ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE MATEMATYCZNE VII (1962)
S. Zu brzyck i
(Wrocław)
Zadanie o jednoczesnym trw aniu kilku zjawisk
Przypuśćmy, że n zjawisk zaczyna się niezależnie jedno od drugiego w chwilach wylosowanych z jednostajnym rozkładem prawdopodobień
stwa z odcinka czasu 0 < ł < T i że każde z nich trwa t0 jednostek czasu {to < T). Niech P n oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że te zjawiska będą miały wspólny okres trwania. Oleszkiewicz
[1] udowodnił przy pomocy rozważań geometrycznych wzór
„ STf0- 2 t l
3 y3 >
uogólniający znany z przykładów podręcznikowych wzór na P 2, i napisał przez analogię wzór ogólny
(1 )
пТй qrri
pytając, czy jest on prawdziwy. Jest tak istotnie, co pokażemy przy po
mocy rozważań, których elementy występują jako zadania w niektórych podręcznikach (por. [2], str. 163, zadanie 11).
Bez szkody dla ogólności rozważań możemy przyjąć, że T = 1.
Chwile T j , . . . , ^ , w których rozpoczynają się rozpatrywane przez nas zjawiska, są wówczas niezależnymi zmiennymi losowymi o jednostajnym rozkładzie prawdopodobieństwa w przedziale 0 < ł < 1. Niech i oznacza najwcześniejszą, a r\ najpóźniejszą z nich, czyli niech
£ = m in(ti, ..., rn), tf = m ax(rŁ, ... , t n).
Zauważmy, że na to, aby rozpatrywane zjawiska miały pewien wspólny okres trwania, potrzeba i wystarcza, aby rozstęp £ = у — £ spełniał nie
równość £ < tQ. Chodzi więc o wyznaczenie prawdopodobieństwa P{£ < t0}.
Przystępujemy do jego obliczenia. Zaczniemy od obliczenia dy- strybuanty pary zmiennych losowych £ i rj, czyli prawdopodobieństwa P{£ < x, 7] < y}. Dla 0 < x < у < 1 mamy
У) = P{£ < x , y < y} = P{y < y } P{ i < x \ y < y}j
(2)
8 S. Z u b r z y c k i
tutaj ostatnie wyrażenie oznacza prawdopodobieństwo warunkowe speł
nienia nierówności £ < x pod warunkiem у < y. Nierówność у < у jest równoważna z jednoczesnym spełnieniem wszystkich n nierówności Ti < У
j• • • > rn < У- Stąd wobec niezależności zmiennych losowych r x, .. ., xn i tego, że mają one jednostajny rozkład prawdopodobieństwa w przedziale 0 < t < 1, możemy napisać
(3) Р { п < У ) = [Р{тх < у } Г = y \
Warunkowy rozkład prawdopodobieństwa zmiennych losowych
txj..., rn, po nałożeniu na nie warunku у < y, będzie taki, że ich niezależność nie zostanie naruszona, a każda z nich będzie miała przy tym warunku jed
nostajny rozkład prawdopodobieństwa w odcinku 0 < t < y. Wobec tego możemy napisać
(4) P {£ < x\ y < y} = 1 — P{ x < i \ y < y] =
Podstawiając (3) i (4) do (2) otrzymujemy
(
5) у)
Stąd przez różniczkowanie znajdujemy gęstość prawdopodobieństwa dla pary zmiennych losowych £ i ??; wyraża się ona wzorem
(
6) U A 00’
у) =
n( n—l )( y — x)n 2 dla 0 < x < у < 1,
0 poza tym.
Teraz możemy już obliczyć gęstość prawdopodobieństwa fę(u) dla roz
stępu £. Wyraża się ona wzorem
oo
/{(«) = / Д „(я, »+«)<&•
W interesującym nas przedziale 0 < u < 1 otrzymujemy wobec (6), że
1 — U
fę(u) — J n ( n —l) (x- \- u — x)n~2dx — n ( n —l ) { u n~2 — un~1).
o
Ostatecznie
*0
Pn = < Q =
J
f c(u)du = o*0
= J n ( n —l ) ( u n~2—un~1)du = w < o - 1 — ( % — l ) < o >
o
co jest równoważne z wzorem (1).
Zadanie o jednoczesnym trwaniu Miku zjawisk 0
Prace cytowane
[1] M. O leszkie wicz, Prawdopodobieństwo jednoczesnego trwania zjawisk po
wstających niezależnie od siebie w pewnym okresie czasu, Prace Matematyczne 4 (I960), str. 1 - 7.
[2] Б. В. Гнеденко, Курс теории вероятностей, wydanie drugie, Moskwa 1954.
G. Зубжицки (Вроцлав)
ЗАДАЧА ОБ ОДНОВРЕМЕННОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ НЕСКОЛЬКИХ ЯВЛЕНИЙ
РЕЗЮМЕ
Рассматриваем п йзлений, которые начинаются независимо друг от друга в моменты времени, выбранные случайно из промежутка времени 0 < t < Т, и продолжаются Ц единиц времени, t0 < Т. Пусть Рп обозначает вероятность того, что эти п явлений будут иметь (хотя бы очень короткий) совместный период продолжительности. Олешкевич [1] доказал геометрически формулу Рз =
= (3Tt^— 2t3)/T3 и выдвинул вопрос о том, верна ли общая формула Р п = { п Т % - '- { п - Щ ) 1 Т п .
Здесь доказана эта последная формула.
S. Zubrzycki (Wrocław)
A PROBLEM CONCERNING SIMULTANEOUS DURATION OF SEVERAL PHENOMENA
S UMMARY
We consider n phenomena which begin independently at moments chosen at random from a time-interval 0 < t < T and last during t0 time-units, t0 < T.
Let P n be the probability of the event of these phenomena, having a common, even very short, period of duration. Oleszkiewicz [1] has proved formula P 3 =
= (3Tt*— 2t3)/T3 by geometrical considerations and asked for the validity of the general formula
Pn = (nTt™-1— (n—l)t^ )/T v . In this note a proof of this formula is presented.
