1 Wykład
Zastosowania rachunku różniczkowego – ciąg dalszy
Badanie wypukłości funkcji
Zdefiniujemy na wstępie pojęcie funkcji wypukłej i wklęsłej w punkcie.
Definicja 1.
W punkcie M(x0, f(x0))wykresu funkcji y=f(x) prowadzimy styczną
Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu x0 wszystkie punkty wykresu leżą powyżej stycznej, to funkcja jest wypukła w tym punkcie. (Rys. A)
Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu x0 wszystkie punkty wykresu leżą poniżej stycznej, to funkcja jest wklęsła w tym punkcie.(Rys. B)
Rys. A Rys. B
x0
f(x0)
x0
f(x0)
x0
2 Definicja 23.
Jeżeli w lewostronnym otoczeniu punktu x0 wykres funkcji f leży poniżej stycznej, zaś w prawostronnym powyżej lub odwrotnie, to w punkt (x0, f(x0)) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji.
Twierdzenie 25
Jeżeli funkcja y=f(x) posiada w punkcie x0 drugą pochodną ciągłą, to;
1. gdy f’’(x0)>0, to funkcja jest wypukła w punkcie x0,
2. gdy f’’(x0)< 0, to funkcja jest wklęsła w punkcie x0
3. w punktach przegięcia zachodzi warunek f’’(x0)= 0 Przykład
Wyznacz przedziały wypukłości i punkty przegięcia wykresu funkcji f(x)xex Będzie omówiony w trakcie wykładu on line
Asymptoty wykresu funkcji
3 Powyżej przykład funkcji, której wykres ma asymptotę pionową i ukośną, co nie jest sytuacją powszechną.
Definicja 24
Prostą x=x0 nazywamy asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji y=f(x), jeżeli zachodzi
warunek:
( ) lim
0
x f
x
x .
Prostą x=x0 nazywamy asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji y=f(x), jeżeli
Prostą x=x0 nazywamy asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji y=f(x), jeżeli jest ona asymptotą prawo i lewostronną
Definicja 25
Prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną wykresu funkcji y=f(x) w „+”, jeżeli istnieją i są skończone granice:
x x a f
x
) lim (
b lim (f(x) ax)
x
Uwaga: Analogicznie definiujemy asymptotę w w „-”.
Przykład 2
Wyznaczyć równania wszystkich asymptot wykresu funkcji w
1 2 ) 5 (
2
x x x f Będzie omówiony w trakcie wykładu on line
4
Reguła de L’Hospitala
Reguła de L’Hospitala, to w zasadzie zespół twierdzeń ułatwiających liczenie granicy ilorazu funkcji, gdy obie z nich mają granice równe zero, bądź granice niewłaściwe. Krótko mówiąc reguła stanowi „zestaw ratunkowy” w przypadku wyrażeń nieoznaczonych postaci
0
0
Pozostałe wyrażenia nieoznaczone można sprowadzić do tych dwóch, więc zastosowanie reguły obejmuje szeroką klasę przypadków.
Twierdzenie 26
Niech funkcje f(x) i g(x) będą określone w pewnym sąsiedztwie punktu a oraz niech 0
) ( lim 0
) (
lim
f x i g x
a x a
x
Wówczas, jeśli w tym sąsiedztwie istnieją pochodne f’(x) i g’(x) oraz istnieje granica
) ( '
) ( lim '
x g
x f
xa , to
istnieje również granica
) (
) lim (
x g
x f
xa i zachodzi równość:
) ( '
) ( lim ' ) (
) lim (
x g
x f x
g x f
a x a
x
Uwaga! Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
Twierdzenie pozostaje prawdziwe także dla granic jednostronnych.
Twierdzenie 27
Niech funkcje f(x) i g(x) będą określone w pewnym prawostronnym sąsiedztwie punktu a oraz niech lim ( )0 lim ( )0
f x i g x
a x a
x
Wówczas, jeśli w tym sąsiedztwie istnieją pochodne f’(x) i g’(x) oraz istnieje granica
) ( '
) ( lim '
x g
x f
a
x , to
istnieje również granica
) (
) lim (
x g
x f
a
x i zachodzi równość:
) ( '
) ( lim ' ) (
) lim (
x g
x f x
g x f
a x a
x
Przykład
0 3
cos lim sin
x
x x x
x
Będzie omówiony w trakcie wykładu on line
opracowanie dr E. Badach na podstawie: Fichtencholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowyPWN Warszawa 1985
