Rozwiązanie równania z wartością bezwzględną typu x+1 + x-2 =5. Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

(1)

Rozwiązanie równania z wartością bezwzględną typu

|x+1|+|x-2|=5

Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

(2)

Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia z jedną niewiadomą metodą równań równoważnych polega na znalezieniu liczby, która spełnia dane równanie lub wykazaniu, że równanie nie posiada rozwiązania.

W tym celu przekształcamy równania równoważnie, sprowadzając je do jak najprostszej postaci. Metody rozwiązywania równań liniowych wykorzystamy również do rozwiązywania równań z kilkoma

wartościami bezwzględnymi.

Twoje cele

Rozwiążesz równania z dwiema wartościami bezwzględnymi.

Udoskonalisz umiejętności rozwiązywania równań z wartością bezwzględną.

Rozwiązanie równania z wartością bezwzględną typu |x+1|+|x-

2|=5

Źródło: licencja: CC 0, dostępny w internecie:

pixabay.com.

(3)

Przeczytaj

Już wiesz

Dla dowolnej liczby rzeczywistej a wartość bezwzględną deﬁniujemy jako:

a=adla a≥0-adla a<0

Przykład 1

Rozwiążemy równanie x-5=3-4x.

Aby rozwiązać równanie skorzystamy z tego, że:

|a|=|b|⟺a=b lub a=−b Zatem x-5=3-4x lub x-5=-3-4x.

Zajmiemy się najpierw rozwiązaniem równania x-5=3-4x.

x+4x=3+5 5x=8 x=135

Teraz rozwiążemy równanie x-5=-3-4x.

x-5=-3+4x x-4x=-3+5 -3x=2 x=-23

Zatem rozwiązaniem równania są liczby x∈-23, 135.

Przykład 2

Rozwiążemy równanie x+4+x-3=10.

Najpierw zapiszemy wyrażenie x+4 bez użycia wartości bezwzględnej.

Korzystając z deﬁnicji otrzymujemy:

x+4=x+4dla x≥-4-x+4dla x<-4 Analogicznie

x-3=x-3dla x≥3-x-3dla x<3

Przedstawimy teraz jak zmieniają się znaki wartości bezwzględnej w wyznaczonych przedziałach na osi liczbowej.

(4)

Przedział 1.

x∈-∞, -4 -x+4-x-3=10 -x-4-x+3=10 -2x-1=10 -2x=11 x=-512

Teraz należy sprawdzić, czy liczba x=-512 należy do przedziału, w którym się znajdujemy.

x=-512∈-∞, -4 Przedział 2.

x∈-4, 3 x+4-x-3=10 x+4-x+3=10 7=10

Sprzeczność.

Przedział 3.

x∈3, ∞ x+4+x−3=10 2x+1=10 2x=9 x=412

Teraz należy sprawdzić, czy liczba x=412 należy do przedziału, w którym się znajdujemy.

x=412∈⟨3, ∞)

Zatem rozwiązaniami równania są liczby x=−512, x=412 , . Przykład 3

Dla jakiej wartości parametru m równanie x-5+x+5=m ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Korzystając z deﬁnicji wartości bezwzględnej otrzymujemy:

(5)

x-5=x-5dla x≥5-x-5dla x<5 x+5=x+5dla x≥-5-x+5dla x<-5 Przedział 1.

x∈-∞, -5 -x-5-x+5=m -x+5-x-5=m -2x=m x=-m2 Przedział 2.

x∈-5, 5 -x-5+x+5=m -x+5+x+5=m 10=m Przedział 3.

x∈5, ∞ x-5+x+5=m 2x=m x=m2

Zatem równanie będzie miało nieskończenie wiele rozwiązań dla m=10.

Słownik

wartość bezwzględna liczby rzeczywistej a

a=adla a≥0-adla a<0

(6)

Film samouczek

Polecenie 1

Obejrzyj ﬁlm samouczek pokazujący sposób rozwiązywania równań z dwiema wartościami bezwzględnymi.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl Film nawiązujący do treści materiału

Polecenie 2

Rozwiąż równanie 3·x-3+2x+7=4.

(7)

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Niech A oznacza zbiór rozwiązań równania x-1+x+7=4. Rozwiąż równanie i wskaż zbiór A.

A=-1, 5 A=-5, -1

A jest zbiorem liczb rzeczywistych A jest zbiorem pustym

輸

Ćwiczenie 2

Rozwiąż równanie x+5+x+3=4 i wybierz największą liczbę całkowitą, która spełnia to równanie.

Przeciągnij poprawną odpowiedź.

6, -6, -2, 2, -1, 0

Największą liczbą całkowitą spełniającą to równanie jest x= .

輸

Ćwiczenie 3

Dane jest równanie 2x-4+3-x=5, którego pierwiastkami są liczby x1 i x2 . Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe.

Suma x1 +x2 pierwiastków równania jest liczbą całkowitą.

Suma x1 +x2 pierwiastków równania należy do przedziału 4, 5.

x1 +x2 są liczbami ujemnymi.

Suma x1 +x2 pierwiastków równania jest liczbą okresową.

Największym pierwiastkiem równania jest liczba 4.

醙

Ćwiczenie 4

Zaznacz poprawną odpowiedź. Rozwiązaniami równania x+5-4-2x=2 są liczby:

13 i 7 -13 i 7 13 i -7 -13 i -7

醙

(8)

Ćwiczenie 5

Przenieś do obszaru "Równania równoważne" wszystkie równania równoważne równaniu x-1-3-2x=-8 jeżeli wiadomo, że x∈-∞, 23, a pozostałe równania do obszaru "Równania pozostałe".

<math><mo>-</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>10</mn></math>, <math><mi>x</mi><mo>=

</mo><mo>-</mo><mn>6</mn></math>, <math><mo>-</mo><mi>x</mi><mo>+</mo>

<mn>1</mn><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-

</mo><mn>8</mn></math>, <math><mo>-</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>-

</mo><mn>3</mn><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>8</mn></math>,

<math><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>8</mn></math>,

Równania równoważne

Równania pozostałe

醙

Ćwiczenie 6

Połącz w pary równania i liczby, które je spełniają.

</math> i <math><mfrac><mn>9</mn><mn>4</mn></mfrac></math>, <math><mo>-</mo>

2-x-4+3x=3 x+3-7+2x=0 4-5x-x+1=4 4-5x-x+1=5

醙

(9)

Ćwiczenie 7

Dla jakiej wartości parametru p równanie x+2+x-2=p ma nieskończenie wiele rozwiązań?

Przeciągnij poprawną odpowiedź.

2, -4, 0, 4, -2

Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań dla wartości p= .

難

Ćwiczenie 8

Rozwiąż równanie x+3+2x-1=6.

難

(10)

Dla nauczyciela

Autor: Jolanta Schilling Przedmiot: Matematyka

Temat: Rozwiązanie równania z wartością bezwzględną typu x+1+x-2=5 Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony Podstawa programowa:

III. Równania i nierówności. Zakres rozszerzony.

Uczeń:

4) rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, o stopniu trudności nie większym niż:

2x+3+3x-1=13, x+2+2x-3<11.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji kompetencje w zakresie wielojęzyczności

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

kompetencje cyfrowe

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się Cele operacyjne:

Uczeń:

rozwiązuje równania z dwiema wartościami bezwzględnymi

doskonali umiejętności rozwiązywania równań z wartością bezwzględną tworzy algorytmy rozwiązywania równań różnych typów

dobiera model matematyczny do określonej sytuacji Strategie nauczania:

konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

śnieżna kula dyskusja Formy pracy:

praca indywidualna praca w grupach praca w parach Środki dydaktyczne:

komputery z głośnikami i dostępem do Internetu, słuchawki zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale

tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda

(11)

Przebieg lekcji Faza wstępna:

1. Uczniowie w domu przypominają sobie metody algebraiczną i graﬁczną rozwiązywania równań liniowych z wartością bezwzględną.

2. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć oraz wspólnie z uczniami ustala kryteria sukcesu.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie pracują w parach nad przykładami przedstawionymi w części „Przeczytaj”

2. Każda para próbuje samodzielnie rozwiązać przykłady.

3. Po upływie wyznaczonego czasu uczniowie łączą się w 6 osobowe grupy i dzielą się wnioskami i uwagami o sposobach rozwiązania przykładów. Porównują swoje rozwiązania.

4. Uczniowie wspólnie oglądają ﬁlm samouczek.

5. Rozwiązują samodzielnie przykład zapisany pod ﬁlmem i konsultują rozwiązania.

6. Uczniowie rozwiązują ćwiczenia interaktywne 1‑5 i omawiają wyniki z nauczycielem.

Faza podsumowująca:

1. Jako podsumowanie przedstawiciele grup krótko omawiają trudności, jakie napotkali podczas rozwiązywania zadań.

2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, udzielając im tym samym informacji zwrotnej.

Praca domowa:

Uczniowie wykonują w domu zadania 6 – 8 z sekcji „Sprawdź się”.

Materiały pomocnicze:

Wartość bezwzględna - deﬁnicja Wartość bezwzględna liczby Wskazówki metodyczne:

Film może być materiałem inspirującym do przygotowania przez uczniów własnego samouczka.

Przetwarzam wzory matematyczne: 0%