Wykład IX

Wykład IX

Całka oznaczona Riemanna

Niech f:[a,b] →R

I etap: tworzymy normalny ciąg podziałów przedziału [a,b]

-pierwszy podział

-drugi podział: a=x0<x₁<x₂=b

 

x

 x

nty podział: ^a=x0<x₁<....< x₂=b

Definicja 9.1 (normalny ciąg podziałów przedziału [a,b]) Niech n= max (xk+1 - xk) - średnica podziału n (długość najdłuższego przedziału)

k{0,…,n-1}

Powiemy, że ciąg podziałów

)

n n N_



n 

II etap

Dla n : w każdym z

przedziałów [xk,xk+1], k=0,1,.,(n-1)

( )

f 

wybieramy w sposób dowolny punkt pośredni  k

Tworzymy sumę:

- możemy utworzyć dla każdego podziału - ciąg sum całkowych

III etap

Definicja 9.2 (całka Riemanna)

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] i dowolnego wyboru punktów pośrednich



n →∞6 n która nie zależy od ciągu

podziałów przedziału [a,b] i wyboru punktów pośrednich



UWAGA:

Jeżeli istnieje

( )

b

a

f x dx



to powiemy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a,b].

lim _n

n





Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

a=x0 ξ1 x1 ξ2 x2 ξ3 b=x3

Jeżeli



f(x)  0 i f -całkowalna, to:

( )

b

a

f x dx  D



-pole obszaru D, gdzie D={(x, y)^R² : x^[a, b] ^ y^[0, f(x)]}, inaczej:

D={(x, y)^R²: a  x  b ^ 0  y  f(x)}

Uwaga!

Jeżeli f(x)  0 w [a, b] ^ f –całkowalna, to

( )

b

a

f x dx   D



, gdzie D obszar pomiędzy wykresem y= f(x) i osią OX w przedziale [a, b]

Całka dolna, całka górna

ⁿ

Niech Mk = sup f(x) , x^[xk,xk+1]

mk = inf f(x) , x^[xk,xk+1] k^{0,1,…,(n-1)}

Niech (ⁿ) normalny ciąg podziałów przedziału [a,b]

Uwaga:

Definicja 9.3 (całka górna, dolna)

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] istnieją granice ^limnsn oraz lim _n

n S

 i nie zależa od normalnego ciągu podziałów przedziału [a,b] to:

Całka dolna

Twierdzenie 9.1 (o całkowalności)

f –całkowalna w sensie Riemanna na przedziale [a,b] 

Dowód:

{0,1,...,( 1)}

k n



f ( ) 

Mk | mnożymy x^k i sumujemy

1 1 1

0 0 0

( )

n n n

k k k k k k

k k k

m x  x M x

  

  

    

  

n   n   n    _n 0  _n 0  _n 0

I= I=

Twierdzenie 9.2 (o całkowalności)

Z: f^C[a,b] , [a,b]- domknięty i ograniczony T: f- całkowalna w sensie Riemanna na [a,b]

Definicja 9.4 (zbiór miary Riemanna 0)

R A - jest miary Riemanna 0

tzn. że zbiór A można pokryć skończoną liczbą przedziałów o łącznej długości nie przekraczającej

zadanej liczby



Przykład 9.1



x1 x2 x3

4



11Equation Section (Next) 4



4



A={x1,x2,x3}

[a1,b1]=[x1-6



, x1+6



] => b1-a1=4



[a2,b2]=[x2-6



, x2+6



] => b2-a2=4



[a3,b3]=[x3-6



, x3+6



] => b3-a3=4



( ) 3

i i

4

b a     



1) Każdy zbiór skończony tzn. składający się ze skończonej ilości elementów ma miarę Riemanna 0

Przykład 9.2  0,5

A=

1

n N_

n

   

  

0,001 0,001 0,001 0,001

0

1 3

1 2 ₁

Dla n>200

1 n 

1 1

200 200,

 

 

 

1 1

200 200,

 

 

 

Wniosek ostateczny

Każdy zbiór złożony ze skończonej ilości punktów skupienia jest zbiorem długości miary Riemanna 0.

Twierdzenie 9.3

Jeżeli {x^R: f(x)  g(x)} jest miary Riemanna 0 i f - całkowalna na [a,b], to g

również- całkowalna na [a,b] i

∫

a b

g ( x )dx =

∫

a b

f ( x ) dx

Twierdzenie 9.4( własności całki oznaczonej)

Z: f - całkowalna na [a,b] , c(a,b)

T:

Twierdzenie 9.5 (własności całki oznaczonej c.d.)

Z: f,g - całkowalne na [a,b]

T:

1. – całkowalna na [a,b]

 ^{( ) ( )}  ^{( ) ( )}

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

      

  

2. f∙g - całkowalne na [a,b] – brak wzoru

3. | f | - całkowalna na [a,b] i ¿

∫

a b

f ( x ) dx∨≤

∫

a b

¿f ( x)∨dx

4. f  0 na [a,b], to

( ) 0

b

a

f x dx 



5. f  g na [a,b], to

( ) ( )

b b

a a

f x dx  g x dx

 

1-3 bez dowodu Dowód na pkt. 4

f  0 na [a,b], to

1 1

0 0 0

( ) 0 lim ( ) 0

n n

k k n k k

k k

f x f x



 

 

  

    

 



( ) 0

b

a

f x dx 



Dowód na pkt.5

( ) 0

f   g g  f 



[ ( ) ( )] 0

b

a

g x  f x dx 





( ) ( ) 0

b b

a a

g x dx  f x dx   tezie

 

Twierdzenie 9.6(I twierdzenie o wartości średniej)

Z: f- całkowalna na [a,b]

T:

1

0 0

lim ( )

b n

n n a k

mdx m x m b a





 

    



Na podstawie pkt 5 tw. 9.5

( )

k

m

m





 

m  f(x)  M na [a,b]

to

( )

b b b

a a a

mdx  f x dx  Mdx

  

^

( ) ( ) ( )

b

a

m b a    f x dx M b a  

Wartość średnia

Z: fC[a,b] f - jest ciągła w przedziale domkniętym i ograniczonym [a,b]

T:

[ , ]

1 ( ) ( )

b c a b

a

f x dx f c



b a

 

 

Dowód:

fC[a,b] f - osiąga swoje kresy sens geometryczny

^

Zauważmy:



Definicja 9.5 (funkcja górnej granicy całkowania) f - całkowalna na [a,b]

[ , ] x a b

 ^{( ) :}

^{( )}

a

x f t dt

  

Twierdzenie 9.7 (Własności funkcji górnej granicy całkowania)

1) f -całkowalna na [a,b] =>



2) f –ciągła na [a,b] =>



( , )

'( ) ( )

x a b_

x f x

  

Twierdzenie 9.8 (Newtona-Leibniza)

Z:

f  C

f –ciągła; przedział domknięty i ograniczony F-pierwotna do f na [a,b]

T:

( ) ( ) ( )

b

a

f x dx F b   F a



Dowód:

Z tw.9.7 =>



=>

 

 ( ) x  f x ( )  C

( ) ( ) 0

( ) ( )

b

a b

a

a f x dx b f x dx

  

 





( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )

b

a

f x dx  b   a F b  C F a C  F b F a



Przykład 9.3

3 (*)

2

2

1

dx x





 



zał: x_{1 i x}_-1

-3 -2 -1 1

Funkcja spełnia założenia Newtona-Leibniza, będziemy więc szukali funkcji pierwotnej Obliczenia pomocnicze:

1 1

( 1)( 1) 2 1 2 1

1 1 1 1

ln 1 ln 1 ln

2 2 2 1

dx dx dx

x x x x

x x C x C

x

  

   

       



  

1

( 1)( 1) 1 1

1 2

1 2

A B

x x x x

A B

 

   



 