Algorytmika Problemów Trudnych Wykªad 5

(1)

Algorytmika Problemów Trudnych

Wykªad 5 Tomasz Krawczyk

krawczyk@tcs.uj.edu.pl

Kraków, semestr letni 2020/21

(2)

plan wykªadu

I Redukcje Parametryzowane.

I W-hierarchia.

(3)

Problem Kliki

Problem Kliki:

Wej±cie: Graf G oraz parametr k.

Wyj±cie: Tak wtedy i tylko wtedy, gdy w G znajduje si¦ klika rozmiaru k.

Pomimo wielu wysiªków nie udowodniono dotychczas przynale»no±ci Problemu Kliki do klasy FPT.

Hipoteza: Problem Kliki nie jest w klasie FPT, tzn. nie istnieje algorytm dla Problemu Kliki dziaªaj¡cy w czasie f (k)n

^O(1)

.

Powy»sza hipoteza jest mocniejsza od hipotezy P 6= NP.

Zakªadaj¡c prawdziwo±¢ powy»szej hipotezy mo»emy udowodni¢, »e wiele

innych naturalnych problemów parametryzowanych nie jest w klasie FPT.

(4)

Redukcje Parametryzowane

Denicja

Dane s¡ dwa problemy parametryzowane L

1

, L

2

⊆ Σ

^∗

× N. Algorytm T nazywamy redukcj¡ parametryzowan¡ problemu L

1

do problemu L

2

je»eli dla instancji wej±ciowej (x, k) problemu L

1

algorytm T zwraca instancj¦ (x

⁰

, k

⁰

) problemu L

2

zachowuj¡c jednocze±nie nastepuj¡ce warunki:

I ( x, k) jest TAK instancj¡ L

1

wtedy i tylko wtedy, gdy (x

⁰

, k

⁰

) jest TAK instancj¡ problemu L

2

,

I k

⁰

6 g (k) dla pewnej funkcji obliczalnej g ,

I czas dziaªania algorytmu T na instancji wej±ciowej (x, k) jest ograniczony

przez f (k)|x|

^O(1)

, gdzie f pewn¡ funkcj¡ obliczaln¡.

(5)

Redukcje parametryzowane

Lemat

Je»eli istnieje redukcja parametryzowana T problemu L

1

do problemu L

2

oraz j¦zyk L

2

jest w klasie FPT, to j¦zyk L

1

jest równie» w klasie FPT.

Dowód:

I Zaªó»my, »e B jest algorytmem testuj¡cym przynale»no±¢ instancji (x

⁰

, k

⁰

) do L

2

w czasie h(k

⁰

)| x

⁰

|

^O(1)

(L

2

jest FPT).

I Algorytm A testuj¡cy przynale»no±¢ (x, k) do j¦zyka L

1

:

I

przeksztaª¢ algorytmem redukcji T instancj¦ (x, k) problemu L ₁ do równowa»nej instancji (x ⁰ , k ⁰ ) problemu L ₂ ,

I

zaakceptuj (x, k) wtedy i tylko wtedy, gdy algorytm B

akceptuje (x ⁰ , k ⁰ ) .

(6)

Redukcje Parametryzowane

Lemat

Je»eli istnieje redukcja parametryzowana T problemu L

1

do problemu L

2

oraz j¦zyk L

2

jest w klasie FPT, to j¦zyk L

1

jest równie» w klasie FPT.

Dowód (c.d.):

I Poprawno±¢ algorytmu A wynika z faktu, i» redukcja T przeksztaªca TAK/NIE instancje L

1

w TAK/NIE instancje problemu L2.

I Czas dziaªania algorytmu A na instancji wej±ciowej (x, k) jest ograniczony przez sum¦

I

czasu dziaªania algorytmu T, czyli f (k)|x| ^O(1) , oraz

I

czasu dziaªania algorytmu B, czyli h(k ⁰ )| x ⁰ | ^O(1) .

I Zakªadaj¡c, »e k

⁰

6 g (k) oraz |x

⁰

| 6 f (k)|x|

^O(1)

, ª¡czny czas dziaªania algorytmu A jest ograniczony przez F (k)|x|

^O(1)

,

I Problem L

1

jest zatem w klasie FPT.

(7)

Redukcje parametryzowane

Lemat (Przechodnio±¢ Redukcji Parametryzowanych)

Je»eli istnieje redukcja parametryzowana z j¦zyka L

1

do j¦zyka L

2

oraz z j¦zyka L

2

do j¦zyka L

3

, to istnieje równie» redukcja parametryzowana z j¦zyka L

1

do j¦zyka L

3

.

Dowód: Podobny jak w lemacie poprzednim.

(8)

Ró»nobarwna Klika

Problem Ró»nobarwnej Kliki:

Wej±cie: : Graf G oraz podziaª zbioru wierzchoªków V (G) na k-zbiorów:

V

1

, . . . , V

_k

, parametr: k.

Wyj±cie: : TAK wtedy i tylko, gdy istnieje k-wierzchoªkowa klika {v

1

, . . . , v

k

} taka, »e v

i

∈ V

i

.

Interpretacja:

I V

i

wierzchoªki koloru i.

I { v

1

, . . . , v

k

} ró»nobarwna klika.

(9)

Przykªady Redukcji Parametryzowanych

Lemat

Istnieje parametryzowana redukcja z Problemu Kliki do Problemu Ró»nobarwnej Kliki.

Dowód:

I niech (G, k) b¦dzie instancj¡ wej±ciow¡ Problemu Kliki, I konstruujemy graf G

⁰

z grafu G nastepuj¡co:

I

tworzymy k kopii grafu G: G ¹ , . . . , G ^k ,

I

dla ka»dej kraw¦dzi {u, v} w G oraz dla ka»dego i 6= j, dodaj kraw¦d¹ pomi¦dzy wierzchoªkiem u z i-tej kopii oraz

wierzchoªkiem v z j-tej kopii.

I zauwa»my, »e graf (G, k) ma klik¦ liczno±ci k wtedy i tylko wtedy, gdy ( G

⁰

, V (G

¹

), . . . , V (G

^k

), k) jest TAK instancj¡ Problemu Ró»nobarwnej Kliki.

I Redukcja speªnia wszystkie wymagania redukcji parametryzowanej.

(10)

(Ró»nobarwny) Zbiór Niezale»ny

Problem Zbioru Niezale»nego:

Wej±cie: : Graf G oraz parametr k.

Wyj±cie: : TAK wtedy i tylko, gdy istnieje zbiór niezale»ny liczno±ci k w G.

Problem Ró»nobarwnego Zbioru Niezale»nego:

Wej±cie: : Graf G oraz podziaª zbioru wierzchoªków V (G) na k-zbiorów:

V

1

, . . . , V

k

, parametr: k.

Wyj±cie: : TAK wtedy i tylko, gdy istnieje k-wierzchoªkowy zbiór niezale»ny

{v

1

, . . . , v

k

} taki, »e v

i

∈ V

i

.

(11)

(Ró»nobarwny) Zbiór Niezale»ny

Lemat

I Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Kliki do Problemu Zbioru Niezale»nego.

I Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Ró»nobarwnej Kliki do Problemu Ró»nobarwnego Zbioru Niezale»nego.

Redukcja: Przeksztaª¢ (ró»nobarwny) graf wej±ciowy w graf G, gdzie G jest

dopeªnieniem grafu G.

(12)

Redukcje Parametryzowane

Nietrudno równie» jest zauwa»y¢, »e prawdziwy jest nastepuj¡cy lemat.

Lemat

I Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Ró»nobarwnej Kliki do Problemu Kliki.

I Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Ró»nobarwnego Zbioru Niezale»nego do Problemu Zbioru Niezale»nego.

Wniosek: Problemy: Kliki, Ró»nobarwnej Kliki, Zbioru Niezale»nego, Ró»nobarwnego Zbioru Niezale»nego wzajemnie si¦ do siebie redukuj¡ (w sposób parametryzowany).

Uwaga: Powy»sze redukcje s¡ równie» redukcjami wielomianowymi.

(13)

Pokrycie Wierzchoªkowe

Problem Pokrycia Wierzchoªkowego:

Wej±cie: : Graf G oraz parametr k.

Wyj±cie: : TAK wtedy i tylko, gdy w zbiorze V istnieje zbiór {v

1

, . . . , v

k

} przecinaj¡cy wszystkie kraw¦dzie, zwany pokryciem wierzchoªkowym V . Graf G ma pokrycie wierzchoªkowe rozmiaru k wtedy i tylko wtedy, gdy G ma zbiór niezale»ny licznosci n − k.

Oznacza to, »e:

I istnieje redukcja wielomianowa z Problemu Zbioru Niezale»nego do Problemu Pokrycia Wierzchoªkowego.

I Redukcja ta nie jest redukcj¡ parametryzowan¡: redukcja przeksztaªca instancj¦

( G, k) Problemu Zbioru Niezale»nego w równowa»n¡ instancj¦ (G, k

⁰

= n − k) Problemu Pokrycia Wierzchoªkowego, a zatem nie zachowuje warunku k

⁰

6 g (k) dla »adnej funkcji obliczalnej g .

Zauwa»my jednak, »e:

I istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Pokrycia Wierzchoªkowego do

Problemu Zbioru Niezale»nego: rozstrzygamy instancj¦ wej±ciow¡ (G, k)

Problemu Pokrycia Wierzchoªkowego w czasie f (k)n

^O(1)

(wiemy, »e problem

jest w klasie FPT) i zwracamy równowa»n¡ trywialn¡ instancj¦ Problemu

Zbioru Niezale»nego.

(14)

Zbiór dominuj¡cy

Problem Zbioru Dominuj¡cego:

Wej±cie: : Graf G oraz parametr k.

Wyj±cie: : TAK wtedy i tylko, gdy w zbiorze V istnieje zbiór {v

1

, . . . , v

k

} dominuj¡cy V , to jest taki, »e N[{v

1

, . . . , v

k

}] = V .

Lemat

Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Ró»nobarwnego Zbioru

Niezale»nego do Problemu Zbioru Dominuj¡cego.

(15)

Zbiór Dominuj¡cy

Lemat

Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Ró»nobarwnego Zbioru Niezale»nego do Problemu Zbioru Dominuj¡cego.

Dowód:

I Niech (G, V

1

, . . . , V

k

, k) b¦dzie instancj¡ wej±ciow¡ Problemu Ró»nobarwnego Zbioru Niezale»nego.

I Graf G

⁰

tworzymy z grafu G nast¦puj¡co:

I

dla ka»dego i, zbiór V

i

w grae G

⁰

staje si¦ klik¡,

I

dokªadamy dwa niezale»ne (niepoª¡czone kraw¦dzi¡) wierzchoªki x

i

oraz y

i

, wierzchoªki te ª¡czymy kraw¦dziami z wierzchoªkami ze zbioru V

i

,

I

dla ka»dej kraw¦dzi {u, v} grafu G, gdzie u ∈ V

i

, v ∈ V

j

, oraz i 6= j, dodajemy wierzchoªek e

{u,v}

: wierzchoªek ten poª¡czony jest kraw¦dzi¡

tylko z wierzchoªkami ze zbioru V

i

\ { u} oraz ze zbioru V

j

\ { v}.

I Uzasadnimy, »e (G, V

1

, . . . , V

_k

, k) jest TAK instacj¡ Problemu

Ró»nobarwnego Zbioru Niezale»nego wtw gdy (G

⁰

, k) jest TAK instancj¡

Problemu Zbioru Dominuj¡cego.

(16)

Zbiór Dominuj¡cy

Lemat

Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Ró»nobarwnego Zbioru Niezale»nego do Problemu Zbioru Dominuj¡cego.

Dowód. Pozostaje wykaza¢, »e (G, V

1

, . . . , V

k

, k) jest TAK instacj¡ Problemu Ró»nobarwnego Zbioru Niezale»nego wtw gdy (G

⁰

, k) jest TAK instancj¡ Problemu Zbioru Dominujacego.

I Zaªó»my, »e (G, V

1

, . . . , V

k

, k) jest TAK instacj¡ Problemu Ró»nobarwnego Zbioru Niezale»nego, tzn. istnieje zbiór niezale»ny {v

1

, . . . , v

k

} taki, »e v

i

∈ V

i

,

I atwo sprawdzi¢, »e {v

1

, . . . , v

_k

} dominuje V (G

⁰

) :

I

v

i

dominuje V

i

∪ { x

i

, y

i

} ,

I

{ v

1

, . . . , v

k

} dominuje wierzchoªki typu w

{u,v}

: je»eli w

u,v

nie jest zdominowany, to z konstrukcji G

⁰

wynika, »e {u, v} ⊂ {v

1

, . . . , v

_k

} , co by¢ nie mo»e, gdy» {u, v} jest kraw¦dzi¡ w G.

I Zaªó»my teraz, »e istnieje zbiór dominuj¡cy D w G

⁰

taki, »e |D| 6 k,

I Aby zdominowa¢ wszystkie V

i

∪ { x

i

, y

i

} , D musi mie¢ dokªadnie jeden element w ka»dym V

i

.

I Poniewa» D dominuje wszystkie wierzchoªki typu w

u,v

grafu G

⁰

, z konstrukcji

G

⁰

wynika, »e D jest zbiorem niezale»nym w G.

(17)

Zbiór Dominuj¡cy

Lemat

Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Ró»nobarwnego Zbioru Niezale»nego do Problemu Zbioru Dominuj¡cego.

Jak dotychczas nie znaleziono parametryzowanej redukcji z Problemu Zbioru Dominuj¡cego do Problemu Ró»nobarwnego Zbioru Niezale»nego. Przypuszcza si¦, »e problemy te maj¡ inny poziom trudno±ci.

Dla kontrastu, wszystkie problemy NP-zupeªne wzajemnie si¦ do siebie redukuj¡ (w

sposób wielomianowy).

(18)

Inne Problemy Parametryzowane

Problem Pokrycia Zbiorami:

Wej±cie: Zbiór uniwersalny U, zbiory U

1

, . . . , U

n

⊆ U, oraz parametr k.

Wyj±cie: TAK wtedy i tylko, gdy w zbiorze {U

1

, . . . , U

n

} istnieje k zbiorów { U

i1

, . . . , U

i_k

} takich, »e S

^k_j=1

U

i_j

= U (mówimy wówczas, »e zbiory U

i1

, . . . , U

i_k

pokrywaj¡ U).

Problem Zbioru Przecinaj¡cego:

Wej±cie: Zbiór uniwersalny U, zbiory U

1

, . . . , U

n

⊆ U, oraz parametr k.

Wyj±cie: TAK wtedy i tylko, gdy istnieje zbiór H taki, »e |H| 6 k oraz H ∩ U

i

6= ∅ dla ka»dego i.

Lemat

Problemy: Zbioru Dominuj¡cego, Pokrycia Zbiorami, Zbioru Przecinaj¡cego

wzajemnie si¦ do siebie redukuj¡ (w sposób parametryzowany).

(19)

Dominacja w Turniejach

Problem Zbioru Dominuj¡cego w Turnieju:

Wej±cie: Turniej T oraz parametr k.

Wyj±cie: TAK wtedy i tylko, gdy istnieje zbiór {v

1

, . . . , v

k

} ⊂ V (T ) w turnieju T dominuj¡cy wszystkie wierzchoªki z V (T ), tzn. taki, »e dla ka»dego u ∈ V (T ) istnieje v

i

∈ { v

1

, . . . , v

k

} taki, »e u → v

i

b¡d¹ u = v

i

(v

i

dominuje u).

Lemat

Ka»dy n wierzchoªkowy turniej ma zbiór dominujacy rozmiaru O(log n).

Dowód. Zauwa», »e w ka»dym turnieju istnieje wierzchoªek, który dominuje co najmniej poªow¦ wierzchoªków grafu.

Uwaga:

I Problem Zbioru Dominuj¡cego w Turnieju mo»na rozwi¡za¢ w czasie O(n

^{log n}

) .

I Przypuszcza si¦, »e problemy zupeªne w klasie NP nie maja algorytmów o zªo»ono±ci n

^{log n}

.

I Problem Zbioru Dominuj¡cego w Turnieju nie jest raczej NP-trudny.

I Mo»na pokaza¢ jednak, »e istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Zbioru Dominuj¡cego (a zatem z Problemu Kliki do Problemu Zbioru Dominuj¡cego w Turniejach),

I W ci¡gu redukcji z Problemu Kliki do Problemu Zbioru Dominujacego w

Turniejach przynajmniej jedna redukcja nie jest wielomianowa (inaczej

pokazaliby±my, »e Problem Zbioru Dominuj¡cego w Turniejach jest

NP-trudny).

(20)

Dominacja w Turniejach

Lemat

Istnieje redukcja parametryzowana z Problemu Pokrycia Zbiorami do Problemu Zbioru Dominuj¡cego w Turniejach

Istnieje turniej (o wielko±ci co najmniej 2

^k

), który nie ma zbioru dominuj¡cego

rozmiaru k.

(21)

Sieci boolowskie

Denicja

Sieci¡ boolowsk¡ nazywamy acykliczny graf skierowany, którego wierzchoªki (zwane bramkani) s¡ etykietowane zgodnie z zasad¡

I ka»da bramka o stopniu wej±ciowym 0 jest bramk¡ wej±ciow¡ , I ka»da bramka o stopniu wej±ciowym 1 jest bramk¡ NOT ,

I ka»da bramka o stopniu wej±ciowym ≥ 2 jest bramk¡ AND albo bramk¡ OR.

I istnieje dokªadnie jedna bramka o stopniu wyj±ciowym 0, która oblicza warto±¢

sieci dla ka»dego warto±ciowania bramek wej±ciowych.

Bramk¦ nazywamy du»¡ je»eli jej stopie« wej±ciowy jest ≥ 3; w przeciwnym przypadku bramk¦ nazwiemy maª¡.

Wysoko±ci¡ sieci boolowskiej jest dªugo±¢ najdªu»szej ±cie»ki od bramki wej±ciowej do

bramki wyj±ciowej.

(22)

Paramteryzowany problem speªnialno±ci w sieciach boolowskich

Problem k-speªnialno±ci sieci boolowskich:

Wej±cie: Sie¢ boolowska S oraz parametr k.

Wyj±cie: TAK wtedy i tylko, gdy istnieje warto±ciowanie speªniaj¡ce S przypisuj¡ce dokªadnie k bramkom wej±ciowym warto±ci 1 (mówimy wtedy, »e S jest k-speªnialna).

Obserwacja:

Problem k-speªnialno±ci sieci boolowskich nale»y do klasy XP.

Klasa XP zawiera problemy parametryzowane, które mo»emy rozwi¡za¢ w czasie n

^{f (k)}

dla pewnej funkcji obliczalnej f .

(23)

Parametryzowany problem speªnialno±ci w sieciach boolowskich

W (t, h) bramki o wysoko±ci 6 h, na ka»dej scie»ce od bramki wej±ciowej do bramki wyj±ciowej znajduje si¦ co najwy»ej t du»ych w¦zªów.

Problem speªnialno±ci w klasie bramek boolowskich W (t, h):

Wej±cie: Bramka S z klasy W (t, h), parametr k.

Wyj±cie: Tak wtedy i tylko wtedy gdy S jest k-speªnialna.

(24)

Klasa W [t]

Denicja

Parametryzowany problem L nale»y do klasy W [t] je»eli istnieje parametryzowana redukcja z problemu L do problemu k-speªnialno±ci sieci boolowskich W (t, h) dla pewnego ustalonego h.

I Problem zbioru niezale»nego nale»y do klasy W [1].

I Problem zbioru dominuj¡cego nale»y do klasy W [2].

(25)

Problemy W [t]-trudne i W [t]-zupeªne

Denicja

Parametryzowany problem L jest W [t]-trudny je»eli ka»dy problem z klasy W [t]

mo»na w sposób parametryzowany zredukowa¢ do L.

Denicja

Parametryzowany problem L jest W [t]-zupeªny je»eli jest w klasie W [t] oraz jest

W [t]-trudny.

(26)

Problemy W [k]-zupeªne

Twierdzenie (Downey, Fellows)

I Problem Kliki jest W [1]-zupeªny.

I Problem Zbioru Dominuj¡cego jest W [2]-zupeªny.

I Dla ka»dego t ≥ 2, problem (t + 1)-poziomowych sieci znormalizowanych jest W [t]-zupeªny.

Sie¢ boolowska S jest sieci¡ znormalizowan¡, (t + 1)-poziomow¡ je»eli:

I na poziomie 1 znajduj¡ si¦ bramki NOT,

I na i-tym poziomie znajduj¡ si¦ albo same bramki OR albo same bramki AND, przy czym bramki te si¦ alternuj¡ (je»eli na i-tym poziomie s¡ bramki OR (maªe i du»e), to na (i + 1)-wszym poziomie s¡ bramki AND (maªe i du»e), i

odwrotnie...), na ostatnim, (t + 1)-wszym poziome jest jedna du»a bramka AND, I wszystkie w¦zªy mog¡ by¢ du»e, wej±cia bramek z poziomu (i + 1) wychodz¡ z

bramek na poziomie i-tym, z wyª¡czeniem bramek poziomu 2, które przyjmuj¡

warto±ci z bramek poziomu 1 oraz z bramek wej±ciowych.

Przykªad. Warto±ciowania formuªy

( x

1

∨ ¬ x

2

∨ x

3

) ∧ (¬ x

1

∨ ¬ x

2

∨ ¬ x

3

) ∧ (¬ x

1

∨ x

2

∨ ¬ x

3

)

mo»emy oblicza¢ znormalizowan¡ 3-poziomow¡ sieci¡ boolowsk¡.

(27)

Problemy W [k]-zupeªne - praktyka

Aby pokaza¢, »e problem L jest W [1]-trudny (co wyklucza algorytm f (k)n

^O(1)

), nale»y poda¢ redukcj¦ parametryzowan¡ z problemu kliki do problemu L.

Aby pokaza¢, »e problem L nale»y do klasy W [1] nale»y poda¢ redukcj¦

parametryzowan¡ z L do problemu kliki.

Podobnie dla problemów W [2]-trudnych i z klasy W [2] (problem kliki zast¦pujemy

problemem np. pokrycia zbiorami).

(28)

Algorytmika Problemów Trudnych Wykªad 5

Algorytmika Problemów Trudnych

Wykªad 5 Tomasz Krawczyk

krawczyk@tcs.uj.edu.pl

Kraków, semestr letni 2020/21

plan wykªadu

I Redukcje Parametryzowane.

I W-hierarchia.

Problem Kliki

Problem Kliki:

Wej±cie: Graf G oraz parametr k.

Wyj±cie: Tak wtedy i tylko wtedy, gdy w G znajduje si¦ klika rozmiaru k.

Pomimo wielu wysiªków nie udowodniono dotychczas przynale»no±ci Problemu Kliki do klasy FPT.

Hipoteza: Problem Kliki nie jest w klasie FPT, tzn. nie istnieje algorytm dla Problemu Kliki dziaªaj¡cy w czasie f (k)n

.

Powy»sza hipoteza jest mocniejsza od hipotezy P 6= NP.

Zakªadaj¡c prawdziwo±¢ powy»szej hipotezy mo»emy udowodni¢, »e wiele

innych naturalnych problemów parametryzowanych nie jest w klasie FPT.

Redukcje Parametryzowane

Denicja

Dane s¡ dwa problemy parametryzowane L

, L

⊆ Σ

× N. Algorytm T nazywamy redukcj¡ parametryzowan¡ problemu L

do problemu L

je»eli dla instancji wej±ciowej (x, k) problemu L

algorytm T zwraca instancj¦ (x

, k

) problemu L

zachowuj¡c jednocze±nie nastepuj¡ce warunki:

I ( x, k) jest TAK instancj¡ L

wtedy i tylko wtedy, gdy (x

, k

) jest TAK instancj¡ problemu L

,

I k

6 g (k) dla pewnej funkcji obliczalnej g ,

I czas dziaªania algorytmu T na instancji wej±ciowej (x, k) jest ograniczony

przez f (k)|x|

, gdzie f pewn¡ funkcj¡ obliczaln¡.

Redukcje parametryzowane

Lemat

Je»eli istnieje redukcja parametryzowana T problemu L

do problemu L

oraz j¦zyk L

jest w klasie FPT, to j¦zyk L

jest równie» w klasie FPT.

Dowód:

I Zaªó»my, »e B jest algorytmem testuj¡cym przynale»no±¢ instancji (x

, k

) do L

w czasie h(k

)| x

|

(L

jest FPT).

I Algorytm A testuj¡cy przynale»no±¢ (x, k) do j¦zyka L

:

przeksztaª¢ algorytmem redukcji T instancj¦ (x, k) problemu L 1 do równowa»nej instancji (x 0 , k 0 ) problemu L 2 ,

zaakceptuj (x, k) wtedy i tylko wtedy, gdy algorytm B

akceptuje (x 0 , k 0 ) .

Redukcje Parametryzowane

Lemat

Je»eli istnieje redukcja parametryzowana T problemu L

do problemu L

oraz j¦zyk L

jest w klasie FPT, to j¦zyk L

jest równie» w klasie FPT.

Dowód (c.d.):

I Poprawno±¢ algorytmu A wynika z faktu, i» redukcja T przeksztaªca TAK/NIE instancje L

w TAK/NIE instancje problemu L2.

I Czas dziaªania algorytmu A na instancji wej±ciowej (x, k) jest ograniczony przez sum¦

czasu dziaªania algorytmu T, czyli f (k)|x| O(1) , oraz

czasu dziaªania algorytmu B, czyli h(k 0 )| x 0 | O(1) .

I Zakªadaj¡c, »e k

6 g (k) oraz |x

| 6 f (k)|x|

, ª¡czny czas dziaªania algorytmu A jest ograniczony przez F (k)|x|

,

I Problem L

Denicja

przeksztaª¢ algorytmem redukcji T instancj¦ (x, k) problemu L ₁ do równowa»nej instancji (x ⁰ , k ⁰ ) problemu L ₂ ,

akceptuje (x ⁰ , k ⁰ ) .

czasu dziaªania algorytmu T, czyli f (k)|x| ^O(1) , oraz

czasu dziaªania algorytmu B, czyli h(k ⁰ )| x ⁰ | ^O(1) .

wierzchoªki koloru i.

} ró»nobarwna klika.

tworzymy k kopii grafu G: G ¹ , . . . , G ^k ,