Rozwiązywanie równań zawierających mianownik metodą równań równoważnych. Wprowadzenie Przeczytaj Animacja Sprawdź się Dla nauczyciela

(1)

Rozwiązywanie równań zawierających mianownik metodą równań równoważnych

Wprowadzenie Przeczytaj Animacja Sprawdź się Dla nauczyciela

(2)

Rozwiązywanie równań nie zawsze daje się zapisać jako proste porównywanie dwóch wielkości. Czasem należy skorzystać z proporcji lub innych, bardziej skomplikowanych form zapisu. W tym materiale przypomnimy, utrwalimy i rozwiniemy umiejętności w zakresie rozwiązywania równań zawierających mianownik metodą równań równoważnych.

Twoje cele

Sprowadzisz wyrażenia algebraiczne zawierające mianownik do wspólnego mianownika.

Rozwiążesz równania zawierające mianownik metodą równań równoważnych.

Zapiszesz i rozwiążesz równania zawierające mianownik, wynikające z treści zadań.

Rozwiązywanie równań zawierających mianownik metodą równań

równoważnych

(3)

Przeczytaj

Rozwiązując równania można wykorzystać metodę równań równoważnych. Dwa równania nazwiemy równoważnymi, jeśli mają takie same zbiory rozwiązań. Chcąc rozwiązać równanie, możemy:

do obu stron równania dodać jednomian;

od obu stron równania odjąć jednomian;

obie strony równania pomnożyć przez liczbę różną od zera lub podzielić przez liczbę różną od zera;

uprościć wyrażenia znajdujące się po każdej stronie równania – opuszczając nawiasy, redukując wyrazy podobne.

Wykonując te operacje staramy się doprowadzić równanie do postaci prostszej, aby uzyskanie rozwiązani było łatwiejsze. W przypadku równań w postaci proporcji rozwiązywanie równań zawierających

mianownik metodą równań równoważnych sprowadza się do uproszczenia proporcji.

Deﬁnicja: Równość postaci Równość postaci

a b =

c

d dla b ≠ 0 i d ≠ 0 nazywamy proporcją. Wyrazy a i d nazywamy skrajnymi, natomiast wyrazy b i c środkowymi.

W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych, czyli:

Przykład 1

Rozwiążemy równanie

2x + 4

3 =

x -3 2

Jest to równanie zapisane w postaci proporcji. Skorzystamy z własności proporcji mówiącej, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych.

2 · (2x + 4) = 3 · (x - 3) Pozbywamy się nawiasów.

4x + 8 = 3x - 9

Od obydwu stron równania odejmujemy 8 i jednocześnie odejmujemy 3x.

(4)

4x - 3x = - 9 - 8 x = - 17

Rozwiązaniem równania jest liczba (-17).

Przykład 2

Rozwiążemy równanie

x -3 3 + 2 =

x + 4 6 -

2x -3 2

Obydwie strony równania mnożymy przez wspólny mianownik ułamków (najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 2, 3 i 6). Będzie to liczba 6.

x-33+2=x+46-2x-32 |·6 6·x-33+6·2=6·x+46-6·2x-32

Skracamy wyrażenia.

2·x-3+12=x+4-3·2x-3

Wykonujemy mnożenie i pozbywamy się nawiasów.

2x-6+12=x+4-6x+9

Redukujemy wyrażenia podobne.

2x+6=-5x+13

Od obydwu stron równania odejmujemy 6 i jednocześnie dodajemy 5x.

2x+5x=13-6 7x=7 Dzielimy obie strony równania przez 7.

7x=7 |:7 x=1 Rozwiązaniem równania jest liczba 1.

Przykład 3

Dane są dwie liczby naturalne, których stosunek wielkości jest równy 12. Oblicz szukane liczby, jeżeli wiadomo, że jedna z nich jest o 4 większa od drugiej.

Najpierw przeprowadzimy krótką analizę zadania.

Jeżeli:

x – pierwsza liczba, x+4 – druga liczba.

Możemy zapisać równanie opisujące sytuację w zadaniu:

xx+4=12

Teraz zajmiemy się rozwiązaniem równania zapisanego w postaci proporcji.

(5)

2x=x+4 2x-x=4 x=4

Rozwiązaniem równania jest liczba 4. Jest to pierwsza szukana liczba. Druga liczba to 8.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie 32+3x=-12x.

Najpierw wyznaczymy dziedzinę równania x∈ℝ∖-23,0.

Uwzględniając dziedzinę równania zapiszemy x.

3·2x=-1·(2+3x) 6x=-2-3x 6x+3x=-2 9x=-2 x=-29

Słownik

zbiór rozwiązań równania z jedną niewiadomą

każda liczba rzeczywista, która spełnia to równanie równania równoważne

równania, które posiadają ten sam zbiór rozwiązań

(6)

Animacja

Polecenie 1

Przeanalizuj przedstawioną w animacji metodę rozwiązywania równań zawierających mianownik.

Pamiętaj o wyznaczeniu dziedziny równania, gdy niewiadoma znajduje się w mianowniku.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl Film nawiązujący do treści materiału

Polecenie 2

Rozwiąż równanie:

2x+7x+5=213 Polecenie 3

Sprawdź, czy rozwiązanie równania 3x+12-1-x5=2x-3-x4 spełnia równanie 3x+5=2x+3.

(7)

Sprawdź się

Ćwiczenie 5

Przeciągnij prawidłową liczbę tak, aby otrzymać proporcję.

4, 5,5, 3, 6, 5, 4,5, 2, 3,5 x9=11,5, x=

x1=10,2, x=

5,516,5=1x, x=

x28=3,1421,98, x=

Ćwiczenie 1

Wpisz w wolne miejsce taką liczbę, aby podane wielkości były wprost proporcjonalne.

x y

64 16

4

輸

Ćwiczenie 2

x y

2

17 51

輸

Ćwiczenie 3

Jeżeli liczba nie jest całkowita zapisz, np.: 1,5.

x y

2,5 7

21 22,5

輸

Ćwiczenie 4

Jabłko waży 0,23 kg. Ile jabłek waży 4,37 kg?

19 17 20 22

醙

(8)

Ćwiczenie 6

Janek jest o 5 kg cięższy od Stasia. Stosunek wagi chłopców jest równy 34. Jeżeli za x przyjmiemy wagę Stasia to równanie opisujące sytuację przedstawioną w zadaniu to:

xx+5=34 xx-5=34 xx+5=43

醙

Ćwiczenie 7

Posortuj rozwiązanie równania w odpowiedniej kolejności.

8x-8=27x-6 8x-27x=-6+8 -19x=2 x=-219

2x-23=5x2-x+24 4·2x-2=30x-3·x+2 8x-8=30x-3x-6

醙

Ćwiczenie 8

Obwód równoległoboku jest równy 48 cm. Oblicz długość dłuższego boku równoległoboku, jeżeli pozostają one w stosunku 5∶7. Wpisz odpowiedź.

Długość dłuższego boku równoległoboku wynosi ... cm.

醙

Ćwiczenie 9

Równanie x+43-5x2=3x-1-x6 ma jedno rozwiązanie jest sprzeczne jest tożsamościowe ma dwa rozwiązania

難

Ćwiczenie 10

Połącz w pary równanie z jego rozwiązaniem.

</math>, <math><mn>1</mn><mfrac><mn>4</mn><mn>11</mn></mfrac></math>

x+52+3x5=4 x3+x4+x5=0 3x-12+4x=2x+13 2x+45-x-12=0 4x-13-3x4=x

難

(9)

Dla nauczyciela

Autor: Jolanta Schilling Przedmiot: Matematyka

Temat: Rozwiazywanie równań zawierających mianownik metodą równań równoważnych Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony Podstawa programowa:

III. Równania i nierówności. Zakres podstawowy.

Uczeń:

1) przekształca równania i nierówności w sposób równoważny.

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji kompetencje w zakresie wielojęzyczności

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii

kompetencje cyfrowe

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się Cele operacyjne:

Uczeń:

sprowadza wyrażenia algebraiczne zawierające mianowniki do wspólnego mianownika rozwiązuje równania zawierające mianownik metodą równań równoważnych

analizuje zadania z treścią, na ich podstawie zapisuje i rozwiązuje równania zawierające mianownik tworzy algorytm rozwiązywania równań zawierających mianownik

Strategie nauczania:

konstruktywizm

Metody i techniki nauczania:

rozmowa nauczająca z wykorzystaniem animacji i ćwiczeń interaktywnych dyskusja

odwrócona klasa Formy pracy:

praca indywidualna praca w grupach

praca całego zespołu klasowego Środki dydaktyczne:

komputery z głośnikami i dostępem do Internetu, słuchawki zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale

tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda

(10)

Przebieg lekcji Faza wstępna:

1. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć oraz wspólnie z uczniami ustala kryteria sukcesu.

2. Wybrani wcześniej przez nauczyciela uczniowie podają przykłady prostych równań zapisanych w postaci proporcji. Pozostali odgadują szukane wielkości.

Faza realizacyjna:

1. Uczniowie pracują w grupach metodą odwróconej klasy. Najpierw wymieniają się między sobą wiadomościami dotyczącymi rozwiązywania równań zawierających mianownik metodą równań równoważnych, które przypomnieli w domu. Przypominają metody sprowadzania ułamków algebraicznych do wspólnego mianownika.

2. Uczniowie oglądają animację i omawiają ją wraz z nauczycielem.

3. Uczniowie podzieleni na grupy 4 – 6 osobowe rozwiązują zadania interaktywne. Wspólnie omawiają odpowiedzi.

Faza podsumowująca:

1. Jako podsumowanie nauczyciel zadaje uczniom pytania dotyczące rozwiązywania równań.

2. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, udzielając im tym samym informacji zwrotnej.

Praca domowa:

Nauczyciel poleca uczniom wykonać te ćwiczenia interaktywne, które nie zostały wykonane podczas lekcji.

Materiały pomocnicze:

E‑podręcznik z matematyki Wskazówki metodyczne:

Animację można wykorzystać jako przygotowanie do sprawdzianu. Po obejrzeniu rozwiązanych przykładów, nauczyciel może przygotować podobne zadania i poprosić uczniów o rozwiązanie ich w ramach krótkiego sprawdzianu.

Przetwarzam wzory matematyczne: 9%