Algorytmika Problemów Trudnych Wykªad 8

Algorytmika Problemów Trudnych

Wykªad 8 Tomasz Krawczyk

krawczyk@tcs.uj.edu.pl

Kraków, semestr letni 2020/21

plan wykªadu

Szeroko±¢ drzewowa.

I Šadna dekompozycja drzewowa.

I Programowanie dynamiczne po dekompozycji drzewowej.

I Twierdzenie Courcelle'a.

I Zastosowania w grafach planarnych (technika Bakera).

Minory grafów.

I Poj¦cie minora.

I Twierdzenie Robertsona-Seymoura i jego algorytmiczne konsekwencje.

I Twierdzenie o Gridzie i jego algorytmiczne konsekwencje.

Dekompozycja i szeroko±¢ drzewowa

Denicja

Dekompozycj¡ drzewow¡ grafu G nazywamy par¦

T = ( T , {X

: t ∈ V (T )}), gdzie T jest drzewem, { X

: t ∈ V (T )} jest zbiorem zbiorów wierzchoªków V (G), która speªnia nast¦puj¡ce warunki:

I dla ka»dej kraw¦dzi {u, v} w G istnieje t ∈ V (T ) taki, »e {u, v} ⊂ X

,

I dla ka»dego wierzchoªka zbiór

{ t ∈ V (T ) : v ∈ X

} jest poddrzewem (drzewem spójnym) w drzewie T .

Szeroko±ci¡ drzewow¡ dekompozycji drzewowej T jest

liczba max

| X

| − 1, oznaczana przez tw(T ) .

Rysunek: Wikipedia.

Dekompozycja i szeroko±¢ drzewowa

Notacja:

I zbiory {X

} nazywamy w¦zªami dekompozycji drzewowej T ,

I je»eli {u, v} ∈ E(G) oraz {u, v} ⊂ X

, to mówimy, »e kraw¦d¹ {u, v} jest realizowana w w¦¹le X

,

I dla v ∈ V (G), zbiór {t ∈ T : v ∈ X

} nazywamy poddrzewem wierzchoªka v .

Rysunek: Wikipedia.

Szeroko±¢ drzewowa

Denicja

Szeroko±¢ drzewowa grafu G, oznaczana przez tw(G), jest deniowana jako

tw(G) = min{tw(T ) : T jest dekompozycj¡ drzewow¡ G}.

Šadna Dekompozycja Drzewowa

Denicja

Dekompozycj¦ drzewow¡ T = (T , {X

: t ∈ T }) grafu G nazwiemy ªadn¡

dekompozycj¡ drzewow¡ (ang. nice tree decomposition) je»eli T jest drzewem ukorzenionym oraz ka»dy w¦zeª t ∈ T :

I albo ma dwóch snów t

i t

i wtedy X

= X

= X

(w¦zeª taki nazywamy w¦zªem ª¡cz¡cym),

I albo ma jednego syna t

i wtedy rozmiar X

oraz X

ró»ni¡ si¦ o 1 oraz

I

je»eli X

= X

∪ { v} to wtedy t jest w¦zeª t jest w¦zªem wprowadzaj¡cym v.

I

je»eli X

= X

\ { v} to w¦zeª t jest w¦zªem zapominaj¡cym v.

I albo jest li±ciem i wtedy X

jest zbiorem jednoelementowym.

Šadna Dekompozycja Drzewowa

Twierdzenie

Ka»dy n-wierzchoªkowy graf o szeroko±ci drzewowej k posiada

ªadn¡ dekompozycj¦ drzewow¡ skªadaj¡c¡ si¦ z O(kn) w¦zªów.

Programowanie dynamiczne po szeroko±ci drzewowej

Programowanie Dynamiczne po szeroko±ci drzewowej:

I przegl¡damy (ªadn¡) dekompozycj¦ drzewow¡ grafu G od li±ci do korzenia, I w ka»dym w¦¹le t algorytm przetrzymuje pewne informacje o grae G

, gdzie G

to graf indukowany na G przez zbiór wierzchoªków V

= [

{ X

: s jest potomkiem t w T } ∪ X

. I informacje dla w¦zªa t pozyskujemy przegl¡daj¡c dzieci w¦zªa t,

I rozwi¡zanie odczytujemy z w¦zªa b¦d¡cego korzeniem dekompozycji drzewowej.

Dla przykªadu, problem 3-Kolorowania oraz Zbioru Niezale»nego o Maksymalnej Wadze mo»na rozwi¡za¢ w czasie 2

n w n-wierzchoªkowych grafach o szeroko±ci drzewowej 6 k (¢wiczenia).

Oznacza to, »e problemy te w grafach planarnych mo»na rozwi¡za¢ w czasie 2

n.

Šadna dekompozycja drzewowa wraz z w¦zªami wprowadzj¡cymi kraw¦dzie G

I Czasami wygodniej jest wprowadzi¢ do ªadnej dekompozycji G dodatkowe w¦zªy wprowadzaj¡ce ka»d¡ kraw¦d¹ G, jeden w¦zeª dla ka»dej kraw¦dzi G.

I Dokªadnie, dla ka»dej kraw¦dzi e = uv grafu G, tu» przed pierwszym w¦zªem zapominaj¡cym u b¡d¹ v, istnieje dokªadnie jeden w¦zeª X

wprowadzaj¡cy kraw¦d¹ e.

I Tak zdeniowana ªadna dekompozycja ma równie» O(kn) w¦zªów.

Graf G

denujemy wówczas jako graf okre±lony na zbiorze wierzchoªków V

zawieraj¡cy wszystkie kraw¦dzie wprowadzone w w¦zªach potomnych t wraz z t.

Wprowadzenie w¦zªów wprowadzaj¡cych kraw¦dzie czasami upraszcza pisanie

algorytmów dymamicznych po dekompozycjach drzewowych.

Dynamika po dekompozycji drzewowej: Maksymalny zbiór niezale»ny

Wej±cie: Graf G i ªadna dekompozycja drzewowa (T , {X

: t ∈ T }) grafu G o szerokosci k.

Wyj±cie: Rozmiar najliczniejszego zbioru niezale»nego w grae G.

Dla ka»dego w¦zªa t ∈ T i dla ka»dego zbioru A ⊂ X

algorytm oblicza warto±¢ c(t, A) zdeniowan¡ nast¦puj¡co:

c(t, A) =



 

 

rozmiar maksymalnego zbioru niezale»nego S w G

takiego, »e X

∩ S = A, gdy A niezale»ny,

−∞ gdy A nie jest zbiorem niezale»nym.

Dla ka»dego w¦zªa t potrzebujemy tablicy o pojemno±ci 2

do zapami¦tania warto±ci c(t, A).

Wynik w korzeniu!

Dynamika po dekompozycji drzewowej: Maksymalny zbiór niezale»ny

Wej±cie: Graf G i ªadna dekompozycja drzewowa (T , {X

: t ∈ T }) grafu G o szerokosci k.

Wyj±cie: Rozmiar najliczniejszego zbioru niezale»nego w grae G.

Dla ka»dego w¦zªa t ∈ T i dla ka»dego zbioru A ⊂ X

algorytm oblicza warto±¢

c(t, A) zdeniowan¡ nast¦puj¡co:

c(t, A) =



 

 

rozmiar maksymalnego zbioru niezale»nego S w G

takiego, »e X

∩ S = A, gdy A niezale»ny,

−∞ gdy A nie jest zbiorem niezale»nym.

Dla ka»dego w¦zªa t potrzebujemy tablicy o pojemno±ci 2

do zapami¦tania warto±ci c(t, A).

Wynik w korzeniu!

Dynamika po dekompozycji drzewowej: Maksymalny zbiór niezale»ny

Wej±cie: Graf G i ªadna dekompozycja drzewowa (T , {X

: t ∈ T }) grafu G o szerokosci k.

Wyj±cie: Rozmiar najliczniejszego zbioru niezale»nego w grae G.

Dla ka»dego w¦zªa t ∈ T i dla ka»dego zbioru A ⊂ X

algorytm oblicza warto±¢

c(t, A) zdeniowan¡ nast¦puj¡co:

c(t, A) =



 

 

rozmiar maksymalnego zbioru niezale»nego S w G

takiego, »e X

∩ S = A, gdy A niezale»ny,

−∞ gdy A nie jest zbiorem niezale»nym.

Dla ka»dego w¦zªa t potrzebujemy tablicy o pojemno±ci 2

do zapami¦tania warto±ci c(t, A).

Wynik w korzeniu!

Dynamika po dekompozycji drzewowej: Maksymalny zbiór niezale»ny

Wej±cie: Graf G i ªadna dekompozycja drzewowa (T , {X

: t ∈ T }) grafu G o szerokosci k.

Wyj±cie: Rozmiar najliczniejszego zbioru niezale»nego w grae G.

Dla ka»dego w¦zªa t ∈ T i dla ka»dego zbioru A ⊂ X

algorytm oblicza warto±¢

c(t, A) zdeniowan¡ nast¦puj¡co:

c(t, A) =



 

 

rozmiar maksymalnego zbioru niezale»nego S w G

takiego, »e X

∩ S = A, gdy A niezale»ny,

−∞ gdy A nie jest zbiorem niezale»nym.

Dla ka»dego w¦zªa t potrzebujemy tablicy o pojemno±ci 2

do zapami¦tania warto±ci c(t, A).

Wynik w korzeniu!

Dynamika po dekompozycji drzewowej: Maksymalny zbiór niezale»ny

I t - w¦zeª ª¡cz¡cy w¦zªy t

, t

(X

= X

= X

):

c(t, A) = c(t

, A) + c(t

, A) − |A|.

I t - w¦zeª wprowadzaj¡cy wierzchoªek v, z synem t

(X

= X

∪ {v}):

c(t, A) =







c(t

, A \ {v}) + 1 je»eli v ∈ A i A niezale»ny,

−∞ je»eli v ∈ A i A zale»ny, c(t

, A) je»eli v /∈ A.

I t - w¦zeª zapominaj¡cy wierzchoªek v, z synem t

(X

= X

\ {v}):

c(t, A) = max{c(t

, A), c(t

, A ∪ {v})}.

Dynamika po dekompozycji drzewowej: Maksymalny zbiór niezale»ny

I t - w¦zeª ª¡cz¡cy w¦zªy t

, t

(X

= X

= X

):

c(t, A) = c(t

, A) + c(t

, A) − |A|.

I t - w¦zeª wprowadzaj¡cy wierzchoªek v, z synem t

(X

= X

∪ {v}):

c(t, A) =







c(t

, A \ {v}) + 1 je»eli v ∈ A i A niezale»ny,

−∞ je»eli v ∈ A i A zale»ny, c(t

, A) je»eli v /∈ A.

I t - w¦zeª zapominaj¡cy wierzchoªek v, z synem t

(X

= X

\ {v}):

c(t, A) = max{c(t

, A), c(t

, A ∪ {v})}.

Dynamika po dekompozycji drzewowej: Maksymalny zbiór niezale»ny

I t - w¦zeª ª¡cz¡cy w¦zªy t

, t

(X

= X

= X

):

c(t, A) = c(t

, A) + c(t

, A) − |A|.

I t - w¦zeª wprowadzaj¡cy wierzchoªek v, z synem t

(X

= X

∪ {v}):

c(t, A) =







c(t

, A \ {v}) + 1 je»eli v ∈ A i A niezale»ny,

−∞ je»eli v ∈ A i A zale»ny, c(t

, A) je»eli v /∈ A.

I t - w¦zeª zapominaj¡cy wierzchoªek v, z synem t

(X

= X

\ {v}):

c(t, A) = max{c(t

, A), c(t

, A ∪ {v})}.

Dynamika po dekompozycji drzewowej: Maksymalny zbiór niezale»ny

Wej±cie: Graf planarny G o n wierzchoªkach.

Wyj±cie: Maksymalny zbiór niezale»ny w G.

I Problem Maksymalnego Zbioru Niezale»nego w klasie grafów planarnych jest NPC.

I Szeroko±¢ drzewowa grafów planarnych jest rz¦du O( √ n).

I W czasie O(n

log n) mo»na skonstruowa¢ ªadn¡ dekompozycj¦ drzewow¡

grafu G o szeroko±ci O( √ n).

I W czasie 2

mo»na znale¹¢ maksymalny zbiór niezale»ny w G.

Maksymalny zbiór niezale»ny w grafach planarnych - aproksymacja

Problem Maksymalnego Zbioru Niezale»nego w grafach planarnych posiada wielomianowy schemat aproksymacji (PTAS, ang. polynomial-time approximation scheme):

Dla ka»dego ustalonego  > 0 istnieje wielomianowy od n algorytm (zale»ny

by¢ mo»e wykªadniczo od

, ale  traktujemy jako staª¡) znajduj¡cy zbiór

niezale»ny rozmiaru (1 − ) × rozmiar maksymalnego zbioru niezale»nego.

Grafy k-zewn¦trznie planarne - technika Baker'a

Niech G b¦dzie grafem planarnym narysowanym w sposób planarny (kraw¦dzie grafu nie przecinaj¡ si¦ poza zbiorem wierzchoªków) na pªaszczy¹nie.

Pierwsz¡ warstw¡ grafu planarnego G nazywamy wierzchoªki przylegªe do ±ciany zewn¦trznej grafu G.

Drug¡ warstw¡ G nazywamy pierwsz¡ warstw¦ grafu planarnego powstaªego poprzez usuni¦cie wierzchoªków z warstwy pierwszej.

Ogólnie, i-t¡ warstw¡ grafu G nazywamy pierwsz¡ warstw¦ grafu planarnego powstaªego z G przez usuni¦cie wierzchoªków z warstw od 1 do i − 1.

Lemat

Szeroko±¢ drzewowa ka»dych k kolejnych warstw grafu planarnego jest ograniczona

przez 3k + 1.

Zbiór niezale»ny w grafach planarnych - aproksymacja

I Ustalmy  =

.

I Niech G

dla i ∈ [5] b¦dzie grafem planarnym powstaªym z G poprzez usuni¦cie co piatej warstwy pocz¡wszy od warstwy i-tej.

I Graf G

ma szeroko±¢ drzewow¡ 6 3 ∗ 5 + 1 = 16.

I Dekompozycj¦ drzewow¡ G

o szeroko±ci 16 mo»na znale¹¢ w czasie wielomianowym od n. W czasie wielomianowym od n mo»na znale¹¢

maksymalny zbiór niezale»ny w G

.

I Niech I b¦dzie maksymalnym zbiorem niezale»nym w G.

I Istnieje i ∈ [5] takie, »e I ma co najwy»ej (1 −

) wierzchoªków w G \ G

. I Istnieje i ∈ [5] takie, »e maksymalny zbiór niezale»ny w G

ma rozmiar co

najmniej (1 −

)|I |.

Monadic Second Order MSO 2

Rozpatrzmy formuª¦ logiczn¡ Φ, której prawdziwo±¢ sprawdzamy w grae (V , E):

∃C ⊆ E :

∀u ∈ V ∃v, w ∈ V : {v 6= w ∧ (u, v) ∈ C ∧ (u, w) ∈ C∧

∧(∀x ∈ V : (u, x) ∈ C ⇒ x = v ∨ x = w)}.

Powy»sza formuªa jest prawdziwa w grafach (V , E), które mo»na pokry¢

wierzchoªkowo rozª¡cznymi cyklami.

Monadic Second Order MSO 2

Rozpatrzmy formuª¦ logiczn¡ Φ, której prawdziwo±¢ sprawdzamy w grae (V , E):

∃C ⊆ E :

∀u ∈ V ∃v, w ∈ V : {v 6= w ∧ (u, v) ∈ C ∧ (u, w) ∈ C∧

∧(∀x ∈ V : (u, x) ∈ C ⇒ x = v ∨ x = w)}.

Powy»sza formuªa jest prawdziwa w grafach (V , E), które mo»na pokry¢

wierzchoªkowo rozª¡cznymi cyklami.

Monadic Second Order MSO 2

Rozpatrzmy formuª¦ logiczn¡ Ψ ewaluowan¡ w grae (V , E):

∀ U ⊆ V : {(U 6= V ∧ ∃u ∈ U) ⇒

∃v, w ∈ V : (v, w) ∈ E ∧ v ∈ U ∧ w /∈ U}.

Powy»sza formuªa jest prawdziwa tylko i wyª¡cznie w grafach spójnych (V , E).

Monadic Second Order MSO 2

Rozpatrzmy formuª¦ logiczn¡ Ψ ewaluowan¡ w grae (V , E):

∀ U ⊆ V : {(U 6= V ∧ ∃u ∈ U) ⇒

∃v, w ∈ V : (v, w) ∈ E ∧ v ∈ U ∧ w /∈ U}.

Powy»sza formuªa jest prawdziwa tylko i wyª¡cznie w grafach spójnych (V , E).

Monadic Second Order MSO 2

Wykazali±my, »e wªasno±ci grafowe:

I wierzchoªkowa pokrywalno±¢ rozª¡cznymi cyklami, I spójno±¢,

s¡ wyra»alne w j¦zyku monadycznej logiki drugiego rz¦du (ang. Monadic Second Order Logic), w skrócie MSO

.

J¦zyk monadycznej logiki drugiego rz¦du MSO

pozwala:

I stosowa¢ spójniki logiczne: ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔, ...

I u»ywania zmiennych dla wierzchoªków, kraw¦dzi, podzbiorów wierzchoªków, i podzbiorów kraw¦dzi,

I u»ywanie predykatów: ∈, =,

I u»ycia kwantykatorów ∀, ∃ w odniesieniu do elementów ze zbioru V oraz E (oraz ich podzbiorów) jak równie» w odniesieniu do podzbiorów zbioru V czy te»

zbioru E.

We wcze±niejszych przykªadach, V oraz E s¡ zmiennymi wolnymi (nie zwi¡zanymi

kwantykatorami) formuª Φ i Ψ.

Monadic Second Order

Formuªa logiczna α wyra»ona w j¦zyku MSO

ze zmiennymi wolnymi V , E, D

∀ v ∈ V : (v ∈ D ∨ ∃w ∈ D : (v, w) ∈ E)

wyra»a wªano±¢, »e D jest zbiorem dominuj¡cym w grae (V , E).

Twierdzenie Courcelle'a

Speªnialno±¢ formuª MSO

:

Wej±cie: Formuªa Φ w j¦zyku MSO

ze zmiennymi wolnymi (V , E), graf (V , E) wraz z dekompozycj¡ drzewow¡ rozmiaru t.

Wyj±cie: TAK wtedy i tylko wtedy gdy graf (V , E) speªnia φ.

Twierdzenie (Courcelle, 1990)

Istnieje algorytm rozwi¡zuj¡cy Problem speªnialno±ci formuª MSO

dziaªaj¡cy w

czasie f (|φ|, t)n, gdzie f jest pewn¡ funkcj¡ obliczaln¡.

Optymalizacyjna Wersja Twierdzenia Courcelle'a

Wej±cie: Formuªa Φ w j¦zyku MSO

ze zmiennymi wolnymi V , E, X

, . . . , X

, gdzie X

, . . . , X

to podzbiory V lub E, funkcja liniowa α(x

, . . . , x

) , graf (V , E) wraz z dekompozycj¡ drzewow¡ rozmiaru t.

Wyj±cie: Zbiory X

, . . . , X

minimalizuj¡ce/maksymalizuj¡ce warto±¢ funkcji liniowej α(| X

|, . . . , | X

|) takie, »e V , E, X

, . . . , X

speªniaj¡ formuª¦ Φ.

Twierdzenie

Istnieje algorytm dla powy»szego problemu dziaªaj¡cy w czasie f (|φ|, t)n, gdzie f jest pewn¡ funkcj¡ obliczaln¡.

Zbiór dominuj¡cy mo»emy rozwi¡za¢ w czasie f (staªa, √

n)n, niemniej jednak czas ten

(sªabe ograniczenie na f ) nie jest zadowalaj¡cy.

Minor - denicja

Niech G b¦dzie grafem. Na grae G deniujemy 3 operacje:

I usuni¦cie wierzchoªka v ∈ V (G): wynikiem tej operacji jest graf G = ( V (G) \ {v}, E | (V (G) \ {v}) × (V (G) \ {v}) ), I usuni¦cie kraw¦dzi e ∈ E(G): wynikiem tej operacji jest graf

G = ( V (G), E \ {e}),

I ±ci¡gni¦cie (kontrakcja) kraw¦dzi e = {u, v}: wynikiem tej operacji jest graf G

ze zbiorem wierzchoªków (V \ {u, v}) ∪ {v

}) oraz zbiorem kraw¦dzi

zdeniowanym nastepuj¡co:

I

v

jest poª¡czony z w w G

je»eli w ∈ V (G) \ {u, v} oraz w jest poª¡czone kraw¦dzi¡ z u lub v w G,

I

{ w

, w

} jest kraw¦dzi¡ w G

je»eli w

, w

∈ V (G) \ {u, v} oraz {w

, w

}

jest kraw¦dzi¡ w G.

Minor - denicja

Denicja

Graf H jest minorem grafu G (piszemy H 6

G) je»eli H powstaje z G w wyniku

operacji usuwania wierzchoªków, usuwania kraw¦dzi, i ±ci¡gania kraw¦dzi.

Minor - równowa»na denicja

Graf H okre±lony na zbiorze wierzchoªków {v

, . . . , v

} jest minorem grafu G je»eli istniej¡ rozª¡czne podzbiory V

, . . . , V

zbioru V (G) takie, »e:

I V

indukuje podgraf spójny w G,

I je»eli v

jest poª¡czone kraw¦dzi¡ z v

w grae H, to istnieje kraw¦dzi ª¡cz¡ca

wierzchoªek ze zbioru V

z wierzchoªkiem ze zbioru V

w grae G.

Minory - Twierdzenia Robertsona-Seymoura

Relacja 6

jest relacj¡ cz¦±ciowego porz¡dku (po uto»samieniu grafów izomorcznych) w zbiorze wszystkich grafów.

Twierdzenie (Robertson, Seymour)

W ka»dej niesko«czonej rodzinie grafów istniej¡ dwa ró»ne grafy H i G takie, »e H jest

minorem G.

Klasy grafów domkni¦te na minory

Denicja

Klasa grafów G jest domkni¦ta na minory je»eli z faktu, »e G ∈ G oraz H 6

G wynika H ∈ G.

Twierdzenie (Robertson, Seymour)

Dla ka»dej rodziny grafów G domkni¦tej na minory istnieje sko«czony zbiór grafów Forb(G) taki, »e G ∈ G wtedy i tylko wtedy, gdy »aden graf z Forb(G) nie jest minorem G.

Dowód:

I Niech Forb(G) b¦dzie zbiorem grafów minimalnych (wzgl¦dem relacji 6

) w zbiorze wszystkich grafów, które nie nale»¡ do G.

I Oczywi±cie, G ∈ G wtedy i tylko wtedy, gdy »aden graf z Forb(G) nie jest minorem G.

I Z poprzedniego twierdzenia, poniewa» Forb(G) jest antyªa«cuchem wzgl¦dem

relacji 6

, to Forb(G) jest sko«czony.

Minory - Twierdzenie Robertsona-Seymoura

Twierdzenie (Robertson, Seymour)

Istnieje funkcja obliczalna f oraz algorytm, który dla grafów wej±ciowych H i G stwierdza w czasie f (|V (H)|)|V (G)|

, czy H jest minorem grafu G.

Wniosek: Ka»da klasa grafów domkni¦ta na minory jest rozpoznawalna w czasie

O(n

) !

Klasa nonuniform-FPT

Niech Q b¦dzie j¦zykiem parametryzowanym. Powiemy »e Q jest w klasie nonuniform-FPT je»eli istnieje staªa α, funkcja f : N → N oraz zbiór algorytmów {A

}

o wªasno±ci, »e dla ka»dego x algorytm A

akceptuje (x, k) wtedy i tylko wtedy, gdy (x, k) nale»y do Q i czas dziaªania A

na instancji (x, k) jest ograniczony przez f (k)|x|

.

Wykazanie, »e problem nale»y do klasy nonuniform-FPT jest du»¡ przesªank¡, »e

nale»y on do klasy FPT.

Usuwanie wierzchoªków w klasie grafów planarnych

Usuwanie wierzchoªków w klasie grafów planarnych:

Wej±cie: Graf G, parametr k.

Wyj±cie: Tak je»eli w G istnieje k wierzchoªków, których usuni¦cie spowoduje, »e graf stanie si¦ grafem planarnym.

Powy»szy problem jest w klasie nonuniform FPT (jest te» w klasie FPT):

I P  klasa grafów planarnych,

I dla ka»dego k niech P + kv b¦dzie klas¡ grafów bed¡cych TAK-instancjami nadszego problemu,

I klasa grafów planarnych P jest domknieta na minory,

I klasa P + kv jest równie» klas¡ domkniet¡ na minory (¢wiczenia),

I dla ka»dego k istnieje algorytm, który testuje w czasie f (k)n

, czy graf G nale»y

do G + kv.

Twierdzenie o gridzie

Twierdzenie (Robertson, Seymour)

Istnieje funkcja f : N → N taka, »e je»eli szeroko±¢ drzewowa grafu G jest wi¦ksza od f (k), to grid rozmiaru k × k jest minorem G.

Chekuri i Chuzhoy udowodnili, »e f (k) jest ograniczona funkcj¡ wielomianow¡.

Twierdzenie o gridzie - zastosowanie

Problem Pakowania Cykli:

Wej±cie: Graf G i liczba k.

Wyj±cie: Tak je»eli w G istnieje k rozª¡cznych cykli.

Problem Pakowania Cykli jest w klasie FPT:

I istnieje staªa c

taka, »e je»eli tw(G) > c

, to G zawiera minor gridu 2 √

k × 2 √

k, a zatem równie» k rozª¡cznych cykli.

I je»eli tw(G) 6 c

, to w czasie f (|φ

|, c

) n sprawdzimy, czy w G istnieje k

rozª¡cznych cykli, gdzie φ

jest formuª¡ w MSO

testuj¡c¡, czy G posiada k

rozª¡cznych cykli.