Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Projekt pn. „IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK”
realizowany w ramach Poddziałania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
Kurs wyrównawczy — Analiza matematyczna Prowadzący: dr Dorota Gabor, dr Joanna Karłowska-Pik
11. Zastosowania rachunku różniczkowego
Ćw. 11.1 Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f(x) = x3 − 6x2 w przedziale [−3, 3].
Ćw. 11.2 (K.W. 10.131/229) W dane koło o promieniu r wpisano prostokąt. Przy jakich długościach boków jego pole jest największe?
Ćw. 11.3 (K.W. 10.134/229) W dane półkole o promieniu r wpisano trapez tak, że jed- na z jego podstaw jest średnicą tego półkola. Który z tak wpisanych trapezów ma największe pole?
Ćw. 11.4 (K.W. 10.136/229) W daną półkulę o promieniu r wpisano stożek, którego wierzchołek leży w środku kuli, a podstawa jest równoległa do podstawy półkuli.
Przy jakiej wysokości stożka jego objętość jest największa?
Ćw. 11.5 Który z ostrosłupów prawidłowych o podstawie kwadratowej i sumie długości wszystkich krawędzi równej a ma największą objętość?
Ćw. 11.6 Udowodnij, że dla x > 1 prawdziwa jest nierówność 2 ln x < x − 1
x.
Ćw. 11.7 (B.W. 4/83) Udowodnij, że dla x ∈ R spełniona jest nierówność 2x arctan x ln(1 + x2).
Ćw. 11.8 (B.W. 7/83) Udowodnij, że dla każdego x ∈ R spełniona jest nierówność cos x 1 − x2
2 .
Ćw. 11.9 (B.W. 33b/86) Wykaż, że dla x > 0 zachodzi nierówność ln x ¬√
x.
Ćw. 11.10 (B.W. 34/86) Udowodnij, że dla każdego x ∈ (−1, +∞) x
1 + x ¬ ln(1 + x) ¬ x.
1
Ćw. 11.11 Pokaż, że równanie x3+ x − 3 = 0 ma rozwiązanie w przedziale (1, 2).
Ćw. 11.12 (K.W. 14.5/291) Sprawdź, że równanie x3 − 4x − 12 = 0 ma pierwiastek w przedziale (2, 3) i wyznacz jego wartość z dokładnością do 0, 1.
Ćw. 11.13 (K.W. 14.6/291) Sprawdź, że równanie x3− 6x + 2 = 0 ma pierwiastek w prze- dziale (0, 1) i wyznacz jego wartość z dokładnością do 0, 1.
Ćw. 11.14 Zbadaj przebieg zmienności funkcji:
a) f (x) = ln x x ,
b) (K.W. 10.89/228) f (x) = 3x − 1 2x + 1, c) (K.W. 10.90/228) f (x) = 5
(2x + 1)2, d) (K.W. 10.92/228) f (x) = x + 4
x − 5, e) (K.W. 10.93/228) f (x) = (x + 1)2
2x , f) (K.W. 10.96/228) f (x) = x2+ x + 1
x2− 1 , g) (K.W. 10.114/228) f (x) = cos2x+ 2 sin2x, h) (K.W. 13.10/281) f (x) = x2ln x,
i) (K.W. 13.32/282) f (x) = x2e1/x. Ćw. 11.15 Oblicz granice:
a) limx→0 e3x− 3x − 1 sin25x , b) limx→π2
x − π 2
tg x.
c) (K.W. 12.15/266) limx→0 ex− e−x
x ,
d) (K.W. 12.16/266) limx→1+ ln x
√x2 − 1, e) (K.W. 12.24/266) limx→0 sin x − x cos x
x3 , f) (K.W. 12.30/266) limx→0 x−1
ctg x, g) (K.W. 12.31/266) limx→π4 tg 2x
tg
π 4 + x
,
2
h) (K.W. 12.37/266) limx→0(1 − e2x) ctg x, i) (K.W. 12.42/267) limx→1−(1 − x) ln(1 − x), j) (K.W. 12.43/267) limx→1(1 − x) tg(12πx).
3
