4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe

(1)

4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościowe

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Matematyka finansowa

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)4. Strumienie płatności: okresowe wkłady oszczędnościoweMatematyka finansowa 1 / 33

(2)

1 Motywacja, oznaczenia, założenia

2 Podstawowy model złożony

3 Kapitalizacja mieszana

4 Polski model kapitalizacji

(3)

Wstęp

Dotychczas rozważaliśmy głównie inwestycje o pojedynczym nakładzie i pojedynczej wypłacie (ewentualnie z drobnymi

modyfikacjami). Teraz sprawę nieco skomplikujemy: zajmiemy się strumieniami płatności, czyli ciągami płatności, które występują w równych odstępach czasowych.

Motywacja jest bardzo naturalna - w ten sposób możemy np. co miesiąc odkładać jakąś część naszych dochodów np. na jakąś lokatę, by po jakimś czasie uzbierać na dany cel konsumpcyjny (samochód, mieszkanie itp.) albo inwestycyjny. Tego typu płatności wystąpią też w kolejnych rozdziałach, kiedy będziemy analizować wypłatę renty z kapitału lub też spłatę długu długoterminowego.

(4)

Wstęp

Dotychczas rozważaliśmy głównie inwestycje o pojedynczym nakładzie i pojedynczej wypłacie (ewentualnie z drobnymi

modyfikacjami). Teraz sprawę nieco skomplikujemy: zajmiemy się strumieniami płatności, czyli ciągami płatności, które występują w równych odstępach czasowych.

Motywacja jest bardzo naturalna - w ten sposób możemy np. co miesiąc odkładać jakąś część naszych dochodów np. na jakąś lokatę, by po jakimś czasie uzbierać na dany cel konsumpcyjny (samochód, mieszkanie itp.) albo inwestycyjny. Tego typu płatności wystąpią też w kolejnych rozdziałach, kiedy będziemy analizować wypłatę renty z kapitału lub też spłatę długu długoterminowego.

(5)

Podstawowe oznaczenia

W zadaniach związanych z wkładami okresowymi istotne będą następujące wielkości i oznaczenia:

Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS. Jak zwykle, zakładamy przy dalszych

wzorach, że OS = OK . Jeśli tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomocą stopy względnej.

Okres płatności OP jest to odstęp czasowy pomiędzy kolejnymi wpłatami. Jest to domyślna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba płatności.

Przez W_i oznaczamy wysokość i -tej płatności. Jeśli wszystkie płatności są równe, oznaczamy ich wysokość przez W . Przez S_i oznaczamy wartość zgromadzonego kapitału po zakończeniu i -tego okresu płatności. W szczególności K = SN

jest to wartość zgromadzonego kapitału na końcu całego procesu.

(6)

Podstawowe oznaczenia

(7)

Podstawowe oznaczenia

(8)

Podstawowe oznaczenia

Przez W_i oznaczamy wysokość i -tej płatności. Jeśli wszystkie płatności są równe, oznaczamy ich wysokość przez W .

Przez S_i oznaczamy wartość zgromadzonego kapitału po zakończeniu i -tego okresu płatności. W szczególności K = SN

(9)

Podstawowe oznaczenia

Przez W_i oznaczamy wysokość i -tej płatności. Jeśli wszystkie płatności są równe, oznaczamy ich wysokość przez W . Przez S_i oznaczamy wartość zgromadzonego kapitału po zakończeniu i -tego okresu płatności. W szczególności K = S_N jest to wartość zgromadzonego kapitału na końcu całego procesu.

(10)

Podstawowe oznaczenia

Doprecyzujmy ostatni punkt: S_i to wartość kapitału zawartego we wszystkich płatnościach do końca i -tego okresu płatności,

zaktualizowana na koniec i -tego okresu płatności. Jest równa ona sumie zaktualizowanych na ten moment wartości wszystkich rat wpłaconych do tego momentu.

(11)

Podstawowe oznaczenia

Doprecyzujmy ostatni punkt: S_i to wartość kapitału zawartego we wszystkich płatnościach do końca i -tego okresu płatności,

zaktualizowana na koniec i -tego okresu płatności. Jest równa ona sumie zaktualizowanych na ten moment wartości wszystkich rat wpłaconych do tego momentu.

(12)

Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu

By obliczyć wartość strumienia płatności konieczne są dodatkowe założenia dotyczące sposobu dokonywania okresowych wpłat. Mogą być one dokonywane:

z dołu, czyli na końcu każdego okresu płatności, czyli w momentach 1, 2, . . . , N − 1, N. Taką sytuację oznaczają podkreślenia danych zmiennych i oznaczeń np. S_k. Jest to domyślny sposób dokonywania płatności w strumieniu

finansowym tj. jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że płatności są z dołu.

z góry, czyli na początku każdego okresu płatności, czyli w momentach 0, 1, 2, . . . , N − 1. Taką sytuację oznaczają kreski nad danymi zmiennymi i oznaczeniami np. Sk.

(13)

Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu

(14)

Podstawowe założenia - z góry, czy z dołu

(15)

Podstawowe założenia - model kapitalizacji

W sytuacji, gdy mamy do czynienia z okresem płatności krótszym niż domyślny okres kapitalizacji, musimy wiedzieć coś o używanym modelu kapitalizacji w podokresach. Może on być:

złożony, czyli zakładamy, że możemy inwestować wkłady na okres dowolnie krótki (a przynajmniej na okres równy okresowi płatności) po efektywnej stopie zwrotu równoważnej stopie zadanej dla okresu kapitalizacji. Ze względu na dużą dostępność na współczesnym rynku różnych narzędzi inwestycyjnych o niemal dowolnych horyzontach czasowych, jest to domyślny sposób dokonywania kapitalizacji w okresach krótszych niż OK. Jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że kapitalizacji w podokresach dokonujemy w sposób złożony.

(16)

Podstawowe założenia - model kapitalizacji

złożony, czyli zakładamy, że możemy inwestować wkłady na okres dowolnie krótki (a przynajmniej na okres równy okresowi płatności) po efektywnej stopie zwrotu równoważnej stopie zadanej dla okresu kapitalizacji. Ze względu na dużą dostępność na współczesnym rynku różnych narzędzi inwestycyjnych o niemal dowolnych horyzontach czasowych, jest to domyślny sposób dokonywania kapitalizacji w okresach krótszych niż OK.

Jeśli w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakładamy, że kapitalizacji w podokresach dokonujemy w sposób złożony.

(17)

Podstawowe założenia - model kapitalizacji

mieszany, co oznacza, że nasze wkłady są oprocentowane za pomocą narzędzia działającego jak lokata o danym okresie kapitalizacji, którego nie jesteśmy w stanie skrócić. Dlatego, w momencie zakończenia płatności, niektóre z naszych inwestycji są pomiędzy okresami kapitalizacji i pobranie ich oznacza, że od ostatniego momentu kapitalizacji będą one oprocentowane według kapitalizacji prostej i innej nominalnej stopy procentowej, którą oznaczę ˜r .

polski, który jest wariantem modelu mieszanego, używanym w polskich bankach w latach 90-tych, w różnych podręcznikach i (o ile mi wiadomo) nigdzie indziej - dlatego podam go jedynie jako ciekawostkę pod koniec tego zestawu slajdów.

(18)

Podstawowe założenia - model kapitalizacji

(19)

Podstawowe założenia - model kapitalizacji

(20)

Założenia modelu złożonego

Na początku rozważmy najbardziej typową sytuację: wpłaty

dokonywane są okresowo co okres OP, z dołu, przy złożonym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (jeśli by tak nie było, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomocą stopy względnej).

W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r . By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r_ef, taką, że OS_ef = OK_ef = OP, wzorem:

r_ef = (1 + r )^m− 1,

gdzie m = _OK^OP. We wzorach będziemy częściej używać czynnika akumulacji q = 1 + r_ef, więc możemy zapisać:

q = (1 + r )^m.

(21)

Założenia modelu złożonego

W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmianę długości okresu kapitalizacji stopy r .

By móc to uczynić zmieniamy stopę r na stopę r_ef, taką, że OS_ef = OK_ef = OP, wzorem:

r_ef = (1 + r )^m− 1,

q = (1 + r )^m.

(22)

Założenia modelu złożonego

r_ef = (1 + r )^m− 1, gdzie m = _OK^OP.

We wzorach będziemy częściej używać czynnika akumulacji q = 1 + r_ef, więc możemy zapisać:

q = (1 + r )^m.

(23)

Założenia modelu złożonego

r_ef = (1 + r )^m− 1,

q = (1 + r )^m.

(24)

Wpłaty różnej wysokości

Jeśli założymy, że wysokości wpłat są dowolne (W₁, W₂, . . . , W_N), w momentach 1, 2, . . . , N, to na podstawie rozważań o równoważności kapitałów z części 3 wykładu otrzymamy:

S_k =

W₁q^k−1 + W₂q^k−2+ . . . + . . . W_k−1q + W_k.

W szczególności:

S_N = W₁q^N−1+ W₂q^N−2+ . . . + . . . W_N−1q + W_N.

Z tym wzorem nie za wiele więcej się da zrobić.

(25)

Wpłaty różnej wysokości

S_k = W₁q^k−1 +

W₂q^k−2+ . . . + . . . W_k−1q + W_k.

W szczególności:

S_N = W₁q^N−1+ W₂q^N−2+ . . . + . . . W_N−1q + W_N.

(26)

Wpłaty różnej wysokości

S_k = W₁q^k−1 + W₂q^k−2+ . . . + . . . W_k−1q + W_k.

W szczególności:

S_N = W₁q^N−1+ W₂q^N−2+ . . . + . . . W_N−1q + W_N.

(27)

Wpłaty różnej wysokości

S_k = W₁q^k−1 + W₂q^k−2+ . . . + . . . W_k−1q + W_k.

W szczególności:

S_N = W₁q^N−1+ W₂q^N−2+ . . . + . . . W_N−1q + W_N.

(28)

Wpłaty różnej wysokości

S_k = W₁q^k−1 + W₂q^k−2+ . . . + . . . W_k−1q + W_k.

W szczególności:

S_N = W₁q^N−1+ W₂q^N−2+ . . . + . . . W_N−1q + W_N.

(29)

Wpłaty równej wysokości z dołu

Najczęściej będziemy jednak zakładać, że wszystkie wpłaty są równe (W₁ = W₂ = . . . = W_N = W ). Wtedy mamy:

S_k = Wq^k−1+Wq^k−2+. . .+. . . Wq+W =

W (q^k−1+q^k−2+. . .+q+1) =

= Wq^k − 1 q − 1 .

Wkłady z dołu, model złożony

S_k = Wq^k − 1 q − 1

(30)

Wpłaty równej wysokości z dołu

S_k = Wq^k−1+Wq^k−2+. . .+. . . Wq+W = W (q^k−1+q^k−2+. . .+q+1) =

= Wq^k − 1 q − 1 .

Wkłady z dołu, model złożony

S_k = Wq^k − 1 q − 1

(31)

Wpłaty równej wysokości z dołu

= Wq^k − 1 q − 1 .

Wkłady z dołu, model złożony

S_k = Wq^k − 1 q − 1

(32)

Wpłaty równej wysokości z dołu

= Wq^k − 1 q − 1 .

Wkłady z dołu, model złożony

S_k = Wq^k − 1 q − 1

(33)

Wpłaty równej wysokości z góry

Analogicznie możemy rozważać wpłaty z góry, które odbywają się po prostu o jeden okres wcześniej:

S_k = Wq^k+Wq^k−1+. . .+. . . Wq²+Wq =

Wq(q^k−1+q^k−2+. . .+q+1) =

= Wqq^k − 1 q − 1.

Wkłady z góry, model złożony

S_k = Wqq^k− 1 q − 1

(34)

Wpłaty równej wysokości z góry

S_k = Wq^k+Wq^k−1+. . .+. . . Wq²+Wq = Wq(q^k−1+q^k−2+. . .+q+1) =

= Wqq^k − 1 q − 1.

Wkłady z góry, model złożony

S_k = Wqq^k− 1 q − 1

(35)

Wpłaty równej wysokości z góry

= Wqq^k − 1 q − 1.

Wkłady z góry, model złożony

S_k = Wqq^k− 1 q − 1

(36)

Wpłaty równej wysokości z góry

= Wqq^k − 1 q − 1.

Wkłady z góry, model złożony

S_k = Wqq^k− 1 q − 1

(37)

Oznaczenia czynników wartości przyszłej

W literaturze (szczególnie aktuarialnej) często pojawiają się tzw.

czynniki wartości przyszłej. Oznacza się je:

s_n|i_¯ = qⁿ− 1

q − 1; ¨s_n|i_¯ = qqⁿ− 1 q − 1.

Wtedy

Sn= Ws_n|i_¯ ; Sn= W ¨s_n|i_¯ . Te oznaczenia nie obowiązują na kursie.

(38)

Oznaczenia czynników wartości przyszłej

W literaturze (szczególnie aktuarialnej) często pojawiają się tzw.

czynniki wartości przyszłej. Oznacza się je:

s_n|i_¯ = qⁿ− 1

q − 1; ¨s_n|i_¯ = qqⁿ− 1 q − 1. Wtedy

Sn= Ws_n|i_¯ ; Sn= W ¨s_n|i_¯ . Te oznaczenia nie obowiązują na kursie.

(39)

Przykład

Zadanie

Przy nominalnej stopie procentowej rocznej 12% i kapitalizacji

miesięcznej Żwirek wpłacał na swój fundusz oszczędnościowy kwotę x na końcu każdego kwartału, a Muchomorek kwotę y na początku każdego półrocza. Po 8 latach takiego oszczędzania każdy z nich uzbierał 10000 jp. Ile wynosiły wartości x i y ?

Najpierw rozważymy sytuację Żwirka.

Po pierwsze OK 6= OS , więc musimy zastosować stopę względną ¯r = ^0,12₁₂ = 0, 01. Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. Zatem

q = (1 + ¯r )³ = 1, 0303. Wreszcie 8 lat to 32 kwartały, więc będziemy mieć do czynienia z N = 32 okresami płatności. Jako, że Żwirek wpłaca pieniądze na końcu kwartału, używamy wzoru na S₃₂.

(40)

Przykład

Zadanie

Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK 6= OS , więc musimy zastosować stopę względną ¯r =

0,12

12 = 0, 01. Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. Zatem

(41)

Przykład

Zadanie

Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK 6= OS , więc musimy zastosować stopę względną ¯r = ^0,12₁₂ = 0, 01.

Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. Zatem

(42)

Przykład

Zadanie

Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK 6= OS , więc musimy zastosować stopę względną ¯r = ^0,12₁₂ = 0, 01. Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału.

Zatem

(43)

Przykład

Zadanie

Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK 6= OS , więc musimy zastosować stopę względną ¯r = ^0,12₁₂ = 0, 01. Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. Zatem q =

(1 + ¯r )³ = 1, 0303. Wreszcie 8 lat to 32 kwartały, więc będziemy mieć do czynienia z N = 32 okresami płatności. Jako, że Żwirek wpłaca pieniądze na końcu kwartału, używamy wzoru na S₃₂.

(44)

Przykład

Zadanie

Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK 6= OS , więc musimy zastosować stopę względną ¯r = ^0,12₁₂ = 0, 01. Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. Zatem q = (1 + ¯r )³ = 1, 0303.

Wreszcie 8 lat to 32 kwartały, więc będziemy mieć do czynienia z N = 32 okresami płatności. Jako, że Żwirek wpłaca pieniądze na końcu kwartału, używamy wzoru na S₃₂.

(45)

Przykład

Zadanie

Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK 6= OS , więc musimy zastosować stopę względną ¯r = ^0,12₁₂ = 0, 01. Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. Zatem

q = (1 + ¯r )³ = 1, 0303. Wreszcie 8 lat to 32 kwartały, więc będziemy mieć do czynienia z N = 32 okresami płatności.

Jako, że Żwirek wpłaca pieniądze na końcu kwartału, używamy wzoru na S₃₂.

(46)

Przykład

Zadanie

Najpierw rozważymy sytuację Żwirka. Po pierwsze OK 6= OS , więc musimy zastosować stopę względną ¯r = ^0,12₁₂ = 0, 01. Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do kwartału. Zatem

(47)

Przykład

Zadanie

q = 1, 0303, N = 32

10000 = S₃₂=

xq³²− 1

q − 1 ⇔ x = 189, 4706.

(48)

Przykład

Zadanie

q = 1, 0303, N = 32

10000 = S₃₂= xq³²− 1 q − 1

⇔ x = 189, 4706.

(49)

Przykład

Zadanie

q = 1, 0303, N = 32

10000 = S₃₂= xq³²− 1

q − 1 ⇔ x = 189, 4706.

(50)

Przykład

Zadanie

Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną ¯r =

0,12

12 = 0, 01. Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. Zatem q = (1 + ¯r )⁶ = 1, 0615. Wreszcie 8 lat to 16 półroczy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 16 okresami płatności. Jako, że Muchomorek wpłaca pieniądze na początku półrocza, używamy wzoru na S₁₆.

(51)

Przykład

Zadanie

Dla Muchomorka stosujemy tę samą stopę względną ¯r = ^0,12₁₂ = 0, 01.

Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. Zatem q = (1 + ¯r )⁶ = 1, 0615. Wreszcie 8 lat to 16 półroczy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 16 okresami płatności. Jako, że Muchomorek wpłaca pieniądze na początku półrocza, używamy wzoru na S₁₆.

(52)

Przykład

Zadanie

Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza.

Zatem q = (1 + ¯r )⁶ = 1, 0615. Wreszcie 8 lat to 16 półroczy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 16 okresami płatności. Jako, że Muchomorek wpłaca pieniądze na początku półrocza, używamy wzoru na S₁₆.

(53)

Przykład

Zadanie

Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. Zatem q =

(1 + ¯r )⁶ = 1, 0615. Wreszcie 8 lat to 16 półroczy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 16 okresami płatności. Jako, że Muchomorek wpłaca pieniądze na początku półrocza, używamy wzoru na S₁₆.

(54)

Przykład

Zadanie

Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. Zatem q = (1 + ¯r )⁶ = 1, 0615.

Wreszcie 8 lat to 16 półroczy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 16 okresami płatności. Jako, że Muchomorek wpłaca pieniądze na początku półrocza, używamy wzoru na S₁₆.

(55)

Przykład

Zadanie

Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. Zatem q = (1 + ¯r )⁶ = 1, 0615. Wreszcie 8 lat to 16 półroczy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 16 okresami płatności.

Jako, że Muchomorek wpłaca pieniądze na początku półrocza, używamy wzoru na S₁₆.

(56)

Przykład

Zadanie

Następnie musimy dopasować OK do OP, czyli do półrocza. Zatem q = (1 + ¯r )⁶ = 1, 0615. Wreszcie 8 lat to 16 półroczy, więc będziemy mieć do czynienia z N = 16 okresami płatności. Jako, że Muchomorek wpłaca pieniądze na początku półrocza, używamy wzoru na S₁₆.

(57)

Przykład

Zadanie

q = 1, 0615, N = 16 10000 = S16=

yqq¹⁶− 1

q − 1 ⇔ y = 362, 4490.

Odp: Żwirek musi wpłacać 189,4706 jp, a Muchomorek 362,4490 jp.

(58)

Przykład

Zadanie

q = 1, 0615, N = 16

10000 = S16= yqq¹⁶− 1 q − 1

⇔ y = 362, 4490.

(59)

Przykład

Zadanie

q = 1, 0615, N = 16

10000 = S16= yqq¹⁶− 1

q − 1 ⇔ y = 362, 4490.

(60)

Wartość aktualna strumienia płatności

Czasami w podręcznikach pojawia się wartość aktualna strumienia płatności, czyli po prostu jego PV = NPV (ref) - suma płatności zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy założeniu, że wszystkie płatności są ze znakiem dodatnim).

Może to być przydatne np. przy porównywaniu ofert sprzedaży towarów w ratach do ich aktualnych, jednorazowych cen. Oczywiście, jeśli założymy, że te wszystkie płatności są z dodatnim znakiem, to

PV = S_Nq^−N .

Stąd wynikają 2 wzory (niekoniecznie trzeba je znać) - dla kapitalizacji z dołu PV = W^1−q_q−1^−N, dla kapitalizacji z góry PV = Wq^1−q_q−1^−N.

(61)

Wartość aktualna strumienia płatności

Czasami w podręcznikach pojawia się wartość aktualna strumienia płatności, czyli po prostu jego PV = NPV (ref) - suma płatności zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy założeniu, że wszystkie płatności są ze znakiem dodatnim). Może to być przydatne np. przy porównywaniu ofert sprzedaży towarów w ratach do ich aktualnych, jednorazowych cen.

Oczywiście, jeśli założymy, że te wszystkie płatności są z dodatnim znakiem, to

PV = S_Nq^−N .

(62)

Wartość aktualna strumienia płatności

Czasami w podręcznikach pojawia się wartość aktualna strumienia płatności, czyli po prostu jego PV = NPV (ref) - suma płatności zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy założeniu, że wszystkie płatności są ze znakiem dodatnim). Może to być przydatne np. przy porównywaniu ofert sprzedaży towarów w ratach do ich aktualnych, jednorazowych cen. Oczywiście, jeśli założymy, że te wszystkie płatności są z dodatnim znakiem, to

PV =

S_Nq^−N .

(63)

Wartość aktualna strumienia płatności

PV = S_Nq^−N .

Stąd wynikają 2 wzory (niekoniecznie trzeba je znać) - dla kapitalizacji z dołu

PV = W^1−q_q−1^−N, dla kapitalizacji z góry PV = Wq^1−q_q−1^−N.

(64)

Wartość aktualna strumienia płatności

PV = S_Nq^−N .

Stąd wynikają 2 wzory (niekoniecznie trzeba je znać) - dla kapitalizacji z dołu PV = W^1−q_q−1^−N, dla kapitalizacji z góry

PV = Wq^1−q_q−1^−N.

(65)

Wartość aktualna strumienia płatności

PV = S_Nq^−N .

(66)

Czynniki wartości teraźniejszej

Oczywiście różnym autorom brakuje ciekawych symboli, więc tzw.

czynniki wartości teraźniejszej też mają swoje oznaczenia:

a_n|i_¯ = 1 − q⁻ⁿ

q − 1 ; ¨a_n|i_¯ = q1 − q⁻ⁿ q − 1 .

Wtedy

PV = Wa_n|i_¯ ; PV = W ¨a_n|i_¯ .

odpowiednio w wypadku kapitalizacji z dołu i z góry. Te oznaczenia nie obowiązują na kursie.

(67)

Czynniki wartości teraźniejszej

Oczywiście różnym autorom brakuje ciekawych symboli, więc tzw.

czynniki wartości teraźniejszej też mają swoje oznaczenia:

a_n|i_¯ = 1 − q⁻ⁿ

q − 1 ; ¨a_n|i_¯ = q1 − q⁻ⁿ q − 1 . Wtedy

PV = Wa_n|i_¯ ; PV = W ¨a_n|i_¯ .

odpowiednio w wypadku kapitalizacji z dołu i z góry. Te oznaczenia nie obowiązują na kursie.

(68)

Przykład

Zadanie

Klient może kupić meble w 12 ratach miesięcznych z dołu po 90 jp.

Jaka jest aktualna cena mebli jeśli obowiązuje kapitalizacja miesięczna z roczną stopą procentową 15%?

Oczywiście, q = 1, 0125 po uzgodnieniu stopy. Obliczamy: S₁₂= 901, 0125¹²− 1

0, 0125 = 1157, 4325.

Ten wynik to wartość całego strumienia płatności w momencie za rok (po 12 miesiącach). Zatem:

PV = 1157, 4325 · (1, 0125)⁻¹² = 997, 1381.

(69)

Przykład

Zadanie

Oczywiście, q =

1, 0125 po uzgodnieniu stopy. Obliczamy: S₁₂= 901, 0125¹²− 1

0, 0125 = 1157, 4325.

PV = 1157, 4325 · (1, 0125)⁻¹² = 997, 1381.

(70)

Przykład

Zadanie

Oczywiście, q = 1, 0125 po uzgodnieniu stopy. Obliczamy:

S₁₂=

901, 0125¹²− 1

0, 0125 = 1157, 4325.

PV = 1157, 4325 · (1, 0125)⁻¹² = 997, 1381.

(71)

Przykład

Zadanie

S₁₂= 901, 0125¹²− 1

0, 0125 = 1157, 4325.

PV = 1157, 4325 · (1, 0125)⁻¹² = 997, 1381.

(72)

Przykład

Zadanie

S₁₂= 901, 0125¹²− 1

0, 0125 = 1157, 4325.

PV =

1157, 4325 · (1, 0125)⁻¹² = 997, 1381.

(73)

Przykład

Zadanie

S₁₂= 901, 0125¹²− 1

0, 0125 = 1157, 4325.

PV = 1157, 4325 · (1, 0125)⁻¹² = 997, 1381.

(74)

Kapitalizacja mieszana - motywacja

Rozważmy następującą sytuację - osoba oszczędzająca za pomocą okresowych wkładów ma do dyspozycji tylko jedno narzędzie inwestycyjne o zadanym okresie kapitalizacji np. lokatę. Nigdy nie zdecyduje się na żaden inny model inwestycji, więc nie możemy zakładać (jak w modelu złożonym), że każda wpłata będzie kapitalizować się w ten sam sposób.

W szczególności, jeśli OK > OP, to w dowolnym momencie część z wkładów będzie pomiędzy swoimi kapitalizacjami - więc część ich kapitalizacji będzie oparta na

kapitalizacji prostej.

Oczywiście, jeśli OK jest całkowitą wielokrotnością OP, to model kapitalizacji mieszanej będzie dawać te same rezultaty co model kapitalizacji złożonej (bo nie interesuje nas wtedy sposób naliczania odsetek dla małych okresów).

(75)

Kapitalizacja mieszana - motywacja

Rozważmy następującą sytuację - osoba oszczędzająca za pomocą okresowych wkładów ma do dyspozycji tylko jedno narzędzie inwestycyjne o zadanym okresie kapitalizacji np. lokatę. Nigdy nie zdecyduje się na żaden inny model inwestycji, więc nie możemy zakładać (jak w modelu złożonym), że każda wpłata będzie

kapitalizować się w ten sam sposób. W szczególności, jeśli OK > OP, to w dowolnym momencie część z wkładów będzie pomiędzy swoimi kapitalizacjami - więc część ich kapitalizacji będzie oparta na

(76)

Kapitalizacja mieszana - motywacja

Rozważmy następującą sytuację - osoba oszczędzająca za pomocą okresowych wkładów ma do dyspozycji tylko jedno narzędzie inwestycyjne o zadanym okresie kapitalizacji np. lokatę. Nigdy nie zdecyduje się na żaden inny model inwestycji, więc nie możemy zakładać (jak w modelu złożonym), że każda wpłata będzie

kapitalizować się w ten sam sposób. W szczególności, jeśli OK > OP, to w dowolnym momencie część z wkładów będzie pomiędzy swoimi kapitalizacjami - więc część ich kapitalizacji będzie oparta na

(77)

Kapitalizacja mieszana - oznaczenia

Załóżmy, że OK dzieli się na m okresów płatności (m = ^OK_OP), a wpłaty (na razie) są dokonywane z dołu. Załóżmy, że r jest stopą kapitalizacji naszego narzędzia inwestycyjnego (OS = OK ),

q = 1 + r , zaś ˜r jest stopą procentową o tym samym okresie wedle której generowane są odsetki z kapitalizacją prostą od momentu ostatniej kapitalizacji, jeśli lokata jest zerwana pomiędzy

kapitalizacjami.

Załóżmy, że chcemy obliczyć wartość tego strumienia po Nm okresach płatności, czyli po N okresach kapitalizacji (w innych sytuacjach rozumowanie jest podobne, tylko wzór bardziej skomplikowany). Wtedy możemy traktować nasz strumień płatności jako sumę m „podstrumieni” o N płatnościach i okresie płatności równym okresowi kapitalizacji: np. pierwszy z tych „podstrumieni” składa się z wpłat o numerach postaci nm + 1 (czyli wpłacanych o 1 okres płatności po każdym pełnym okresie kapitalizacji), drugi z wpłat o numerach nm + 2 itd.