12. Zastosowania rachunku różniczkowego c.d.

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt pn. „IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK”

realizowany w ramach Poddziałania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

Kurs wyrównawczy — Analiza matematyczna Prowadzący: dr Dorota Gabor, dr Joanna Karłowska-Pik

12. Zastosowania rachunku różniczkowego c.d.

Ćw. 12.1 Podchodzący do lądowania samolot porusza się po łuku paraboli w ten sposób, że w miejscu lądowania trajektoria lotu jest styczna do płyty lotniska. W jakiej odle- głości od wieży kontrolnej wyląduje samolot, jeżeli w odległości D = 9 km znajdował się on na wysokości H = 400 m, a w odległości d = 6 km był na wysokości h = 100 m.

Ćw. 12.2 Taśmociąg przenosi piasek z wydajnością w = 1 m³/min. Z piasku tworzy się kopiec w kształcie stożka o kącie α = π/4 nachylenia tworzącej do podstawy. Oblicz, z jaką prędkością wzrasta wysokość kopca w chwili, gdy osiągnie wysokość H = 3 m.

Ćw. 12.3 Balon wznosi się ze stałą prędkością v = 3 m/s. Na dnie kosza balonu za- montowany jest aparat do zdjęć kartograficznych. Kat widzenia aparatu jest równy 2α = 60^◦. Oblicz, z jaką prędkością zmienia się pole fotografowanego obszaru, gdy balon jest na wysokości H = 300 m.

Ćw. 12.4 Gumowy balon ma kształt kuli o objętości początkowej V⁰ = 40 m³. Do balonu wtłacza się powietrze z szybkością p = 1 m³/s. Oblicz, z jaką szybkością powiększać się będzie średnica balonu po 24 s. Załóż, że ciśnienie powietrza w balonie jest stałe.

Ćw. 12.5 Punkt materialny porusza się wzdłuż osi OX pod wpływem zmiennej siły. Po- łożenie x(t) tego punktu w chwili t jest opisane wzorem

x(t) = t³− 3t²+ t + 5.

Znajdź położenie punktu w chwili, w której siła działająca na niego jest równa 0.

Ćw. 12.6 Punkt materialny porusza się ze zmienną szybkością wzdłuż osi OX. Położenie tego punktu w chwili t jest opisane wzorem

x(t) = 3 · 2^t− 2^−3t.

Oblicz przyspieszenie punktu w chwili, w której jego szybkość jest równa 0.

Ćw. 12.7 Sprawdź, czy do wykresu funkcji f : [−1, 1] → R, f(x) = x(x² − 1) można poprowadzić styczną równoległą do osi OX.

Ćw. 12.8 Korzystając z twierdzenia Lagrange’a, udowodnij nierówności 1

a) x

x + 1 < ln(1 + x) < x, x > 0, b) e^x> 1 + x, x > 0,

c) n(b − a)aⁿ⁻¹ < bⁿ− aⁿ< n(b − a)bⁿ⁻¹ dla 0 < a < b, n ∈ N \ {1}.

Ćw. 12.9 Uzasadnij równości a) arcsin x

√1 + x² = arccos 1

√1 + x² dla każdego x ∈ [0, ∞),

b) arctan x = 1

2arctan 2x

1 − x² dla każdego x ∈ (−1, 1), c) arctan x = π

4 − arctan1 − x

1 + x dla każdego x ∈ (−1, ∞).

Na podstawie:

M. Gawert, Z. Skoczylas: Analiza matematyczna 1. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2002.

2