Probabilistyka Wyk“ad IX: W moim przedziale wszyscy trzej, ojej! Grzegorz Siudem

(1)

Probabilistyka

Wykład IX: W moim przedziale wszyscy trzej, ojej!

Grzegorz Siudem

Wydział Fizyki wykład zdalny 2020

(2)

W poprzednim odcinku...

(3)

Na poprzednim wykładzie opowiadałem o

kolejnych, pasjonujących własnościach prawdopodobieństwa,

funkcjach tworzących, charakterystycznych i generujących momenty.

funkcjach zmiennych losowych.

1 8

(4)

Rozkłady

(5)

Quiz: jaki rozkład mają?

X1,X2∼ N (µ_i, σ_i)niezależne

=⇒X1+X2∼ ?

N (µ1+ µ2, σ1+ σ2) X ∼ N (µ, σ) =⇒ aX + b ∼

?N (aµ + b, a²σ)

X ∼ N (µ, σ) =⇒ e^X ∼

?Lognorm(µ, σ²)

X1,X2∼ P(λ_i)niezależne

=⇒X1+X2∼

?P(λ1+ λ2)

X1,X2, . . . ,Xn ∼ N (0, 1) niezależne

=⇒X₁²+X₂²+ · · · +X²_n∼

?χ²_n

X1,X2, . . . ,Xn ∼ N (µ, σ²)niezależne

=⇒t = _S/^X−µ^√_n ∼

?tn−1

Więcej? Na ćwiczeniach :)

2 8

(6)

Quiz: jaki rozkład mają?

=⇒X1+X2∼

?

N (µ1+ µ2, σ1+ σ2) X ∼ N (µ, σ) =⇒ aX + b ∼?

N (aµ + b, a²σ) X ∼ N (µ, σ) =⇒ e^X ∼

?Lognorm(µ, σ²)

=⇒X1+X2∼

?P(λ1+ λ2)

=⇒X₁²+X₂²+ · · · +X²_n∼

?χ²_n

=⇒t = _S/^X−µ^√_n ∼

?tn−1

(7)

Quiz: jaki rozkład mają?

=⇒X1+X2∼

?

N (µ1+ µ2, σ1+ σ2) X ∼ N (µ, σ) =⇒ aX + b ∼

?

N (aµ + b, a²σ) X ∼ N (µ, σ) =⇒ e^X ∼

?Lognorm(µ, σ²) X1,X2∼ P(λ_i)niezależne

=⇒X1+X2∼

?P(λ1+ λ2)

=⇒X₁²+X₂²+ · · · +X²_n∼

?χ²_n

=⇒t = _S/^X−µ^√_n ∼

?tn−1

2 8

(8)

Quiz: jaki rozkład mają?

=⇒X1+X2∼

?

N (µ1+ µ2, σ1+ σ2) X ∼ N (µ, σ) =⇒ aX + b ∼

?

N (aµ + b, a²σ) X ∼ N (µ, σ) =⇒ e^X ∼?

Lognorm(µ, σ²)

=⇒X1+X2∼

?P(λ1+ λ2)

=⇒X₁²+X₂²+ · · · +X²_n∼

?χ²_n

=⇒t = _S/^X−µ^√_n ∼

?tn−1

(9)

Quiz: jaki rozkład mają?

=⇒X1+X2∼

?

N (µ1+ µ2, σ1+ σ2) X ∼ N (µ, σ) =⇒ aX + b ∼

?

N (aµ + b, a²σ) X ∼ N (µ, σ) =⇒ e^X ∼

?

Lognorm(µ, σ²) X1,X2∼ P(λ_i)niezależne

=⇒X1+X2∼ ?

P(λ₁+ λ2)

=⇒X₁²+X²₂+ · · · +X²_n∼

?χ²_n

=⇒t = _S/^X−µ^√_n ∼

?tn−1

2 8

(10)

Quiz: jaki rozkład mają?

=⇒X1+X2∼

?

N (µ1+ µ2, σ1+ σ2) X ∼ N (µ, σ) =⇒ aX + b ∼

?

N (aµ + b, a²σ) X ∼ N (µ, σ) =⇒ e^X ∼

?

=⇒X1+X2∼

?

P(λ₁+ λ2)

=⇒X₁²+X²₂+ · · · +X²_n∼ ?

χ²_n

=⇒t = _S/^X−µ^√_n ∼

?tn−1

(11)

Quiz: jaki rozkład mają?

=⇒X1+X2∼

?

N (µ1+ µ2, σ1+ σ2) X ∼ N (µ, σ) =⇒ aX + b ∼

?

N (aµ + b, a²σ) X ∼ N (µ, σ) =⇒ e^X ∼

?

=⇒X1+X2∼

?

P(λ₁+ λ2)

=⇒X₁²+X²₂+ · · · +X²_n∼

?

χ²_n

=⇒t = _S/^X−µ^√_n ∼ ?

tn−1

2 8

(12)

Quiz: jaki rozkład mają?

=⇒X1+X2∼

?

N (µ1+ µ2, σ1+ σ2) X ∼ N (µ, σ) =⇒ aX + b ∼

?

N (aµ + b, a²σ) X ∼ N (µ, σ) =⇒ e^X ∼

?

=⇒X1+X2∼

?

P(λ₁+ λ2)

=⇒X₁²+X²₂+ · · · +X²_n∼

?

χ²_n

=⇒t = _S/^X−µ^√_n ∼

?

tn−1

(13)

Estymatory wariancji

(14)

Estymacja przedziałowa

(15)

Motywacja

Co nam daje etymacja punktowa?

Niewiele – przykład.

Pomysł

Poszukujemy statystyk (funkcji próby) TL,TP, dla których P(TL6 θ 6 TP) >

1 − α

| {z }

przedzial ufnosci

Cel

Poszukujemy najmniejszego takiego przedziału.

3 8

(16)

Motywacja

Pomysł

Poszukujemy statystyk (funkcji próby) TL,TP, dla których P(TL6 θ 6 TP) > 1 − α

1 − α

| {z }

przedzial ufnosci

Cel

(17)

Motywacja

Pomysł

| {z }

przedzial ufnosci

Cel

3 8

(18)

Motywacja

Pomysł

| {z }

przedzial ufnosci

Cel

(19)

A co z pozostałymi rozkładami?

:(

Dla każdego przypadku należy skonstruować przedział!

:)

Jeśli próba jest dostatecznie duża – korzystamy z CTG. Przykład

X1, . . . , Xn– niezależne zmienne z tego samego rozkładu o skończonych pierwszych momentach µ = EX, σ²=Var(X)

4 8

(20)

A co z pozostałymi rozkładami?

:(

Dla każdego przypadku należy skonstruować przedział!

:)

Jeśli próba jest dostatecznie duża – korzystamy z CTG.

Przykład

(21)

A co z pozostałymi rozkładami?

:(

Dla każdego przypadku należy skonstruować przedział! :)

Jeśli próba jest dostatecznie duża – korzystamy z CTG.

Przykład

4 8

(22)

Testy statystyczne

(23)

Problem weryfikacji hipotez

Zmieniamy nieco podejście i chcemy sprawdzić czy (H0: µ =0,

H1: µ 6=0.

Przy prawdziwości H0 mamy

z_α/2 z_1-α/2

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

5 8

(24)

Problem weryfikacji hipotez

Zmieniamy nieco podejście i chcemy sprawdzić czy (H0: µ =0,

H1: µ 6=0.

Przy prawdziwości H0 mamy

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

(25)

Test statystyczny – intuicja

Jak testować - poradnik praktyczny

Mając probę x stawiamy hipotezy H0i H1(ich kolejność ma znaczenie!).

Do hipotez dobieramy statystykę T.

Przy założeniu prawdziwości H0 wyznaczamy rozkład statystyki T. Znajdujemy obszar krytyczny K_α.

Jeżeli T(x) ∈ K_αto odrzucamy hipotezę H0.

Jeżeli T(x) /∈ K_αtonie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H0.

Błędy pierwszego i drugiego rodzaju

6 8

(26)

Test statystyczny – intuicja

Przy założeniu prawdziwości H0 wyznaczamy rozkład statystyki T. Znajdujemy obszar krytyczny K_α.

(27)

Test statystyczny – intuicja

Przy założeniu prawdziwości H0wyznaczamy rozkład statystyki T. Znajdujemy obszar krytyczny K_α.

6 8

(28)

Test statystyczny – intuicja

(29)

Test statystyczny – intuicja

6 8

(30)

Test statystyczny – intuicja

(31)

Podsumowanie

(32)

Dzisiaj rozmawialiśmy o

najważniejszych relacjach pomiędzy typowymi rozkładami prawdopodobienstwa.

estymacji przedziałowej.

tym do czego służą testy statystyczne statystycznych

(33)

W następnym odcinku...

(34)

Na następnym wykładzie opowiem o

testowaniu hipotez statystycznych