Algorytmika Problemów Trudnych Wykªad 13

Tomasz Krawczyk

krawczyk@tcs.uj.edu.pl

Kraków, semestr letni 2019/20

plan wykªadu

Wielomianowy schemat aproksymacyjny dla euklidesowego problemu

komiwoja»era.

Niech P b¦dzie problemem optymalizacyjnym. Mówimy, »e algorytm A jest schematem aproksymacyjnym dla problemu P je»eli dla wej±cia (I , ) algorytm A zwraca rozwi¡zanie o koszcie val

( I ), gdzie:

I val

( I ) 6 (1 + )OPT (je»eli P jest problemem minimalizacyjnym).

I val

( I ) ≥ (1 − )OPT (je»eli P jest problemem maksymalizacyjnym).

Dodatkowo,

I je»eli czas dziaªania A jest wielomianowy dla ka»dego ustalonego  > 0 (np. gdy czas dziaªania A to O(n

) ), to A nazywamy wielomianowym schematem aproksymacyjnym (ang. polynomial-time approximation scheme, PTAS ).

I je»eli czas dziaªania A jest wielomianem od rozmiaru wej±cia i

, to A

nazywamy w peªni wielomianowym schematem aproksymacyjnym (ang. fully

polynomial-time approximation scheme, FPTAS).

Problem Komiwoja»era

Problem Komiwoja»era:

Wej±cie: : Graf peªny z kraw¦dziami o wagach (odlegªo±ci) dodatnich.

Wyj±cie: : Cykl Hamiltona o minimalnym koszcie.

Euklidesowy Problem Komiwojazera:

Wej±cie: Zbiór n punktów P = {P

, . . . , P

} na pªaszczy¹nie, punkt P

ma wspóªrzedne (x

, y

) .

Wyj±cie: Trasa przechodz¡ca przez wszystkie punkty P

, . . . , P

o najta«szym koszcie OPT .

Twierdzenie

Istnieje PTAS dla euklidesowego problemu komiwoja»era.

Uwagi:

I Twierdzenie pokazane niezale»nie przez Aror¦ oraz Mitchela.

I Obaj za ten wynik otrzymali nagrod¦ Gödla.

Euklidesowy Problem Komiwoja»era

Instancje wej±ciowe euklidesowego problemu komiwoja»era s¡ unormowane je»eli:

I wszystkie punkty z P mieszcz¡ si¦ w kwadracie o boku [−

,

] × [−

,

] , gdzie L jest rz¦du Θ(n ·

)) i L jest pewn¡ pot¦g¡ dwójki,

I dla ka»dego punktu (x

, y

) z P zachodzi |x

| 6

, |y

| 6

oraz x

, y

∈ Z, I istniej¡ dwa punkty z P o x-wspóªrz¦dnej równej

oraz −

lub istniej¡ dwa

punkty z P o y-wspóªrz¦dnej równej

oraz −

,

I odlegªo±¢ pomi¦dzy dowolnymi dwoma punktami z P wynosi co najmniej 4.

Normowanie instancji wej±ciowej:

I Operacja Skalowania.

Skalujemy instancj¦ wej±ciow¡ tak, aby:

I

wszystkie punkty z P wpadªy do prostok¡tu [−

,

] × [−

,

] oraz

I

istniaªy dwa punkty P

, P

w P takie, »e x

=

oraz x

= −

lub istniaªy dwa punkty P

, P

w P takie, »e y

=

oraz y

= −

,

I

L dobieramy tak, by L = Θ(n ·

) oraz L = 2

dla pewnego l.

I Operacja Przesuwania.

Przesuwamy ka»dy punkt z P w kierunku najbli»szego punktu kratowego (o

wspóªrz¦dnych caªkowitych). Zmieniamy wtedy ka»d¡ wspóªrz¦dn¡ punktu z P

o co najwy»ej

.

Euklidesowy Problem Komiwoja»era

Wªasno±ci instancji po normowaniu:

I Dªugo±¢ trasy optymalnej OPT po Operacji Skalowania jest równa co najmniej L.

I Niech OPT

b¦dzie dªugo±ci¡ optymalnej trasy po Operacji Przesuwania.

I Z nierówno±ci OPT ≥ L oraz z faktu, »e L = Θ(n ·

) mamy:

OPT

6 OPT +2n·1 6 OPT +2n = OPT + 2n

L · L 6 OPT +2·OPT 6 (1+2)OPT .

W dalszej cz¦±ci wykªadu zakªadamy, »e nasza instancje wej±ciowe s¡ unormowane.

Linie podziaªu:

I Dwie linie poziome x = −L oraz x = L oraz dwie linie pionowe y = −L oraz y = −L s¡ liniami podziaªu poziomu 0.

I Maj¡c linie podziaªu (pionowe i poziome) poziomów 0, . . . , i, linie poziomu i + 1 tworzymy nast¦puj¡co:

I

pomi¦dzy ka»de dwie s¡siednie (poziome lub pionowe) linie podziaªu z poziomów {0, 1, . . . , i} wkªadamy w ±rodek lini¦ poziomu i + 1,

I Procedur¦ kontynuujemy dopóki odlegªo±¢ pomi¦dzy dwoma liniami jest wi¦ksza

od 1. Poziomów jest wi¦c k = Θ(log (n ·

)) .

Euklidesowy Problem Komiwoja»era

Kwadraty podziaªu:

Ka»dy kwadrat w [−L, L] × [−L, L] ograniczony dwoma s¡siednimi liniami pionowymi z poziomów {0, . . . , i} i dwoma s¡siednimi liniami poziomymi z poziomów {0, . . . , i} jest kwadratem podziaªu poziomu i.

Kwadraty podziaªu tworz¡ struktur¦ drzewiast¡: ka»dy kwadrat podziaªu poziomu i dzieli si¦ na cztery kwadraty podziaªu poziomu i + 1.

Przej±cia:

Ka»dy kwadrat podziaªu na ka»dym swoim brzegu ma m przej±¢ oddalonych od siebie

w równym dystansie, gdzie m jest pot¦g¡ dwójki z przedziaªu [

,

] .

Unormowane trasy komiwoja»era:

Trasa komiwoja»era jest unormowana je»eli wchodzi i wychodzi do ka»dego kwadratu podziaªu tylko i wyª¡cznie przez przej±cia tego kwadratu.

Niestety, istniej¡ takie zbiory punktów P, »e najkrótsze trasy unormowane s¡ dalekie od tras optymalnych. Aby skonstruowa¢ taki przykªad, nale»y rozmie±ci¢ wiele punktów z P po obu stronach lini podziaªu o niskim numerze (np. 1).

Aby omin¡¢ problem koncentracji punktów wokóª linii podziaªu niskiego poziomu

przesuwamy siatk¦ linii podziaªu o losowo wybrany wektor (a, b) ∈ [−

,

] × [−

,

] .

Wtedy, oczekiwana najkrótsza unormowana trasa komiwoja»era jest ju» bliska trasie

optymalnej (dowód na kolejnych slajdach).

Euklidesowy Problem Komiwoja»era

Fact Niech T b¦dzie optymaln¡ tras¡ komiwoja»era. Wtedy T przecina co najwy»ej 2 · OPT wszystkich linii podziaªu.

Dowód:

I Niech P

, P

b¦d¡ dwoma kolejnymi wierzchoªkami optymalnej trasy T . I Niech x = |x

− x

| oraz y = |y

− y

| .

I p

x

+ y

≥ 4, gdy» instancja jest unormowana.

I Wkªad odcinka P

P

do OPT : px

+ y

.

I Liczba przeci¦¢ odcinka P

P

z liniami podziaªu: x + y + 2.

I Szacuj¡c:

x + y + 2 6 q

2(x

+ y

) + 2 6 2px

+ y

,

otrzymujemy tez¦ faktu.

Niech a i b b¦d¡ liczbami wybranymi losowo z rozkªadem jednostajnym z przedziaªu [−

,

] . Przenie±my linie podziaªu tak, aby linie poziomu 1 miaªy wspóªrz¦dne x = a oraz y = b. Oczekiwana najkrótsza trasa unormowana jest nie dªu»sza od  · OPT od trasy optymalnej.

Dowód:

I Zaªó»my, »e l jest lini¡, która przecina optymaln¡ tras¦ T .

I Je»eli l jest na poziomie i, to ma przej±cia w odlegªo±ci

. Nadwy»ka trasy spowodowana przej±ciem przez lini¦ l jest ograniczona przez

.

I Poniewa» jest 2

linii na poziomie i a wyborów jest L, prawdopodobie«stwo »e linia l jest na poziomie i jest ograniczone od góry przez

=

.

I oczekiwana nadwy»ka spowodowana przej±ciem przez lini¦ l jest ograniczona przez P

·

=

6 ,

I poniewa» mamy co najwy»ej 2 · OPT punktów przeci¦cia z liniami podziaªu,

oczekiwana nadwy»ka jest ograniczona przez 2 · OPT .

Euklidesowy problem komiwoja»era

Powiemy, »e unormowana trasa ma ograniczone przeci¦cia je»eli odwiedza ka»de przej±cie co najwy»ej 2 razy.

Fact Dla ka»dej unormowanej trasy komiwoja»era istnieje nie dªu»sza unormowana trasa komiwoja»era, która ma ograniczone przeci¦cia i nie ma samoprzeci¦¢.

Dowód (zarys):

I Samoprzeci¦cia mo»na wyeliminowa¢ ªatwo (zmiana kolejno±ci odwiedzanych punktów).

I Nadmiarowe przeci¦cia mo»emy likwidowa¢ za pomoc¡ skrótów: je»eli trasa

u»ywa przej±cia na linii l wi¦cej ni» dwukrotnie, mo»emy skraca¢ tras¦ po obu

stronach l.

Lemat

Optymaln¡ tras¦ komiwoja»era unormowan¡, z ograniczonymi przeci¦ciami i bez samoprzeci¦¢, mo»na policzy¢ w czasie n

.

Dla ka»dego kwadratu K z poziomu i algorytm oblicza wszystkie mo»liwe przeci¦cia

trasy komiwoja»era (unormowanej, bez samoprzeci¦¢ i z ograniczonymi przeci¦ciami) z

kwadratem K.

Euklidesowy Problem Komiwoja»era

Lemat

Optymaln¡ tras¦ komiwoja»era unormowan¡, z ograniczonymi przeci¦ciani i bez samoprzeci¦¢, mo»na policzy¢ w czasie n

.

Obserwacje:

I Co najwy»ej 4m ±cie»ek wchodzi i wychodzi z kwadratu K (ka»de przej±cie mo»e by¢ wykorzystane co najwy»ej 2 razy, jest 4m przej±¢, ka»da ±cie»ka wykorzystuje 2 przej±cia). Poprawne ±cie»ki zawieraj¡ wszystkie punkty P, które s¡ w K.

I Ustalmy dla ka»dego przej±cia w K liczb¦ (0, 1, lub 2) ±cie»ek przechodz¡cych przez to przej±cie: liczba mo»liwych ró»nych konguracji jest równa

3

= 3

= poly(n)

(

- staªa),

I Dla jednej konguracji (z okre±lon¡ liczb¡ przej±¢ przez ka»de przej±cie), liczba mo»liwo±ci poª¡cze« przej±¢ (wej±cie/wyj±cie dla ±cie»ki) jest rz¦du liczby Catalana o numerze 4m: jest wi¦c rz¦du

6 2

= poly(n)

, przy czym ostatnia nierówno±¢ zachodzi dla odpowiednio du»ych m.

Wniosek: Wykorzystuj¡c programowanie dynamiczne, optymaln¡ tras¦ unormowan¡,

bez samoprzeci¦¢, z ograniczonymi przeci¦ciami mo»emy obliczy¢ w czasie n

.