to tw ierdzenie, w eźm y pod uw agę wzór (4) oraz rów n an ie p o litro p y w uk ładzie (s,T).
168 J a n Szargut
K s z ta łt izobary w układzie (s,T) zależy tylko od w artości funkcji f ( T) w ystępującej w ró w nan iu ( la )
sp= f ( T ) + b k c a l/(k g -l°), (5a) gdzie b. oznacza pew ną wielkość stałą.
R zeczyw iste ciepło właściwe gazu półdoskonałego podczas przem ian y poli tropow ej m ożna w yrazić w zorem [1, str. 112]
c = , ' p - 'A K k eal/(kg • 1°), (10)
m w ykładnik p o litro p y.
W obec tego rów nanie ])<)litropy w układzie (s, T) m a p o stać n a stę p u jąc ą sm—f ( T) — ■ A B hi T- \- d kcal/(k g • 1°), (11)
YYb 1
gdzie d oznacza pew ną wielkość stałą.
M ierzona w k ieru n k u osi s odległość pom iędzy p o litro p ą a izobarą wynosi więc
sp — sm= —— - -M l? -In TĄ-b — d k c a l/( k g - 1°). m (12)
Odległość ta n a ra s ta liniowo, jeżeli n a osi T zastosuje się podzialkę loga
ry tm iczn ą.
W obec tego izob ara nak reślo n a w p ro sto k ą tn y m układzie (s , ln T) sta je się p o litro p ą o w ykład nik u m, w układzie u k o śn o k ątn y m o odch y
leniu osi te m p e ra tu ry
_ e s )
(Zm ienna s w y stę p u ją c a w ty m rów naniu odnosi się do u k ład u p ro sto k ątnego).
Izoch ora jest p o litro p ą o w ykładniku m — oo.
Izo b arę n ak reśloną w układzie (s, ln T) m ożna więc tra k to w a ć jak izochorę, jeżeli zastosuje się oś te m p e ra tu r o odchyleniu od pionowej, w ynoszącym :
(j o
d h ] i = A ■ K k cal/(kg • 1°). (13 a) W zór (13a) jest analogiczny do rów nania (7).
P rz y sporządzaniu w ykresu (s, ln T), podobnie ja k d la w ykresu ( i,T), dogodnie je s t odnieść en tro p ię do m asy 1 km ol gazu. W ówczas k ierunek określony rów naniem (13) lu b (13a) jest jedn akow y dla w szystkich gazów.
W ykres (s, ln T ) gazów póldoskonałyeli 1 6 9
N a w ykresie (s, ln T) m ożna przeprow adzać p o d ob ne operacje ja k n a w ykresie (s , T ). N ależy p rz y ty m rów nież k o rzy sta ć z um ieszczonej obok w y kresu podziałki izoterm icznych zm ian en tro p ii. Poszczególne operacje naszkicow ano n a ry su n k a c h 3, 4, 5, 6.
a) Wyznaczenie zmiany entropii gazu półdoskonałego w przemianie politropowej, jeżeli zn ane są sk rajn e te m p e ra tu ry gazu i w y k ładn ik m p o h tro p y , pokazano n a rys. 3.
D la d an ej w arto ści w ykładu ika m kreśli się odpow iedni k ieru n ek osi te m p e ra tu r i po sługu jąc się t ą osią ja k linią stałej en tro p ii o d czy tu je się różnicę e n tro p ii Asm pom iędzy sta n a m i 1 i 2.
b) Wyznaczanie średniej wartości K m wykładnika adiabaty polega na ty m , że d la danego zakresu te m p e ra tu r należy u sta lić pochylenie krzyw ej w układ zie s, ln T, a n a stę p n ie za pom ocą p odziałki kierunkow ej um iesz
czonej obok w ykresu (rys. 7) w yznacza się dla tego pochylenia w artość w y k ład n ik a (O peracje a) i b) nie d ad zą się w ykonać n a w ykresie s,T).
c) Wyznaczanie zmiany entropii w dowolnej przemianie, jeżeli znane są p a ra m e try początkow e i końcow e gazu, przedstaw iono n a rys. 4.
Od sta n u początkow ego do końcowego przechodzi się po izobarze i izoterm ie lu b po izochorze i izoterm ie. Pierw szy w a ria n t tej a lte rn a ty w y stosuje się, g d y znane są sk rajn e te m p e ra tu ry i ciśnienia; drugi — gdy znane są sk ra jn e te m p e ra tu ry i objętości właściwe gazu. Izo b ary czn y p rz y ro st e n tro p ii Asp d la d an y ch te m p e ra tu r sk ra jn y c h (lub p rzy ro st izochoryczny Asv) o d czy tu je się w prost z w ykresu. P rz y ro s t izoterm iczny AsT d la danego sto su n k u ciśnień (lub objętości) w yznacza się za pom ocą podziałki um ieszczonej obok w ykresu.
Pil Pi
Rys. 3. W yznaczanie p rzy ro stu en tro p ii w przem ianie p o litro p o
wej. D ane T x, T 2, m
Rys. 4. W yznaczanie p rzy ro stu entropii w dowolnej przem ianie. D ane 7\, T2,
P i / P t
1 7 0 J a n Szargut
d) Wyznaczanie stosunku objętości w przemianie izentropowej, jeżeli znane są sk rajn e te m p e ra tu ry gazu, zilustrow ano n a rys. 5.
N a izochorze należy znaleźć p u n k ty 1 i I I odpow iadające sk rajn ym w artościom te m p e ra tu ry Od p u n k tu I I do 1 przechodzi się po izentro- pie I I - I i izoterm ie 1-1. Iz e n tro p a przebiega w ty m p rz y p a d k u skośnie rów nolegle do k ieru n k u określonego rów naniem (13a). Stosunek objętości w przem ianie izoterm icznej je st ta k i sam ja k w izentropow ej. D la izo-
P2IP1
Rys. 5. W yznaczanie stosunku objętości w przem ianie iz e n tro
pow ej. D ane I \ , I \
Rys. 6. W yznaczanie te m p e ra tu r y końcowej w przem ianie izentropow ej. D ane rJ \ p j p .
te rm y sto su n ek te n w yznacza się o dcinając n a podziałce um ieszczonej obok w ykresu znaleziony n a w ykresie izoterm iczny p rzy ro st entropii.
P o dobnie w yznacza się stosunek ciśnień. T y m razem k rzyw a w u k ła dzie (s, ln T) odgryw a rolę izobary, w zw iązku z czym izen tro p a przebiega p ro sto p ad le do osi s.
e) Wyznaczanie końcowej temperatury gazu w przemianie izentropowej, jeżeli zn a n y je s t stosun ek ciśnień (lub objętości) oraz te m p e ra tu ra p o czątkow a, p rzed staw ia rys. 6.
Od p u n k tu początkow ego 1 o dcin a się w yznaczony za pom ocą po- działk i um ieszczonej obok w ykresu, izoterm iczny p rzy ro st en tro p ii odpo
w iad ający d an em u stosunkow i ciśnień (lub objętości). Z otrzym anego p u n k tu I w raca się po izentropie n a tę sam ą izobarę (lub izochorę). W z n a lezionym p u nk cie I I o d czy tu je się te m p e ra tu rę końcową.
N a ry su n k u 7 przedstaw iono w ykres [(Ms), ln T] gazów najczęściej sp o ty k a n y c h w technice. P o d staw ę dla sporządzenia w ykresu stanow iły tab lic e po d an e w p u b lik acji [2]. D la większej przejrzy stości krzyw e d o tyczące poszczególnych gazów są względem siebie przesunięte.
OOS i
W ykres (s, ln, T) gazów póldoskonałych 171
0=iM dip ‘q.suoo=s
Rys. 7.Wykres (Ms), ln, Tgazówpóldoskonałych
1 7 2 J a n Szargut
P rz y ro s ty e n tro p ii tlen k u węgla są niem al tak ie sam e ja k pow ietrza, w zw iązku z czym d la CO nie nakreślono osobnej krzyw ej. M e nakreślono też oddzielnej krzyw ej dla czystego azotu, gdyż w technice m a się n a j
częściej do czynienia z tzw . azotem pow ietrznym , a p rz y ro sty entropii d la a z o tu i az o tu pow ietrznego są niem al ta k ie same.
Za pom ocą k rzyw ych przedstaw io n y ch n a rys. 7 m ożna też w yznaczać bezw zględną w artość e n tro p ii gazów. W ty m celu należy posłużyć się w zorem
( M s ) = (Ms)w—1 ,9 8 6 -In p -f A kcal/(km ol -1°), (14) {Ms)w kcal/(km ol -1°) — w artość en tro p ii o d c z y ta n a z w ykresu (dla danej te m p e ra tu ry ), p rz y u sta lo n y m na. w y
kresie położeniu krzyw ych indyw idualnych.
p a tu — ciśnienie gazu,
A k c a l/(k m o l-l°) — sta ła , k tó rej w arto ść należy odczytać z podanej niżej tabelki.
Wartość stałej A w równaniu (14)
Gaz A
kcal/(km ol • 1°) Gaz A
kcal/(km ol ■ 1°)
h2 30,63 o 2 45,40
n2 43,121 H aO 40,395
N 2 pow. 43,92 c o 2 45,256
pow ietrze 43,65 c h4 37,76
CO 44,573
O trzym ano 12 stycznia 1955 r.
BIBLIOGKAFIA
[1] O c h ę d u s z k o S t., Teoria m aszyn cieplnych, cz. I, W arszaw a 1953.
[2] B y K a n o B H H M. ü . , K h p h u i h h B. A. n ¿jpyrae, TepM odim aM im ecnue caoucm ea za 306, MocKBa 1953.
[3] S c h ü l l e W ., Technische Therm odynam ik, t. I, 1, Berlin 1930, str. 155.
[4] S t o d o ł a A., Dampf- u n d Gasturbinen, B erlin 1924, str. 995.
[5] J I h t b h h M. A. TexmmecKan TepModunaMuna, MocKBa-JleHJiHrpafl 1947.
