Algorytmika Problemów Trudnych Wykªad 9

(1)

Algorytmika Problemów Trudnych

Wykªad 9

Tomasz Krawczyk

krawczyk@tcs.uj.edu.pl

Kraków, semestr letni 2020/21

(2)

plan wykªadu

Ograniczenia dolne w oparciu o ETH i SETH:

I Problemy 3-CNF SAT, q-CNF SAT, SAT.

I ETH i SETH.

I Lemat o sparsykacji.

I Ograniczenia dolne w oparciu o ETH.

I ETH i jego konsekwencje dla problemów W [k]-trudnych.

I Ograniczenia dolne w oparciu o SETH.

(3)

Problem SAT

Problem SAT :

Wej±cie: Formuªa boolowska φ w konjunktywnej postaci normalnej CNF o n zmiennych i m klauzulach.

Wyj±cie: TAK wtw, gdy φ jest speªnialna.

Formuªa φ jest w konjunktywnej postaci normalnej CNF je»eli φ jest postaci:

φ = C

1

∧ C

2

∧ . . . ∧ C

m

, gdzie

C

i

= l

₁ⁱ

∨ l

₂ⁱ

∨ . . . ∨ l

_rⁱ_i

, l

_jⁱ

∈ { x

1

, ¬ x

1

, . . . , x

n

, ¬ x

n

}.

W powy»szej formule:

I C

i

to klauzule,

I l

_jⁱ

to literaªy,

I x

i

to zmienne.

(4)

q-SAT i 3-SAT

Problem q-SAT :

Wej±cie: Formuªa boolowska φ w postaci CNF o n zmiennych i m klauzulach, w którym ka»da klauzula skªada si¦ z co najwy»ej q literaªów.

Wyj±cie: TAK wtw gdy φ jest speªnialna.

(5)

Algorytmy wykªadnicze dla SAT i 3-SAT

Twierdzenie (Cook)

Problem SAT jest NP-zupeªny. Problem q-SAT jest NP-zupeªny dla ka»dego q ≥ 3.

Algorytmy wykªadnicze:

I Dla problemu q-SAT istnieje algorytmy o zªo»ono±ci O

^∗

( 2

^c^qⁿ

) , gdzie c

q

= 1 − Θ(

¹_q

) ,

I Dla problemu 3-SAT najlepszy aktualnie algorytm ma zªo»ono±¢ O

^∗

( 2

^0.387n

) , I Dla problemu SAT nie znaleziono dotychczas algorytmu o zªo»nono±ci (2 − )

ⁿ

dla »adnego > 0.

(6)

ETH i SETH

Zdeniujmy:

δ

_q

= inf {c : istnieje algorytm o zªo»ono±ci O

^∗

( 2

^cn

) dla q-SAT}.

Hipoteza ETH (Exponential-Time Hypothesis):

δ

₃

> 0.

Hipoteza SETH (Strong Exponential-Time Hypothesis):

q→∞

lim δ

_q

= 1.

(7)

ETH i algorytmy podwykªadnicze dla 3-SAT

ETH: Istnieje c > 0 takie, »e nie istnieje algorytm dla 3-SAT o zªo»ono±ci O

^∗

( 2

^cn

) . Negacja ETH : Dla ka»dego c > 0 istnieje algorytm dla 3-SAT o zªo»ono±ci O

^∗

( 2

^cn

) .

ETH ⇒ nie istnieje algorytm o zªo»ono±ci 2

^o(n)

(podwykªadniczy) dla 3-SAT.

Odwrotna implikacja nie wiadomo czy jest prawdziwa:

Z faktu, »e nie istnieje algorytm o zªo»ono±ci 2

^o(n)

dla 3-SAT nie musi wynika¢, »e nie

istnieje algorytm o zªo»ono±ci O

^∗

( 2

^cn

) dla pewnego c > 0.

(8)

SETH i algorytmy dla problemu SAT

Negacja SETH : lim

q→∞

δ

_q

< 1 (gdy» ci¡g δ

q

jest niemalej¡cy).

SETH ⇒ nie istnieje algorytm o zªo»ono±ci O

^∗

( 2

^cn

) dla »adnego c < 1 dla SAT lub równowa»nie, o zªo»ono±ci O

^∗

(( 2 − )

ⁿ

) dla »adnego > 0.

Nie wiadomo, czy prawdziwa jest implikacja odwrotna.

Z Negacja SETH nie wynika istnienie algorytmu o zªo»ono±ci O

^∗

( 2

^cn

) dla problemu SAT dla pewnego c < 1.

Co prawda, Negacja SETH implikuje istnienie uniwersalnej staªej c < 1 takiej, »e ka»dy

q-SAT mo»na rozwi¡za¢ w czasie O

^∗

( 2

^cn

) , ale nie implikuje tego, »e taki algorytm

istnieje dla problemu SAT (dla ka»dego q mo»e to by¢ istotnie inny algorytm).

(9)

Zbiór Niezale»ny. Minimalne Pokrycie Wierzchoªkowe

Problem Zbioru Niezale»nego:

Wej±cie: Graf G o N wierzchoªkach i M kraw¦dziach, liczba k.

Wyj±cie: TAK wtw, gdy G posiada zbiór niezale»ny rozmiaru ≥ k.

I jest zbiorem niezale»nym w G wtw, gdy V \ I jest pokryciem wierzchoªkowym w G.

(10)

Minimalne Pokrycie Maksymalny Zbiór Niezale»ny historia

Historia:

I O

^∗

( 1.26

ⁿ

) Tarjan, Trojanowski, I O

^∗

( 1.2346

ⁿ

) Jian,

I O

^∗

( 1.2278

ⁿ

) Robson,

I O

^∗

(1.2202

ⁿ

) Fomin, Grandoni, Kratsch, I O

^∗

( 1.2132

ⁿ

) Kneis, Langer, Rossmanith,

I O

^∗

( 1.2114

ⁿ

) Bourgeois, Escoer, Paschos, van Rooij

Przy zaªo»eniu ETH, istnieje granica tego ci¡gu, tzn. istnieje c > 1 takie, »e minimalnego pokrycia nie mo»na zrobi¢ szybciej ni» O

^?

( c

ⁿ

) .

ETH nie pozwala na wskazanie staªej c.

(11)

Minimalne Pokrycie Maksymalny Zbiór Niezale»ny historia

Historia:

I O

^∗

( 1.26

ⁿ

) Tarjan, Trojanowski, I O

^∗

( 1.2346

ⁿ

) Jian,

I O

^∗

( 1.2278

ⁿ

) Robson,

I O

^∗

(1.2202

ⁿ

) Fomin, Grandoni, Kratsch, I O

^∗

( 1.2132

ⁿ

) Kneis, Langer, Rossmanith,

I O

^∗

( 1.2114

ⁿ

) Bourgeois, Escoer, Paschos, van Rooij

Przy zaªo»eniu ETH, istnieje granica tego ci¡gu, tzn. istnieje c > 1 takie, »e minimalnego pokrycia nie mo»na zrobi¢ szybciej ni» O

^?

( c

ⁿ

) .

ETH nie pozwala na wskazanie staªej c.

(12)

Minimalne Pokrycie Maksymalny Zbiór Niezale»ny historia

Historia:

I O

^∗

( 1.26

ⁿ

) Tarjan, Trojanowski, I O

^∗

( 1.2346

ⁿ

) Jian,

I O

^∗

( 1.2278

ⁿ

) Robson,

I O

^∗

(1.2202

ⁿ

) Fomin, Grandoni, Kratsch, I O

^∗

( 1.2132

ⁿ

) Kneis, Langer, Rossmanith,

I O

^∗

( 1.2114

ⁿ

) Bourgeois, Escoer, Paschos, van Rooij

Przy zaªo»eniu ETH, istnieje granica tego ci¡gu, tzn. istnieje c > 1 takie, »e minimalnego pokrycia nie mo»na zrobi¢ szybciej ni» O

^?

( c

ⁿ

) .

ETH nie pozwala na wskazanie staªej c.

(13)

Problem Zbioru Niezale»nego

Klasyczna redukcja wielomianowa z problemu 3-SAT do problemu Zbioru Niezale»nego:

Dla instancji Φ problemu 3-SAT tworzymy graf G(Φ):

I dla ka»dej zmiennej x

i

w Φ dodajemy do G(Φ) dwa wierzchoªki (literaªowe) odpowiadaj¡ce literaªom x

i

oraz ¬x

i

i ª¡czymy je kraw¦dzi¡,

I dla ka»dej klauzuli C

i

= ( l

₁ⁱ

∨ l

₂ⁱ

∨ l

₃ⁱ

) w Φ dodajemy do G(Φ) trzy wierzchoªki (klauzulowe) l

₁ⁱ

, l

₂ⁱ

, l

₃ⁱ

odpowiadaj¡ce literaªom tej klauzuli i ª¡czymy je kraw¦dziami,

I ka»dy wierzchoªek klauzulowy l ª¡czymy kraw¦dzi¡ z wierzchoªkiem literaªowym

¬ l.

Mamy:

I graf G(Φ) ma N = 2n + 3m wierzchoªków i M = n + 6m kraw¦dzi,

I Φ jest speªnialna wtedy i tylko wtedy, gdy G(Φ) ma zbiór niezale»ny wielko±ci

n + m.

(14)

Problem Zbioru Niezale»nego

Przy zaªo»eniu ETH, problemu Zbioru Niezale»nego nie rozwi¡»emy w czasie O

^∗

( 2

^c^√³^N+M

) (a wi¦c i w czasie O

^∗

( 2

^o(^√³^N)

) ), gdzie c jest pewn¡ staª¡ tak¡, »e c > 0.

Dowód (skªadanie redukcji):

I Zaªó»my, »e dla ka»dego c > 0 problem Zbioru Niezale»nego mo»emy rozwi¡za¢

w czasie O

^∗

( 2

^c^√³^N+M

) .

I Dla ustalonego c > 0 niech A

c

b¦dzie algorytmem rozwi¡zujacym problem Zbioru Niezale»nego w czasie O

^∗

( 2

^c^√³^N+M

) .

I Niech Φ b¦dzie formuª¡ 3-SAT o n zmiennych i m klauzulach.

I Graf G(Φ) ma 2n wierzchoªków oraz 6m kraw¦dzi. Poniewa» m 6 8n

³

, mo»emy zaªo»y¢, »e G(Φ) ma

^C³₂ⁿ³

wierzchoªków i

^C³₂ⁿ³

kraw¦dzi (wystarczy wzi¡¢

C = 3).

I Podajemy graf G(Φ) algorytmowi A

c

i stwierdzamy, czy G(Φ) ma zbiór niezale»ny (równowa»nie, czy Φ jest speªnialna) mocy n + m w czasie O

^∗

( 2

^c^√³^2n+3m

) 6 O

^∗

( 2

^c^√³^C³ⁿ³

) = O

^∗

( 2

^cCn

) .

I Z dowolno±ci wyboru c, problem 3-SAT mo»na rozwi¡za¢ w czasie O

^∗

( 2

^cn

) dla

ka»dego c > 0, sprzeczno±¢ z ETH.

(15)

Problem Zbioru Niezale»nego

Ograniczenia dla problemu Zbioru Niezale»nego:

I dolne: 2

^c^√³^N

dla pewnego c > 0, I górne: O

^∗

(( 1.2108)

^N

).

Czy mo»na poprawi¢ to ograniczenie (górne? dolne?)

Sk¡d si¦ bierze ograniczenie dolne:

I Formuªa z n zmiennymi mo»e mie¢ O(n

³

) klauzul, co prowadzi do grafów o O(n

³

) wierzchoªkach.

I Zakªadaj¡c ETH mo»emy odrzuci¢ istnienie algorytmów o zªo»ono±ci O

^∗

( 2

^c^√³^N

)

dla ka»dego c > 0.

(16)

Lemat o rozrzedzaniu

Twierdzenie (Impagliazzo, Paturi, Zane)

Dla ka»dego q > 3 oraz > 0 istnieje algorytm Sparsify(q, ), który dla podanej na wej±ciu klauzuli φ o n zmiennych b¦d¡cych w postaci q-CNF-SAT zwraca list¦ klauzul ψ

₁

, . . . , ψ

_t

w postaci q-CNF, przy jednoczesnym speªnieniu nastepuj¡cych warunków:

I φ jest speªnialna wtedy i tylko wtedy, gdy ψ

i

jest speªnialne dla pewnego i ∈ [t], czyli φ = ∨

^t_i=1

ψ

_i

,

I ka»de ψ

i

jest okre±lone na tych samych zmiennych co φ i zawiera co najwy»ej Kn klauzul, gdzie K zale»y od q i ,

I Sparsify(q, ) dziaªa w czasie O

^∗

( 2

ⁿ

) oraz dodatkowo t 6 O

^∗

( 2

ⁿ

) .

(17)

Konsekwencje lematu o rozrzedzaniu

Lemat

Zakªadaj¡c ETH, problemu 3-SAT nie mo»na rozwi¡za¢ w czasie O

^∗

( 2

^c(n+m)

) dla pewnego c > 0.

Dowód (nie wprost):

I Zaªó»my, »e dla ka»dego c > 0 istnieje algorytm A

c

rozwi¡zuj¡cy problem 3-SAT w czasie O

^∗

( 2

^c(n+m)

) .

I Ustalmy > 0. Z Lematu o Rozrzedzaniu, w czasie O

^∗

( 2

ⁿ

) mo»emy sprowadzi¢ ka»d¡ formuª¦ φ b¦d¡c¡ w postaci 3-CNF-SAT do postaci

φ = ∨

^t_i=1

ψ

_i

,

gdzie t 6 2

ⁿ

oraz ψ

i

jest 3-CNF formuª¡ na tym samym zbiorze zmiennych i Kn klauzulach, gdzie K = K(, 3) jest staª¡ zale»n¡ od wyboru .

I Speªnialno±¢ ka»dego ψ

i

mo»emy sprawdzi¢ algorytmem A

c

w czasie O

^∗

( 2

^c(n+Kn)

) = O

^∗

( 2

^c(1+K)n

) .

I Speªnialno±¢ φ mo»emy sprawdzi¢ w czasie O

^∗

( 2

ⁿ

· 2

^c(1+K)n

) = O

^∗

( 2

⁽⁺^c(1+K))n

) .

I Z dowolno±ci wyboru i c, problem 3-SAT mo»emy rozwi¡za¢ w czasie 2

^dn

dla

ka»dego d > 0, co jest sprzeczne z ETH.

(18)

Ograniczenia dolne wynikaj¡ce z ETH

Zakªadaj¡c ETH mo»emy wykaza¢, »e problemu Zbioru Niezale»nego nie mo»na rozwi¡za¢ w czasie O

^∗

( 2

^c(N+M)

) dla pewnego c > 0 (a zatem i w czasie O

^∗

( 2

^cN

) dla pewnego c > 0, czy te» w czasie 2

^o(N)

).

Dowód:

I Zaªó»my, »e dla ka»dego c > 0 problem Zbioru Niezale»nego mo»emy rozwi¡za¢

w czasie O

^∗

( 2

^c(N+M)

) algorytmem A

c

.

I Niech φ b¦dzie formuª¡ w postaci 3-CNF o n zmiennych i m klauzulach.

I Graf G(φ) ma N = 2n + 3m wierzchoªków i M = n + 6m kraw¦dzi.

I Algorytmem A

c

, w czasie O

^∗

( 2

c(2n+3m+n+6m)

) , mo»emy sprawdzi¢ czy G(φ) ma zbiór niezale»ny wielko±ci n + m, co jest równowa»ne temu, czy φ jest speªnialna.

I Z dowolno±ci wyboru c, 3-SAT mo»na rozwi¡za¢ w czasie O

^∗

( 2

^c(n+m)

) dla

ka»dego c > 0, co jest sprzeczne z ETH.

(19)

Ograniczenia dolne wynikaj¡ce z ETH

Przy zaªo»eniu ETH mo»emy pokaza¢, »e problemu I Pokrycia Wierzchoªkowego,

I 3-Kolorowania,

I Zbioru Dominuj¡cego,

I Cyklu Hamiltona,

I Zbioru Rozcyklaj¡cego,

nie mo»na rozwi¡za¢ w czasie 2

^o(N)

.

(20)

ETH i grafy planarne

Problem Planarny 3-SAT :

Wej±cie: Planarna formuªa φ w postaci 3−CNF.

Wyj±cie: TAK wtedy i tylko wtedy, gdy φ jest speªnialna.

Dla formuªy φ w postaci CNF tworzymy graf G(φ) nast¦pujaco:

I wierzchoªkami G(φ) s¡ zmienne φ i klauzule φ,

I istnieje kraw¦d¹ mi¦dzy zmienn¡ x a klauzul¡ c je»eli w c wyst¦puje literaª x b¡d¹ literaª ¬x.

Formuªa φ w postaci CNF jest planarna je»eli graf G(φ) jest planarny.

(21)

ETH i grafy planarne

Twierdzenie (Lichtenstein)

Problem Planarny 3-SAT jest NP-zupeªny.

Redukcja: Dla formuªy φ o n zmiennych i m klauzulach równowa»na jej formuªa planarna ma O((n + m)

²

) zmiennych i klauzul.

Zakªadaj¡c ETH mo»emy wykaza¢, »e problemy:

I Pokrycia Wierzchoªkowego, I 3-Kolorowania,

I Zbioru Dominuj¡cego, I Cyklu Hamiltona, I Zbioru Rozcyklaj¡cego,

w klasie grafów planarnych nie maj¡ algorytmów dziaªaj¡cych w czasie 2

^o(^√^N)

(a maj¡

algorytmy o zªo»ono±ci 2

^O(^√^N)

: dynamik po szerko±ci drzewowej).

(22)

SETH implikuje ETH

Twierdzenie

SETH ⇒ ETH.

Wskazówka: Wyka», »e je»eli δ

3

= 0 to δ

q

= 0 dla ka»dego q > 3 (¢wiczenia).

(23)

ETH implikuje FPT 6= W [1]

Lemat

Przy zaªo»eniu ETH, problemu Kliki nie mo»na rozwi¡za¢ w czasie f (k)n

^o(k)

dla

»adnej funkcji obliczalnej f .

Poka»emy, »e je»eli istnieje algorytm A dla problemu Kliki dziaªaj¡cy w czasie f (k)n

^s(k)^k

, gdzie f jest funkcj¡ obliczaln¡ a s : N → N jest niemalej¡c¡ i nieograniczon¡

funkcj¡, to problem 3-Kolorowania mo»na rozwi¡za¢ w czasie 2

^o(n)

, co przeczy ETH.

(24)

ETH implikuje FPT 6= W [1]

Lemat

Przy zaªo»eniu ETH, problemu Kliki nie mo»na rozwi¡za¢ w czasie f (k)n

^o(k)

dla

»adnej funkcji obliczalnej f . Dowód:

I Niech G b¦dzie grafem wej±ciowym o n wierzchoªkach.

I Dzielimy wierzchoªki grafu na k równolicznych grup V

1

, . . . , V

_k

(k zale»y od n);

chcemy, aby k byªo takie, »e

f (k) 6 n, k

^s(1)^k

6 n, oraz k → ∞ gdy n → ∞.

I Graf H tworzymy nast¦puj¡co:

I

ka»de poprawne 3-kolorowanie V

i

reprezentujemy wierzchoªkiem z grupy i w konstruowanym grae H,

I

ª¡czymy kraw¦dziami dwa wierzchoªki z H je»eli s¡ z ró»nych grup oraz je»eli odpowiadaj¡ zgodnym 3-kolorowaniom.

I Sprawdzamy algorytmem A czy H ma klik¦ wielko±ci k, co jest równowa»ne

sprawdzeniu, czy G ma poprawne 3-kolorowanie.

(25)

ETH implikuje FPT 6= W [1]

Lemat

Przy zaªo»eniu ETH, problemu Kliki nie mo»na rozwi¡za¢ w czasie f (k)n

^o(k)

dla

»adnej funkcji obliczalnej f . Czas dziaªania algorytmu A:

I Liczba wierzchoªków grafu H jest ograniczona przez |V (H)| 6 k · 3

^dⁿ^k^e

= 2

^o(n)

. I Liczba kraw¦dzi grafu H jest ograniczona przez 2

^o(n)

· 2

^o(n)

= 2

^o(n)

.

I Czas dziaªania algorytmu A na grae H:

f (k)|V (H)|

^s(k)^k

6 n(k · 3

^dⁿ^k^e

)

s(k)k

z f (k) 6 n

6 n · k

^s(k)^k

· 3

^dⁿ^k^e·^s(k)^k

6 n · n · 3

^dⁿ^k^e·^s(k)^k

z k

^s(k)^k

6 k

^s(1)^k

6 f (k) 6 n

= 2

^o(n)

z s(k) → ∞ dla n → ∞.

(26)

Ograniczenia dolne w oparciu o SETH dla algorytmów wielomianowych

Problem Zbiór Dominuj¡cy Wielko±ci 3:

Wej±cie: Graf G o N wierzchoªkach i M kraw¦dziach

Wyj±cie: TAK je»eli w G istnieje zbiór dominuj¡cy rozmiaru 6 3.

Problem Zbioru Dominuj¡cego Wielko±ci 3 ma algorytm o zªo»onosci n

⁴

.

Poka»emy, »e przy zaªo»eniu SETH, dla ka»dego > 0 problem Zbioru Dominuj¡cego

Wielkosci 3 nie ma algorytmu o zªo»onosci n

³⁻

.

(27)

SETH a algorytmy wielomianowe

Przy zaªo»eniu SETH, dla ka»dego > 0 problem Zbioru Dominuj¡cego Wielkosci 3 nie ma algorytmu o zªo»onosci n

³⁻

.

Dowód:

I Zaªó»my, »e problem Zbioru Dominuj¡cego Wielko±ci 3 ma algorytm A o zªo»ono±ci O(n

³⁻

) dla pewnego > 0.

I Wyka»emy, »e istnieje staªa c < 1 taka, »e dla ka»dego q ≥ 3 problem q-SAT mo»na rozwi¡za¢ w czasie O

^∗

( 2

^cn

) , co b¦dzie przeczy¢ SETH.

I Niech φ b¦dzie formuª¡ CNF-SAT o n zmiennych i m klauzulach. Dla formuªy φ konstruujemy graf H. Dzielimy zmienne φ na 3 grupy i:

I

dla ka»dego warto±ciowania zmiennych z grupy i w grae H istnieje odpowiadaj¡cy mu wierzchoªek, wierzchoªki ka»dej grupy ª¡czymy w klik¦,

I

dla ka»dej klauzli w grae H istnieje odpowiadaj¡cy jej wierzchoªek,

I

ª¡czymy kraw¦dzi¡ wierzchoªek reprezentuj¡cy cz¦±ciowe warto±ciowanie z

wierzchoªkiem reprezentuj¡cym te klauzule, które przez to warto±ciowanie

s¡ speªnione.

(28)

SETH a algorytmy wielomianowe

Przy zaªo»eniu SETH, dla ka»dego > 0 problem Zbioru Dominuj¡cego Wielko±ci 3 nie ma algorytmu o zªo»onosci n

³⁻

.

Dowód:

I Klauzula φ jest speªnialna wtedy i tylko wtedy, gdy w H istnieje zbiór dominuj¡cy wielko±ci 3.

I Graf H ma co najwy»ej 3 · 2

^dⁿ³^e

+ m = O

^?

( 2

ⁿ³

) wierzchoªków oraz co najwy»ej 3 · 2

^dⁿ³^e

· 2

^dⁿ³^e

· m = O

^?

( 2

²ⁿ³

) kraw¦dzi.

I Algorytm A stwierdza, czy w grae H jest zbiór dominuj¡cy wielko±ci 3 (a wi¦c

czy φ jest speªnialna) w czasie O

^?

( 2

^dⁿ³^e·(³⁻⁾

) = O

^?

( 2

ⁿ⁽¹⁻³⁾

) , a wi¦c w czasie

2

^cn

dla pewnego c < 1.

(29)

SETH a algorytmy wielomianowe

Problem Odlegªo±¢ Edycyjna:

Wej±cie: Dwa sªowa w

1

, w

2

nad alfabetem oraz liczba k

Wyj±cie: Tak je»eli u»ywaj¡c co nawy»ej k operacji dodawania, usuwania, lub zamiany dwóch symboli, mo»na sªowo w

1

przeksztaªci¢ w sªowo w

2

Algorytmika Problemów Trudnych Wykªad 9