Algorytmika Problemów Trudnych Wykªad 2

Algorytmika Problemów Trudnych

Wykªad 2 Tomasz Krawczyk

krawczyk@tcs.uj.edu.pl

Kraków, semestr letni 2020/21

plan wykªadu

I Algorytmy parametryzowane.

I Algorytmy kernelizacji.

I Przykªady algorytmów kernelizacji dla problemów:

I

pokrycia wierzchoªkowego grafu.

I

zbioru przecinaj¡cego wszystkie cykle w turnieju.

Zªo»ono±¢ Parametryzowana

Analizuj¡c algorytmy parametryzowane badamy ich zªo»ono±¢ czasow¡ w zale»no±ci nie tylko od wielko±ci instancji wej±ciowej (np. grafu) ale równie» w zale»no±ci od innych parametrów (czasami wynikaj¡cych z wej±cia lub implicite danych na wej±ciu).

Parametrem mo»e by¢:

I stopie« `skomplikowania' instancji wej±ciowej (np. szeroko±¢ drzewowa grafu),

I rozmiar rozwi¡zania, które nas ju» zadowala.

Problemy parametryzowane

Problem parametryzowany to j¦zyk L ⊂ Σ

× N, gdzie Σ jest ustalonym sko«czonym j¦zykiem. Dla pary (x, k) ∈ L:

I x nazywamy instancj¡ wej±ciow¡ (x opisuje np. graf), I k nazywamy parametrem.

Mo»na rozwa»a¢ przypadki, w których j¦zyk L zawiera wi¦cej parametrów.

Problemy FPT (Fixed Parameter Tractable)

Parametryzowany problem L jest w klasie FPT (ang. xed parameter

tractable) je»eli istnieje algorytm testuj¡cy przynale»no±¢ (x, k) do L dziaªaj¡cy

w czasie f (k)(|x|)

, gdzie f jest pewn¡ funkcj¡ obliczaln¡ a c jest pewn¡ staª¡.

Przykªady problemów parametryzowanych

I (G, k): graf G jest k-kolorowalny?

(nie jest FPT o ile P 6= NP), I ( G, k): graf G ma pokrycie wierzchoªkowe rozmiaru k (jest FPT), I ( T , k): turniej T ma k kraw¦dzi, które przecinaj¡ wszystkie cykle turnieju

(Feedback Arc Set in Tournaments), (jest FPT),

I (G, k): graf G ma klik¦ rozmiaru k (nie jest FPT, ale musimy mie¢

mocniejsze zaªo»enie zªo»ono±ciowe ni» P 6= NP, wystarczy ETH).

Przykªady problemów parametryzowanych

I (G, k): graf G jest k-kolorowalny? (nie jest FPT o ile P 6= NP),

I ( G, k): graf G ma pokrycie wierzchoªkowe rozmiaru k (jest FPT), I ( T , k): turniej T ma k kraw¦dzi, które przecinaj¡ wszystkie cykle turnieju

(Feedback Arc Set in Tournaments), (jest FPT),

I (G, k): graf G ma klik¦ rozmiaru k (nie jest FPT, ale musimy mie¢

mocniejsze zaªo»enie zªo»ono±ciowe ni» P 6= NP, wystarczy ETH).

Przykªady problemów parametryzowanych

I (G, k): graf G jest k-kolorowalny? (nie jest FPT o ile P 6= NP), I ( G, k): graf G ma pokrycie wierzchoªkowe rozmiaru k

(jest FPT), I ( T , k): turniej T ma k kraw¦dzi, które przecinaj¡ wszystkie cykle turnieju

(Feedback Arc Set in Tournaments), (jest FPT),

I (G, k): graf G ma klik¦ rozmiaru k (nie jest FPT, ale musimy mie¢

mocniejsze zaªo»enie zªo»ono±ciowe ni» P 6= NP, wystarczy ETH).

Przykªady problemów parametryzowanych

I (G, k): graf G jest k-kolorowalny? (nie jest FPT o ile P 6= NP), I ( G, k): graf G ma pokrycie wierzchoªkowe rozmiaru k (jest FPT),

I ( T , k): turniej T ma k kraw¦dzi, które przecinaj¡ wszystkie cykle turnieju (Feedback Arc Set in Tournaments), (jest FPT),

I (G, k): graf G ma klik¦ rozmiaru k (nie jest FPT, ale musimy mie¢

mocniejsze zaªo»enie zªo»ono±ciowe ni» P 6= NP, wystarczy ETH).

Przykªady problemów parametryzowanych

I (G, k): graf G jest k-kolorowalny? (nie jest FPT o ile P 6= NP), I ( G, k): graf G ma pokrycie wierzchoªkowe rozmiaru k (jest FPT), I ( T , k): turniej T ma k kraw¦dzi, które przecinaj¡ wszystkie cykle turnieju

(Feedback Arc Set in Tournaments),

(jest FPT),

I (G, k): graf G ma klik¦ rozmiaru k (nie jest FPT, ale musimy mie¢

mocniejsze zaªo»enie zªo»ono±ciowe ni» P 6= NP, wystarczy ETH).

Przykªady problemów parametryzowanych

I (G, k): graf G jest k-kolorowalny? (nie jest FPT o ile P 6= NP), I ( G, k): graf G ma pokrycie wierzchoªkowe rozmiaru k (jest FPT), I ( T , k): turniej T ma k kraw¦dzi, które przecinaj¡ wszystkie cykle turnieju

(Feedback Arc Set in Tournaments), (jest FPT),

I (G, k): graf G ma klik¦ rozmiaru k (nie jest FPT, ale musimy mie¢

mocniejsze zaªo»enie zªo»ono±ciowe ni» P 6= NP, wystarczy ETH).

Przykªady problemów parametryzowanych

I (G, k): graf G jest k-kolorowalny? (nie jest FPT o ile P 6= NP), I ( G, k): graf G ma pokrycie wierzchoªkowe rozmiaru k (jest FPT), I ( T , k): turniej T ma k kraw¦dzi, które przecinaj¡ wszystkie cykle turnieju

(Feedback Arc Set in Tournaments), (jest FPT), I (G, k): graf G ma klik¦ rozmiaru k

(nie jest FPT, ale musimy mie¢

mocniejsze zaªo»enie zªo»ono±ciowe ni» P 6= NP, wystarczy ETH).

Przykªady problemów parametryzowanych

I (G, k): graf G jest k-kolorowalny? (nie jest FPT o ile P 6= NP), I ( G, k): graf G ma pokrycie wierzchoªkowe rozmiaru k (jest FPT), I ( T , k): turniej T ma k kraw¦dzi, które przecinaj¡ wszystkie cykle turnieju

(Feedback Arc Set in Tournaments), (jest FPT),

I (G, k): graf G ma klik¦ rozmiaru k (nie jest FPT, ale musimy mie¢

mocniejsze zaªo»enie zªo»ono±ciowe ni» P 6= NP, wystarczy ETH).

Algorytm FPT dla pokrycia wierzchoªkowego

Alg(G,k)  sprawdza, czy graf ma pokrycie wierzchoªkowe rozmiaru k.

I if G = ∅ return YES, I if k = 0 return;

I if G has an edge e = {u, v}:

I

return Alg(G \ u,k − 1)

I

return Alg(G \ v,k − 1)

Komentarz:

I czas dziaªania O(2

· n) (ale mo»na szybciej), jest wi¦c FPT,

I powy»szy algorytm nale»y do grupy algorytmów rozgaª¦ziaj¡cych si¦ (ang.

branching algorithms ).

Algorytm FPT dla pokrycia wierzchoªkowego

Alg(G,k)  sprawdza, czy graf ma pokrycie wierzchoªkowe rozmiaru k.

I if G = ∅ return YES, I if k = 0 return;

I if G has an edge e = {u, v}:

I

return Alg(G \ u,k − 1)

I

return Alg(G \ v,k − 1)

Komentarz:

I czas dziaªania O(2

· n) (ale mo»na szybciej), jest wi¦c FPT,

I powy»szy algorytm nale»y do grupy algorytmów rozgaª¦ziaj¡cych si¦ (ang.

branching algorithms ).

kernelizacja

Algorytm kernelizacji dla problemu parametryzowanego Q ⊂ Σ

× N to algorytm, który maj¡c na wej±ciu (x, k) ∈ Σ

× N w czasie wielomianowym od (|x| + k) zwróci par¦ (x

, k

) tak¡, »e:

I ( x, k) ∈ Q wtedy i tylko wtedy, gdy (x

, k

) ∈ Q, I |x

|, k

6 g (k) dla pewnej funkcji obliczalnej g .

Zredukowana instancja (x

, k

) to j¡dro dla problemu (x, k) rozmiaru g(k).

Kernelizacja to proces polegaj¡cy na redukowaniu (w czasie wielomianowym) instancji wej±ciowej (x, k) do instancji równowa»nej o rozmiarze ograniczonym funkcj¡ parametru k.

Zakªadaj¡c, »e k jest zapisane w sposób unarny, algorytmy kernelizacji s¡

wielomianowe od rozmiaru wej±cia.

kernelizacja vs FPT

Twierdzenie

Niech Q b¦dzie rozstrzygalnym problemem parametryzowanym. Q jest w klasie FPT wtedy i tylko wtedy, gdy Q posiada algorytm kernelizacji.

Je»eli problem Q posiada algorytm kernelizacji, to jest FPT. Algorytm FPT:

I zredukuj instancj¦ wej±ciow¡ (x, k) w czasie wielomianowym do instancji równowa»nej (x

, k

) rozmiaru g(k),

I rozstrzygnij, czy (x

, k

) jest w L (czas ograniczony pewn¡ funkcj¡ k

).

kernelizacja vs FPT

Twierdzenie

Niech Q b¦dzie rozstrzygalnym problemem parametryzowanym. Q jest w klasie FPT wtedy i tylko wtedy, gdy Q posiada algorytm kernelizacji.

Je»eli problem Q posiada algorytm kernelizacji, to jest FPT.

Algorytm FPT:

I zredukuj instancj¦ wej±ciow¡ (x, k) w czasie wielomianowym do instancji równowa»nej (x

, k

) rozmiaru g(k),

I rozstrzygnij, czy (x

, k

) jest w L (czas ograniczony pewn¡ funkcj¡ k

).

kernelizacja vs FPT

Twierdzenie

Niech Q b¦dzie rozstrzygalnym problemem parametryzowanym. Q jest w klasie FPT wtedy i tylko wtedy, gdy Q posiada algorytm kernelizacji.

Je»eli problem Q posiada algorytm kernelizacji, to jest FPT.

Algorytm FPT:

I zredukuj instancj¦ wej±ciow¡ (x, k) w czasie wielomianowym do instancji równowa»nej (x

, k

) rozmiaru g(k),

I rozstrzygnij, czy (x

, k

) jest w L (czas ograniczony pewn¡ funkcj¡ k

).

Kernelizacja vs FPT

Twierdzenie

Niech Q b¦dzie rozstrzygalnym problemem parametryzowanym. Q jest w klasie FPT wtedy i tylko wtedy, gdy Q posiada algorytm kernelizacji.

Je»eli Q posiada algorytm FPT (z czasem dziaªania f (k)|x|

), to ma równie» algorytm kernelizacji.

Algorytm kernelizacji:

I symuluj algorytm kernelizacji przez |x|

kroków,

I je»eli algorytm zako«czy prac¦ (na pewno tak si¦ stanie, gdy |x| ≥ f (k)), przepisz jego odpowied¹, w przeciwnym przypadku zwró¢ (x, k).

Powy»szy algorytm daje j¡dro o rozmiarze f (k).

Kernelizacja vs FPT

Twierdzenie

Niech Q b¦dzie rozstrzygalnym problemem parametryzowanym. Q jest w klasie FPT wtedy i tylko wtedy, gdy Q posiada algorytm kernelizacji.

Je»eli Q posiada algorytm FPT (z czasem dziaªania f (k)|x|

), to ma równie»

algorytm kernelizacji.

Algorytm kernelizacji:

I symuluj algorytm kernelizacji przez |x|

kroków,

I je»eli algorytm zako«czy prac¦ (na pewno tak si¦ stanie, gdy |x| ≥ f (k)), przepisz jego odpowied¹, w przeciwnym przypadku zwró¢ (x, k).

Powy»szy algorytm daje j¡dro o rozmiarze f (k).

Kernelizacja vs FPT

Twierdzenie

Niech Q b¦dzie rozstrzygalnym problemem parametryzowanym. Q jest w klasie FPT wtedy i tylko wtedy, gdy Q posiada algorytm kernelizacji.

Je»eli Q posiada algorytm FPT (z czasem dziaªania f (k)|x|

), to ma równie»

algorytm kernelizacji.

Algorytm kernelizacji:

I symuluj algorytm kernelizacji przez |x|

kroków,

I je»eli algorytm zako«czy prac¦ (na pewno tak si¦ stanie, gdy |x| ≥ f (k)), przepisz jego odpowied¹, w przeciwnym przypadku zwró¢ (x, k).

Powy»szy algorytm daje j¡dro o rozmiarze f (k).

Kernelizacja vs FPT

Twierdzenie

Niech Q b¦dzie rozstrzygalnym problemem parametryzowanym. Q jest w klasie FPT wtedy i tylko wtedy, gdy Q posiada algorytm kernelizacji.

Je»eli Q posiada algorytm FPT (z czasem dziaªania f (k)|x|

), to ma równie»

algorytm kernelizacji.

Algorytm kernelizacji:

I symuluj algorytm kernelizacji przez |x|

kroków,

I je»eli algorytm zako«czy prac¦ (na pewno tak si¦ stanie, gdy |x| ≥ f (k)), przepisz jego odpowied¹, w przeciwnym przypadku zwró¢ (x, k).

Powy»szy algorytm daje j¡dro o rozmiarze f (k).

Pokrycie wierzchoªkowe - algorytm kernelizacji

Trzy reguªy redukcji (G, k):

I Reguªa 1: Je»eli G posiada wierzchoªek izolowany, usu« go z G. Nowa instancja: (G \ v, k).

I Reguªa 2: Je»eli G posiada wierzchoªek v o stopniu istotnie wi¦kszym od k, usu« go z G. Nowa instancja:(G \ v, k − 1).

I Reguªa 3: Je»eli nie mo»emy stosowa¢ reguªy 1 oraz 2, oraz je»eli G posiada istotnie wi¦cej ni» k

+ k wierzchoªków b¡d¹ istotnie wi¦cej ni» k

kraw¦dzi, zwró¢ prost¡ NIE instancj¦.

Ka»da z tych reguª jest poprawna tzn. instancja przed zastosowaniem ka»dej z

reguª jest równowa»na instancji wynikowej. A zatem, rozwa»any przez nas

parametryzowany problem pokrycia wierzchoªkowego ma j¡dro o O(k

)

wierzchoªkach i O(k

) kraw¦dziach.

Pokrycie wierzchoªkowe - algorytm kernelizacji

Trzy reguªy redukcji (G, k):

I Reguªa 1: Je»eli G posiada wierzchoªek izolowany, usu« go z G. Nowa instancja: (G \ v, k).

I Reguªa 2: Je»eli G posiada wierzchoªek v o stopniu istotnie wi¦kszym od k, usu« go z G. Nowa instancja:(G \ v, k − 1).

I Reguªa 3: Je»eli nie mo»emy stosowa¢ reguªy 1 oraz 2, oraz je»eli G posiada istotnie wi¦cej ni» k

+ k wierzchoªków b¡d¹ istotnie wi¦cej ni» k

kraw¦dzi, zwró¢ prost¡ NIE instancj¦.

Ka»da z tych reguª jest poprawna tzn. instancja przed zastosowaniem ka»dej z

reguª jest równowa»na instancji wynikowej. A zatem, rozwa»any przez nas

parametryzowany problem pokrycia wierzchoªkowego ma j¡dro o O(k

)

wierzchoªkach i O(k

) kraw¦dziach.

Pokrycie wierzchoªkowe - algorytm kernelizacji

Trzy reguªy redukcji (G, k):

I Reguªa 1: Je»eli G posiada wierzchoªek izolowany, usu« go z G. Nowa instancja: (G \ v, k).

I Reguªa 2: Je»eli G posiada wierzchoªek v o stopniu istotnie wi¦kszym od k, usu« go z G. Nowa instancja:(G \ v, k − 1).

I Reguªa 3: Je»eli nie mo»emy stosowa¢ reguªy 1 oraz 2, oraz je»eli G posiada istotnie wi¦cej ni» k

+ k wierzchoªków b¡d¹ istotnie wi¦cej ni»

k

kraw¦dzi, zwró¢ prost¡ NIE instancj¦.

Ka»da z tych reguª jest poprawna tzn. instancja przed zastosowaniem ka»dej z

reguª jest równowa»na instancji wynikowej. A zatem, rozwa»any przez nas

parametryzowany problem pokrycia wierzchoªkowego ma j¡dro o O(k

)

wierzchoªkach i O(k

) kraw¦dziach.

Pokrycie wierzchoªkowe - algorytm kernelizacji

Trzy reguªy redukcji (G, k):

I Reguªa 1: Je»eli G posiada wierzchoªek izolowany, usu« go z G. Nowa instancja: (G \ v, k).

I Reguªa 2: Je»eli G posiada wierzchoªek v o stopniu istotnie wi¦kszym od k, usu« go z G. Nowa instancja:(G \ v, k − 1).

I Reguªa 3: Je»eli nie mo»emy stosowa¢ reguªy 1 oraz 2, oraz je»eli G posiada istotnie wi¦cej ni» k

+ k wierzchoªków b¡d¹ istotnie wi¦cej ni»

k

kraw¦dzi, zwró¢ prost¡ NIE instancj¦.

Ka»da z tych reguª jest poprawna tzn. instancja przed zastosowaniem ka»dej z

reguª jest równowa»na instancji wynikowej. A zatem, rozwa»any przez nas

parametryzowany problem pokrycia wierzchoªkowego ma j¡dro o O(k

)

wierzchoªkach i O(k

) kraw¦dziach.

Minimalny zbiór przecinaj¡cy wszystkie cykle w turnieju

Problem parametryzowany (T , k): czy turniej T ma zbiór k kraw¦dzi, które

przecinaj¡ wszystkie cykle turnieju T ?

Zbiór przecinaj¡cy wszystkie cykle w turnieju

I F  zbiór kraw¦dzi turnieju,

I T ◦ F  turniej powstaªy z T poprzez odwrócenie kraw¦dzi z F .

Lemat

Zbiór F kraw¦dzi turnieju T jest minimalnym zbiorem przecinaj¡cym wszystkie cykle T wtedy i tylko wtedy, gdy F jest minimalnym zbiorem kraw¦dzi takim,

»e T ◦ F jest acykliczny.

F - minimalny zbiór przecinaj¡cy wszystkie cykle ⇒ F - minimalny zbiór taki,

»e T ◦ F jest acykliczny.

I F  minimalny zbiór przecinaj¡cy wszystkie cykle T , I zaªó»my, »e T ◦ F zawiera cykl C,

I niech f

, . . . , f

b¦d¡ wszystkimi kraw¦dziami z C, którym zmieniono kierunek,

I z minimalno±ci F , ka»da kraw¦d¹ f z F le»y na (prywatnym) cyklu C

w T , który nie zawiera innych kraw¦dzi z F ,

I cykl C wraz z cyklami C

dla i = 1, . . . , k daje cykl w T omijaj¡cy kraw¦dzie z F , sprzeczno±¢.

I minimalno±¢ F jest oczywista.

Zbiór przecinaj¡cy wszystkie cykle w turnieju

I F  zbiór kraw¦dzi turnieju,

I T ◦ F  turniej powstaªy z T poprzez odwrócenie kraw¦dzi z F .

Lemat

Zbiór F kraw¦dzi turnieju T jest minimalnym zbiorem przecinaj¡cym wszystkie cykle T wtedy i tylko wtedy, gdy F jest minimalnym zbiorem kraw¦dzi takim,

»e T ◦ F jest acykliczny.

F - minimalny zbiór taki, »e T ◦ F jest acykliczny ⇒ F - minimalny zbiór przecinaj¡cy wszystkie cykle T .

I F - minimalny zbiór taki, »e T ◦ F jest acykliczny, I F - zbiór kraw¦dzi przecinaj¡cy wszystkie cykle,

I je»eli istnieje mniejszy zbiór F

w F przecinaj¡cy wszystkie cykle, to

T ◦ F

jest acykliczny (z poprzedniej cz¦±ci).

Zbiór przecinaj¡cy wszystkie cykle w turnieju - kernelizacja

( T , k): czy T ma zbiór kraw¦dzi F o mocy k taki, »e T ◦ F jest acykliczny?

Trójk¡t w turnieju: trzy wierzchoªki turnieju le»¡ce na cyklu. Reguªy redukcji instancji (T , k):

I Reguªa 1: Je»eli kraw¦d¹ e nale»y do k + 1 trójk¡tów, odwró¢ e i zmniejsz k o 1.

I Reguªa 2: Je»eli wierzchoªek e nie nale»y do »adnego trójk¡ta, usu« go z T i pozostaw k bez zmian.

I Reguªa 3: Je»eli Reguªy 1 i 2 si¦ nie stosuj¡ i je»eli turniej ma istotnie wi¦cej ni» k

+ 2k wierzchoªków, zwró¢ NIE instancj¦.

Poprawno±¢ Reguªy 3: Je»eli Reguªy 1 i 2 si¦ nie stosuj¡ oraz turniej ma zbiór F taki, »e T ◦ F jest acykliczny, to ka»dy wierzchoªek turnieju nale»y do trójk¡ta, którego jedna z kraw¦dzi nale»y do F .

Powy»szy algorytm daje j¡dro rozmiaru O(k

) .

Zbiór przecinaj¡cy wszystkie cykle w turnieju - kernelizacja

( T , k): czy T ma zbiór kraw¦dzi F o mocy k taki, »e T ◦ F jest acykliczny?

Trójk¡t w turnieju: trzy wierzchoªki turnieju le»¡ce na cyklu.

Reguªy redukcji instancji (T , k):

I Reguªa 1: Je»eli kraw¦d¹ e nale»y do k + 1 trójk¡tów, odwró¢ e i zmniejsz k o 1.

I Reguªa 2: Je»eli wierzchoªek e nie nale»y do »adnego trójk¡ta, usu« go z T i pozostaw k bez zmian.

I Reguªa 3: Je»eli Reguªy 1 i 2 si¦ nie stosuj¡ i je»eli turniej ma istotnie wi¦cej ni» k

+ 2k wierzchoªków, zwró¢ NIE instancj¦.

Poprawno±¢ Reguªy 3: Je»eli Reguªy 1 i 2 si¦ nie stosuj¡ oraz turniej ma zbiór F taki, »e T ◦ F jest acykliczny, to ka»dy wierzchoªek turnieju nale»y do trójk¡ta, którego jedna z kraw¦dzi nale»y do F .

Powy»szy algorytm daje j¡dro rozmiaru O(k

) .

Zbiór przecinaj¡cy wszystkie cykle w turnieju - kernelizacja

( T , k): czy T ma zbiór kraw¦dzi F o mocy k taki, »e T ◦ F jest acykliczny?

Trójk¡t w turnieju: trzy wierzchoªki turnieju le»¡ce na cyklu.

Reguªy redukcji instancji (T , k):

I Reguªa 1: Je»eli kraw¦d¹ e nale»y do k + 1 trójk¡tów, odwró¢ e i zmniejsz k o 1.

I Reguªa 2: Je»eli wierzchoªek e nie nale»y do »adnego trójk¡ta, usu« go z T i pozostaw k bez zmian.

I Reguªa 3: Je»eli Reguªy 1 i 2 si¦ nie stosuj¡ i je»eli turniej ma istotnie wi¦cej ni» k

+ 2k wierzchoªków, zwró¢ NIE instancj¦.

Poprawno±¢ Reguªy 3: Je»eli Reguªy 1 i 2 si¦ nie stosuj¡ oraz turniej ma zbiór F taki, »e T ◦ F jest acykliczny, to ka»dy wierzchoªek turnieju nale»y do trójk¡ta, którego jedna z kraw¦dzi nale»y do F .

Powy»szy algorytm daje j¡dro rozmiaru O(k

) .

Zbiór przecinaj¡cy wszystkie cykle w turnieju - kernelizacja

( T , k): czy T ma zbiór kraw¦dzi F o mocy k taki, »e T ◦ F jest acykliczny?

Trójk¡t w turnieju: trzy wierzchoªki turnieju le»¡ce na cyklu.

Reguªy redukcji instancji (T , k):

I Reguªa 1: Je»eli kraw¦d¹ e nale»y do k + 1 trójk¡tów, odwró¢ e i zmniejsz k o 1.

I Reguªa 2: Je»eli wierzchoªek e nie nale»y do »adnego trójk¡ta, usu« go z T i pozostaw k bez zmian.

I Reguªa 3: Je»eli Reguªy 1 i 2 si¦ nie stosuj¡ i je»eli turniej ma istotnie wi¦cej ni» k

+ 2k wierzchoªków, zwró¢ NIE instancj¦.

Poprawno±¢ Reguªy 3: Je»eli Reguªy 1 i 2 si¦ nie stosuj¡ oraz turniej ma zbiór F taki, »e T ◦ F jest acykliczny, to ka»dy wierzchoªek turnieju nale»y do trójk¡ta, którego jedna z kraw¦dzi nale»y do F .

Powy»szy algorytm daje j¡dro rozmiaru O(k

) .

Zbiór przecinaj¡cy wszystkie cykle w turnieju - kernelizacja

( T , k): czy T ma zbiór kraw¦dzi F o mocy k taki, »e T ◦ F jest acykliczny?

Trójk¡t w turnieju: trzy wierzchoªki turnieju le»¡ce na cyklu.

Reguªy redukcji instancji (T , k):

I Reguªa 1: Je»eli kraw¦d¹ e nale»y do k + 1 trójk¡tów, odwró¢ e i zmniejsz k o 1.

I Reguªa 2: Je»eli wierzchoªek e nie nale»y do »adnego trójk¡ta, usu« go z T i pozostaw k bez zmian.

I Reguªa 3: Je»eli Reguªy 1 i 2 si¦ nie stosuj¡ i je»eli turniej ma istotnie wi¦cej ni» k

+ 2k wierzchoªków, zwró¢ NIE instancj¦.

Poprawno±¢ Reguªy 3: Je»eli Reguªy 1 i 2 si¦ nie stosuj¡ oraz turniej ma zbiór F taki, »e T ◦ F jest acykliczny, to ka»dy wierzchoªek turnieju nale»y do trójk¡ta, którego jedna z kraw¦dzi nale»y do F .

Powy»szy algorytm daje j¡dro rozmiaru O(k

) .

Programowanie Liniowe

Problem Programowania Liniowego jest problemem optymalizacyjnym zdeniowanym nast¦puj¡co:

zminimalizuj: P

c

x

przy warunkach: P

j=1

a

x

≥ b

i = 1, . . . , m x

≥ 0 j = 1, . . . , n.

W Programowaniu Liniowym Caªkowitoliczbowym ILP (Zero-Jedynkowym 01LP) na zmienne x

nakªadamy warunek x

∈ Z (x

∈ {0, 1} odpowiednio).

I Istniej¡ algorytmy o wielomianowym czasie dziaªania dla problemu Programowania Liniowego.

I Problem Programowania Caªkowitoliczbowego jest NP-trudny.

Pokrycie wierzchoªkowe - programowanie caªkowitoliczbowe

Problem pokrycia wierzchoªkowego jest równowa»ny rozwi¡zaniu nast¦puj¡cego programu caªkowitoliczbowego:

zminimalizuj: P

x

przy warunkach: x

+ x

≥ 1 dla ka»dej kraw¦dzi {i, j} grafu G

x

∈ {0, 1}, i = 1, . . . , n. (1)

Relaksacja powy»szego programu wygl¡da nast¦puj¡co:

zminimalizuj: P

j=1

x

przy warunkach: x

+ x

≥ 1 dla ka»dej kraw¦dzi {i, j} grafu G

x

≥ 0 i = 1, . . . , n. (2)

J¡dro rozmiaru 6 2k

I Przyjmijmy: x

 rozwi¡zanie równania (2).

I Je»eli P

x

> k, to zwró¢ NIE (pokrycie wierzchoªkowe rozmiaru 6 k przekªada si¦ na dopuszczalne rozwi¡zanie (2) o koszcie 6 k).

I Przyjmijmy:

V

= {x

∈ V : x

<

} V

2

= {x

∈ V : x

=

} V

= {x

∈ V : x

>

} .

Lemat

Istnieje minimalne (na liczno±¢) pokrycie wierzchoªkowe S

grafu G takie, »e V

⊆ S

⊆ V

∪ V

2

. J¡dro rozmiaru 6 2k: zwró¢ podgraf indukowany na V

2

z parametrem k − |V

| .

J¡dro rozmiaru 6 2k

Dowód lematu:

I Zaªó»my, »e S jest pokryciem minimalnym grafu G,

I Zdeniujmy S

= ( S ∪ (V

\ S)) \ (V

∩ S) tzn. S

otrzymujemy poprzez rozszerzenie S na caªy zbiór V

i wyrzucenie z S tych wierzchoªków, które s¡ w V

.

I S

 pokrycie wierzchoªkowe (ªatwe do sprawdzenia, nie ma kraw¦dzi mi¦dzy wierzchoªkami z V

),

I S

 równie» minimalne pokrycie. Wystarczy pokaza¢, »e

|V

\ S| 6 |V

∩ S|. Zaªó»my zatem, »e

|V

\ S| > |V

∩ S|.

I Niech  = min{x

−

: x

∈ V

∪ V

}. Zdeniujmy:

y

= x

−  gdy x

∈ V

\ S

y

= x

+  gdy x

∈ V

∩ S

y

= x

gdy x

∈ V

∩ S

i zauwa»my »e y

jest rozwi¡zaniem (2) o mniejszym koszcie

(sprzeczno±¢).

J¡dro rozmiaru 6 2k

A co zrobi¢, gdy programowanie liniowe zwróci vc ^∗ (G) bardzo du»e?

Wtedy na pewno nie ma maªego pokrycia wierzchoªkowego.

Mimo wszystko chcemy je obliczy¢!

J¡dro rozmiaru 6 2k

A co zrobi¢, gdy programowanie liniowe zwróci vc ^∗ (G) bardzo du»e?

Wtedy na pewno nie ma maªego pokrycia wierzchoªkowego.

Mimo wszystko chcemy je obliczy¢!

J¡dro rozmiaru 6 2k

A co zrobi¢, gdy programowanie liniowe zwróci vc ^∗ (G) bardzo du»e?

Wtedy na pewno nie ma maªego pokrycia wierzchoªkowego.

Mimo wszystko chcemy je obliczy¢!