Matematyka nansowa - 4. Strumienie pªatno±ci: wkªady terminowe (i ogólna teoria strumieni)
I. Wst¦pne ogólne de nicje
Dotychczas rozwa»ali±my gªównie inwestycje o pojedynczym nakªadzie i pojedynczej wy- pªacie (ewentualnie z drobnymi mody kacjami). Teraz spraw¦ nieco skomplikujemy: zaj- miemy si¦ strumieniami pªatno±ci, czyli ci¡gami pªatno±ci, które wyst¦puj¡ w równych odst¦pach czasowych.
Motywacja jest bardzo naturalna - w ten sposób mo»emy np. co miesi¡c odkªada¢ jak¡±
cz¦±¢ naszych dochodów np. na jak¡± lokat¦, by po jakim± czasie uzbiera¢ na dany cel konsumpcyjny (samochód, mieszkanie itp.) albo inwestycyjny. Tego typu pªatno±ci wyst¡pi¡ te» w kolejnych rozdziaªach, kiedy b¦dziemy analizowa¢ wypªat¦ renty z kapitaªu lub te» spªat¦ dªugu dªugoterminowego.
W zadaniach zwi¡zanych z wkªadami okresowymi istotne b¦d¡ nast¦puj¡ce wielko±ci i oznaczenia:
• Stopa procentowa r z podanym okresem kapitalizacji OK i okresem stopy OS.
Jak zwykle, zakªadamy przy dalszych wzorach, »e OS = OK. Je±li tak nie jest, zaczynamy zadanie od uzgodnienia stopy za pomoc¡ stopy wzgl¦dnej.
• Okres pªatno±ci OP jest to odst¦p czasowy pomi¦dzy kolejnymi wpªatami. Jest to domy±lna jednostka czasu w takim zadaniu (przyjmujemy OP = 1). N - liczba pªatno±ci.
• Przez Wi oznaczamy wysoko±¢ i-tej pªatno±ci. Je±li wszystkie pªatno±ci s¡ równe, oznaczamy ich wysoko±¢ przez W .
• Przez Sioznaczamy warto±¢ zgromadzonego kapitaªu po zako«czeniu i-tego okresu pªatno±ci. W szczególno±ci K = SN jest to warto±¢ zgromadzonego kapitaªu na ko«cu caªego procesu. Dokªadniej, Sito warto±¢ kapitaªu zawartego we wszystkich pªatno±ciach do ko«ca i-tego okresu pªatno±ci, zaktualizowana na koniec i-tego okresu pªatno±ci. Jest równa ona sumie zaktualizowanych na ten moment warto±ci wszystkich rat wpªaconych do tego momentu.
By obliczy¢ warto±¢ strumienia pªatno±ci konieczne s¡ dodatkowe zaªo»enia dotycz¡ce sposobu dokonywania okresowych wpªat. Mog¡ by¢ one dokonywane:
• z doªu, czyli na ko«cu ka»dego okresu pªatno±ci, czyli w momentach 1, 2, . . . , N − 1, N. Tak¡ sytuacj¦ oznaczaj¡ podkre±lenia danych zmiennych i oznacze« np. Sk. Jest to domy±lny sposób dokonywania pªatno±ci w strumieniu
nansowym tj. je±li w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakªadamy, »e pªatno±ci s¡ z doªu.
• z góry, czyli na pocz¡tku ka»dego okresu pªatno±ci, czyli w momentach 0, 1, 2, . . . , N − 1. Tak¡ sytuacj¦ oznaczaj¡ kreski nad danymi zmiennymi i ozna- czeniami np. Sk.
W sytuacji, gdy mamy do czynienia z okresem pªatno±ci krótszym ni» domy±lny okres kapitalizacji, musimy wiedzie¢ co± o u»ywanym modelu kapitalizacji w podokresach. Mo»e on by¢:
• zªo»ony, czyli zakªadamy, »e mo»emy inwestowa¢ wkªady na okres dowolnie krótki (a przynajmniej na okres równy okresowi pªatno±ci) po efektywnej stopie zwrotu równowa»nej stopie zadanej dla okresu kapitalizacji. Ze wzgl¦du na du»¡
dost¦pno±¢ na wspóªczesnym rynku ró»nych narz¦dzi inwestycyjnych o niemal dowolnych horyzontach czasowych, jest to domy±lny sposób dokonywania kapita- lizacji w okresach krótszych ni» OK. Je±li w zadaniu nie jest nic innego napisane, to zakªadamy, »e kapitalizacji w podokresach dokonujemy w sposób zªo»ony.
• mieszany, co oznacza, »e nasze wkªady s¡ oprocentowane za pomoc¡ narz¦dzia dziaªaj¡cego jak lokata o danym okresie kapitalizacji, którego nie jeste±my w sta- nie skróci¢. Dlatego, w momencie zako«czenia pªatno±ci, niektóre z naszych inwe- stycji s¡ pomi¦dzy okresami kapitalizacji i pobranie ich oznacza, »e od ostatniego
1
2
momentu kapitalizacji b¦d¡ one oprocentowane wedªug kapitalizacji prostej i innej nominalnej stopy procentowej, któr¡ oznacz¦ ˜r.
• polski, który jest wariantem modelu mieszanego, u»ywanym w polskich bankach w latach 90-tych, w ró»nych podr¦cznikach i (o ile mi wiadomo) nigdzie indziej - dlatego podaj¦ go jedynie jako ciekawostk¦ w slajdach, a w notatkach w ogóle go nie b¦dzie.
Zaªo»enia modelu zªo»onego:
Na pocz¡tku rozwa»my najbardziej typow¡ sytuacj¦: wpªaty dokonywane s¡ okresowo co okres OP, z doªu, przy zªo»onym modelu kapitalizacji w podokresach, stopie procentowej r o OK = OS (je±li by tak nie byªo, zadanie zaczniemy od uzgodnienia okresu stopy za pomoc¡ stopy wzgl¦dnej).
W tym modelu, pierwszym krokiem jest uzgodnienie OK i OP przez zmian¦ dªugo±ci okresu kapitalizacji stopy r. By móc to uczyni¢ zmieniamy stop¦ r na stop¦ ref, tak¡, »e OSef = OKef = OP, wzorem:
ref = (1 + r)m− 1,
gdzie m = OKOP. We wzorach b¦dziemy cz¦±ciej u»ywa¢ czynnika akumulacji q = 1 + ref, wi¦c mo»emy zapisa¢:
q = (1 + r)m.
Je±li zaªo»ymy, »e wysoko±ci wpªat s¡ dowolne (W1, W2, . . . , WN), w momentach 1, 2, . . . , N, to na podstawie rozwa»a« o równowa»no±ci kapitaªów z cz¦±ci 3 wykªadu otrzymamy:
Sk = W1qk−1+ W2qk−2+ . . . + . . . Wk−1q + Wk. W szczególno±ci:
SN = W1qN −1+ W2qN −2+ . . . + . . . WN −1q + WN. Z tym wzorem nie za wiele wi¦cej si¦ da zrobi¢.
II. Wkªady równej wysoko±ci - najwa»niejsze wzory
Najcz¦±ciej b¦dziemy jednak zakªada¢, »e wszystkie wpªaty s¡ równe (W1 = W2 = . . . = WN = W). Wtedy mamy:
Twierdzenie 1 (Wkªady z doªu, model zªo»ony).
Sk = Wqk− 1 q − 1 Twierdzenie 2 (Wkªady z góry, model zªo»ony).
Sk = W qqk− 1 q − 1
Czasami w podr¦cznikach pojawia si¦ warto±¢ aktualna strumienia pªatno±ci, czyli po prostu jego P V = NP V (ref) - suma pªatno±ci zaktualizowana na moment 0, a nie na moment N (przy zaªo»eniu, »e wszystkie pªatno±ci s¡ ze znakiem dodatnim). Mo»e to by¢
przydatne np. przy porównywaniu ofert sprzeda»y towarów w ratach do ich aktualnych, jednorazowych cen. Oczywi±cie, je±li zaªo»ymy, »e te wszystkie pªatno±ci s¡ z dodatnim znakiem, to
P V = SNq−N
.St¡d wynikaj¡ 2 wzory (niekoniecznie trzeba je zna¢) - dla kapitalizacji z doªu P V = W1−qq−1−N, dla kapitalizacji z góry P V = W q1−qq−1−N.
III. Wkªady równej wysoko±ci - kapitalizacja mieszana
3
Rozwa»my nast¦puj¡c¡ sytuacj¦ - osoba oszcz¦dzaj¡ca za pomoc¡ okresowych wkªadów ma do dyspozycji tylko jedno narz¦dzie inwestycyjne o zadanym okresie kapitalizacji np. lokat¦. Nigdy nie zdecyduje si¦ na »aden inny model inwestycji, wi¦c nie mo»emy zakªada¢ (jak w modelu zªo»onym), »e ka»da wpªata b¦dzie kapitalizowa¢ si¦ w ten sam sposób. W szczególno±ci, je±li OK > OP , to w dowolnym momencie cz¦±¢ z wkªadów b¦dzie pomi¦dzy swoimi kapitalizacjami - wi¦c cz¦±¢ ich kapitalizacji b¦dzie oparta na kapitalizacji prostej.
Oczywi±cie, je±li OK jest caªkowit¡ wielokrotno±ci¡ OP , to model kapitalizacji mieszanej b¦dzie dawa¢ te same rezultaty co model kapitalizacji zªo»onej (bo nie interesuje nas wtedy sposób naliczania odsetek dla maªych okresów).
Zaªó»my, »e OK dzieli si¦ na m okresów pªatno±ci (m = OKOP), a wpªaty (na razie) s¡
dokonywane z doªu. Zaªó»my, »e r jest stop¡ kapitalizacji naszego narz¦dzia inwestycyj- nego (OS = OK), q = 1 + r, za± ˜r jest stop¡ procentow¡ o tym samym okresie wedle której generowane s¡ odsetki z kapitalizacj¡ prost¡ od momentu ostatniej kapitalizacji, je±li lokata jest zerwana pomi¦dzy kapitalizacjami. Zaªó»my, »e chcemy obliczy¢ warto±¢
tego strumienia po Nm okresach pªatno±ci, czyli po N okresach kapitalizacji (w innych sytuacjach rozumowanie jest podobne, tylko wzór bardziej skomplikowany). Wtedy mo-
»emy traktowa¢ nasz strumie« pªatno±ci jako sum¦ m podstrumieni o N pªatno±ciach i okresie pªatno±ci równym okresowi kapitalizacji: np. pierwszy z tych podstrumieni
skªada si¦ z wpªat o numerach postaci nm + 1 (czyli wpªacanych o 1 okres pªatno±ci po ka»dym peªnym okresie kapitalizacji), drugi z wpªat o numerach nm + 2 itd.
Warto±¢ m-tego z tych podstrumieni mo»na przeliczy¢ wedªug zwykªego (zªo»onego) mo- delu na sum¦ strumienia wpªat z doªu, o N pªatno±ciach, kapitalizowanego ze stop¡ r (bo jego okresy pªatno±ci pokrywaj¡ si¦ z okresami kapitalizacji). Pozostaªe liczymy z tego samego wzoru, a» do ostatniej wpªaty. Wtedy ko«czy si¦ dla takiego strumienia czas kapitalizacji wedªug modelu zªo»onego, a do ko«ca okresu oszcz¦dzania tak uzbie- rany kapitaª oprocentowany jest wedªug modelu prostego (bo nie doczekamy si¦ kolejnej kapitalizacji), ze stop¡ wzgl¦dn¡ mr˜. Ostatecznie:
Twierdzenie 3 (Wkªady z doªu, model mieszany).
SmN = WqN − 1
q − 1 (m + ˜rm − 1 2 ).
Analogicznie, dla wkªadów z góry:
Twierdzenie 4 (Wkªady z góry, model mieszany).
SmN = WqN − 1
q − 1 (r + m + ˜rm − 1 2 ).
Analizuj¡c w ten sposób, mogliby±my obliczy¢ warto±¢ strumienia wpªat w dowolnym momencie czasowym wedªug modelu mieszanego. Wzory jednak byªyby odrobin¦ bardziej skomplikowane. Nie b¦dziemy tego robi¢, bo i tak prawie zawsze b¦dziemy u»ywa¢ modelu zªo»onego.
Oczywi±cie, zazwyczaj ˜r << r (jako kara za przedterminowe zerwanie lokaty), wi¦c model zªo»ony daje lepsze rezultaty ni» model mieszany - co jest logiczne, gdy» model mieszany ogranicza wpªacaj¡cego bardziej ni» model zªo»ony (do inwestycji tylko jednego typu).
