28
ZASTOSOWANIE ADAPTACYJNEGO
HYBRYDOWEGO POZYCYJNO-SIŁOWEGO STEROWANIA MANIPULATOREM
W ZROBOTYZOWANEJ OBRÓBCE MECHANICZNEJ
Piotr Gierlak
Katedra Mechaniki Stosowanej i Robotyki, Politechnika Rzeszowska e-mail: pgierlak@prz.edu.pl
Streszczenie
W artykule przedstawiono zagadnienie zastosowania robota manipulacyjnego w procesie obróbki mechanicznej. Ze względu na specyfikę sterowanego procesu i obiektu, tzn. nieznajomość i niepewność parametrów modelu matematycznego, do sterowania procesem zastosowano algorytm adaptacyjny. W artykule podano model matematyczny obiektu sterowania, zaprezentowano hybrydowy pozycyjno-siłowy algorytm sterowania z adaptacją parametrów modelu matematycznego oraz zaprezentowano wyniki testu przeprowadzonego na stanowisku laboratoryjnym.
THE APPLICATION OF ADAPTIVE HYBRID POSITION- FORCE CONTROL OF MANIPULATOR IN A ROBOTISED MACHINING PROCESS
Summary
This paper presents the problem of the application of the robotic manipulator in the machining. Due to the nature of the process and the controlled object, i.e. lack of knowledge and uncertainty parameters of the mathematical model, an adaptive algorithm for process control is used. In this paper the mathematical model of the controlled object, synthesis of the hybrid position-force control and results of a verification carried out on a laboratory stand are presented.
1. WSTĘP
W artykule przedstawiono zagadnienie zastosowania adaptacyjnego algorytmu sterowania w zrobotyzowanej obróbce mechanicznej. Z punktu widzenia teorii sterowania realizacja tego procesu jest zagadnieniem sterowania obiektem z narzuconymi częściowymi ograniczeniami ruchu. W odróżnieniu od powszechnie stosowanego sterowania pozycją istotnego znaczenia nabiera tu interakcja robota manipulacyjnego z otoczeniem, a więc siły i momenty powstające w końcówce roboczej manipulatora. Ze względu na specyfikę sterowanego procesu i obiektu, tzn.
nieznajomość i niepewność parametrów modelu matematycznego, odpowiednim algorytmem stosowanym do sterowania robotem może być algorytm adaptacyjny.
Zadaniem prezentowanego w pracy układu sterowania robota jest realizacja zadanej trajektorii ruchu oraz wywieranie odpowiedniej siły docisku na tzw. powierzchnię kontaktu tak, aby zrealizować wybrane zadanie obróbki mechanicznej. Sterowanie siłą odbywa się tu na kierunku ortogonalnym do kierunku sterowania pozycją. Konieczne
29
jest zatem wprowadzenie tzw. sterowania typu pozycja/siła [1, 9], którego zastosowania są aktualnym tematem prac badawczych [2, 5]. Koncepcja układu sterowania robota prezentowanego w pracy jest taka, aby regulator konwencjonalny był wspomagany przez adaptacyjną część układu, która będzie adaptowana on-line podczas działania robota, w celu poprawy jakości sterowania. Układ sterowania jest stabilny w sensie teorii stabilności Lapunowa.
W pracy główny nacisk położono na proces sterowania robotem. Podano jego model matematyczny, przeprowadzono syntezę hybrydowego pozycyjno-siłowego algorytmu sterowania, który został poddany badaniom symulacyjnym oraz przetestowany w warunkach rzeczywistych na stanowisku laboratoryjnym. W pracy przedstawiono wyniki eksperymentu polegającego na fazowaniu krawędzi o zadanej geometrii z odpowiednią siłą docisku. Pełną analizę teoretyczną adaptacyjnego hybrydowego sterowania pozycyjno-siłowego przedstawiono np.
w pracy autora [4]. W niniejszej pracy rozważono wybrany przypadek zastosowania omawianego algorytmu sterowania.
2. DYNAMIKA ROBOTA MANIPULACYJNEGO
Obiektem realizującym zadanie obróbki mechanicznej jest robot manipulacyjny Scorbot wraz z układem kontrolno-pomiarowym zawierającym zestaw kart firmy dSPACE. Dodatkowe wyposażenie robota stanowi czujnik sił i momentów zamocowany w końcówce roboczej oraz głowica z pneumatycznym napędem wrzeciona, w którym mocowane jest narzędzie skrawające, np. pilnik. Sprzężenie zwrotne konieczne do realizacji sterowania pozycyjno- siłowego jest realizowane z zastosowaniem optycznych enkoderów w przegubach manipulatora oraz czujnika sił i momentów, który dokonuje pomiaru trzech składowych siły oraz trzech składowych momentu w końcówce roboczej manipulatora.
Manipulator robota Scorbot jest pięcioczłonowym układem mechanicznym z obrotowymi parami kinematycznymi, tzn. jest układem o pięciu stopniach swobody. Trzy stopnie swobody wynikają z połączeń ruchowych członów tworzących ramię, dwa kolejne wynikają z połączeń ruchowych w końcówce roboczej. Dzięki właściwościom układu napędowego manipulatora kąt odchylenia końcówki roboczej od pionu jest niezależny od orientacji członów ramienia manipulatora. Do realizacji wybranych zadań może być wystarczające wykorzystanie liczby stopni swobody mniejszej niż pięć. W analizowanym przypadku założono, że końcówka robocza manipulatora pozostaje w pozycji pionowej, co jest osiągane nie poprzez sterowanie, lecz wykorzystanie hamulców w napędach końcówki roboczej. Przyjęty schemat kinematyczny układu o trzech stopniach swobody przedstawiono na rys. 1.
Rys.1. Schemat kinematyczny manipulatora o trzech stopniach swobody
Model matematyczny dynamiki tego układu przedstawiono w postaci ogólnej równaniem:
( ) + ( ) + ( ) + ( ) +
d( ) t = +
Th( ) +
EM q q && C q, q q & & F q & G q τ u J q λ τ
(1)w którym q=[q1 q2 q3]T to wektor współrzędnych uogólnionych, u=[u1 u2 u3]T to wektor sterowań, τd(t)=[τd1 τd2 τd3]T to wektor zakłóceń ograniczony przez stałą b>0 tak, że ||τd(t)||<b,
( ) = p q +p sgn q
8 1 9( )
1p q +p sgn q
10 2 11( )
2p q +p sgn q
12 3 13( )
3
TF q & & & & & & &
to wektor oporów ruchu,zamodelowanych jako suma tarcia wiskotycznego i suchego, G(q)=[0 p4gcosq2 p5gcosq3]T to wektor grawitacji.
Macierze M(q) oraz
C q, q ( & )
mają postacie:30
( ) ( )
( )
11
2 5 2 3 2
5 2 3 2 3
M 0 0
0 p p l cos q -q
0 p l cos q -q p
=
M q , ( )
2 3 1 1
1 3
1 2
-aq -bq -aq -bq
, aq 0 -cq
bq cq 0
=
C q q
& & & &
& & &
& &
(2)
w których a=(p4l1+p5l2cosq3+p6cosq2)sinq2, b=[p5(l1+l2cosq2)+p7cosq3]sinq3, c=p5l2sin(q3-q2), M11=p1+2p4l1cosq2+2p5(l1+l2cosq2)cosq3+p6cos2q2+p7cos2q3. Ponadto Jh(q) to jakobian związany z geometrią powierzchni kontaktu, λ to wektor sił normalnych do powierzchni kontaktu (mnożnik Lagrange’a). Pozostałe siły i momenty interakcji są ujęte w wektorze FE, przy czym są one określane względem osi bazowego układu odniesienia xyz. Powodują one powstanie momentów w przegubach manipulatora, które są ujęte w wektorze τE=[τE1 τE2 τE3]T. Wprowadzenie tego członu w modelu matematycznym pozwala na ujęcie wpływu np. sił stycznych do kierunku ruchu, które są zwykle niepożądane i stanowią zakłócenie procesu. Związek pomiędzy wektorem FE a wektorem τE
określono równaniem:
( )
a T
E
=
Eτ J q F
(3)gdzie
J
a T( ) q ∈ R
6 3× to jakobian analityczny manipulatora [10]. Wynika on z kinematyki manipulatora danej równaniem:( )
( )
( )
1 2 2 3 3 1
D
D 1 2 2 3 3 1
D 1 2 2 3 3 5
x y
z 1
l +l cosq +l cosq cosq x
y l +l cosq +l cosq sinq
z d +l sinq +l sinq -d
α const.
α const.
α q
= = =
y k q
(4)gdzie y to wektor pozycji i orientacji końcówki manipulatora (punkt D) określony względem układu xyz, k(q) to tzw.
funkcja kinematyki manipulatora. Definicja jakobianu analitycznego manipulatora jest powszechnie znana i ma formę pochodnej cząstkowej funkcji kinematyki po wektorze współrzędnych konfiguracyjnych:
( ) ( )
( )
( )
1 2 2 3 3 1 2 2 1 3 3 1
1 2 2 3 3 1 2 2 1 3 3 1
a 2 2 3 3
- l +l cosq +l cosq sinq -l sinq cosq -l sinq cosq l +l cosq +l cosq cosq -l sinq sinq -l sinq sinq
0 l cosq l cosq
0 0 0
0 0 0
1 0 0
= ∂ =
∂
J q k q
q
(5)Zakłada się, że ruch manipulatora jest ograniczony w ten sposób, że jego końcówka pozostaje na tzw. powierzchni kontaktu. Jej opis matematyczny ma postać równania więzów holonomicznych h(y)=0, które może być zapisane w funkcji współrzędnych uogólnionych manipulatora z zastosowaniem funkcji kinematyki (4) jako h(q)=0. Jakobian Jh(q) ma związek z założonym kształtem powierzchni kontaktu i jest zdefiniowany następująco [6]:
( ) ( )
h
= ∂
∂ J q h q
q
(6)W pracy przyjęto, że powierzchnia kontaktu to płaszczyzna równoległa do płaszczyzny xy oddalona od niej o z0=d1-d5, w kierunku dodatnim osi z. Równanie więzów ma postać: h(y)=h(zD)=zD-d1+d5=0, a w funkcji współrzędnych uogólnionych będzie to: h(q)=l2sinq2+l3sinq3. Jakobian Jh(q) przyjmie więc formę:
( ) [ ]
h
= 0 l cosq
2 2l cosq
3 3J q
(7)31
Z przyjętego równania więzów holonomicznych wynika, że ruch końcówki roboczej został ograniczony na jednym kierunku, zatem liczba stopni swobody manipulatora poddanego ograniczeniom jest mniejsza o jeden w stosunku do manipulatora bez ograniczeń. Oznacza to, że istnieją już tylko dwie niezależne współrzędne konfiguracyjne manipulatora, za pomocą których można opisać tzw. dynamikę zredukowanego rzędu. Zatem wektor q można zdekomponować w następujący sposób qT=[θ1T θ2T]T, gdzie θ1 to tzw. wektor zredukowanych współrzędnych pozycji.
Składowe tego wektora wybrano arbitralnie spośród składowych wektora q i przyjęto θ1=[q1 q2]T. Wektor θ2 jest zależny od θ1, co zapisano w sposób ogólny jako θ2=γ(θ1), a zależność ta wynika z przyjętego równania więzów holonomicznych. Przyjęto θ2=[q3], a z równania więzów wynika, że q3=γ(q2)=-q2, przy czym uwzględniono, że l3=l2, oraz, że (–π/2)<q3<(π/2). W celu określenia relacji pomiędzy wektorami prędkości
q &
iθ&
1 wprowadza się jakobian L(θ1) [6], którego postać ogólna i wynikająca z niej postać dla analizowanego przypadku została przedstawiona następująco:( ) ( )
n1 n1 1 1
1
1 0
I
= 0 1
0 1
×
∂ =
∂ −
L θ γ θ
θ
(8)
gdzie In1xn1 to macierz jednostkowa o rozmiarze n1 na n1, gdzie n1 to wymiarowość wektora θ1. Ogólna zależność pomiędzy wektorami prędkości
q &
iθ&
1 ma postać:( )
1 1q & = L θ θ&
(9)z której po zróżniczkowaniu można otrzymać zależność pomiędzy przyspieszeniami. Uwzględniając relację (9) w równaniu (1) oraz mnożąc je lewostronnie przez LT(θ1) oraz uwzględniając, że Jh(θ1)L(θ1)=0, zapisano równanie dynamiki zredukowanego rzędu [3, 4, 6] w funkcji θ1 oraz jego pochodnych jako:
T
1
+
1 1+ + +
d=
Mθ && V θ & F G τ L u
(10)gdzie
M = L ML
T ,V
1= L
T( ML CL & + )
,F = L F
T ,G = L G
T ,τ
d= L
T τ
d− J F
a T E
.3. ADAPTACYJNE HYBRYDOWE STEROWANIE POZYCYJNO-SIŁOWE
Celem sterowania hybrydowego pozycyjno-siłowego jest realizacja ruchu końcówki po zadanym torze w płaszczyźnie kontaktu z założoną prędkością z jednoczesnym wywieraniem żądanej siły docisku. Rozwiązując zadanie odwrotne kinematyki przy założonym torze oraz prędkości ruchu punktu D z uwzględnieniem przyjętych ograniczeń, otrzymano trajektorię zadaną θ1d(t). Ponadto założono trajektorię siłową λd(t). Zdefiniowano następujące wielkości:
θ
=
1d−
1e θ θ
,s = e &
θ+ Λe
θ,λ % = λ
d− λ
,υ
1= θ &
1d+ Λe
θ (11)gdzie eθ to błąd ruchu, s to uogólniony błąd ruchu, który stanowi liniową kombinację błędu ruchu i jego pochodnej,
λ%
to błąd siły, υ1 to wielkość pomocnicza, Λ to dodatnio określona diagonalna macierz projektowa. Uwzględniając zależności (11) w równaniu (10), otrzymano opis dynamiki zredukowanego rzędu w funkcji uogólnionego błędu s:( )
T T
1 1 1
,
1,
1,
1 d= − + + −
Ms & V s L Y θ θ υ υ p & & τ L u
(12)gdzie
Y θ θ υ υ p
1(
1, &
1,
1, &
1) = MLυ &1+ V υ
1 1+ F + G
, natomiast Y1 to tzw. macierz regresji, p to wektor
parametrów manipulatora. W celu kompensacji nieliniowości manipulatora w prawie sterowania powinien być
32
uwzględniony człon Y1p. Jednak wektor p nie jest dokładnie znany, dlatego w prawie sterowania stosuje się jego ocenę
p ˆ
. Prawo hybrydowego sterowania zgodnie z teorią sterowania układami nieliniowymi ma postać [3, 4, 6]:( )
T a TC PD F 1 1
,
1,
1,
1ˆ
D h
d F
E= + − − = + − + −
u u u u v Y θ θ υ υ p & & K Ls J λ K λ % J F
(13)gdzie dwa pierwsze człony
u
C= Y p
1ˆ
i uPD=KDLs odpowiadają za sterowanie pozycyjne, przy czym KDLs to forma sterowania PD, trzeci człon prawa sterowaniau
F= J
hT λ
d+ K λ%
F
odpowiada za realizację sterowania siłą, natomiast czwarty człon v=JaTFE umożliwia skompensowanie działania niepożądanych sił interakcji, np. sił tarcia.Uwzględniając wyrażenie (13), otrzymano opis zamkniętego układu sterowania:
( )
T T T
D 1 1 1
,
1,
1,
1 d= − − + +
Ms & L K Ls V s L Y θ θ υ υ p & & % L τ
(14)gdzie
p % = p - p ˆ
. Przyjmując prawo adaptacji ocen parametrów w postaci równania różniczkowego [4]:( )
T
a 1 1 1 1 1 a
ˆ = , , , − k ˆ
p & Γ Y θ θ υ υ Ls & & Γ Ls p
(15)gdzie k>0, zapewniono stabilność układu sterowania, tzn. ograniczoność wszystkich sygnałów w układzie zamkniętym, co wykazano w pracy [4], oraz osiągnięto ograniczoność ocen parametrów bez konieczności stosowania jednostajnego pobudzania [7, 8]. Błąd ruchu będzie dążył do pewnego otoczenia zera, które będzie tym mniejsze im większe będą współczynniki wzmocnienia w macierzy KD.
4. EKSPERYMENT
Badania eksperymentalne dotyczą zastosowania prezentowanego układu sterowania hybrydowego pozycyjno- siłowego w procesie obróbki ubytkowej. Istotą prezentowanego eksperymentu jest zbadanie zachowania układu sterowania podczas realizacji zadanej trajektorii, a sam proces obróbki ubytkowej ma tu drugorzędne znaczenie.
W związku z tym wybrano elementarne zadanie obróbki mechanicznej polegające na zebraniu warstwy materiału wzdłuż prostej krawędzi. Założono, że końcówka manipulatora z narzędziem skrawającym ma poruszać się po krawędzi elementu konstrukcyjnego i wywierać docisk na tę krawędź. Krawędź jest tak ustawiona, że znajduje się w płaszczyźnie opisanej równaniem więzów holonomicznych h(zD)=0 i jej zarys stanowi prostą równoległą do osi y – jest to tym samym zadany tor ruchu punktu D (rys. 2a). Zadaną prędkość końcówki pokazano na rys. 2b. Końcówka robocza manipulatora z narzędziem skrawającym ma czterokrotnie przemieścić się z punktu A do punktu B i z powrotem. W wyniku rozwiązania zadania odwrotnego kinematyki uzyskano zadaną trajektorię ruchu we współrzędnych konfiguracyjnych manipulatora (rys. 2d). Zadaną trajektorię siłową zaprezentowano na rys. 2c.
0.2 0.3 0.4 xD [m]
0 0.1 0.2
yD [m]
a)
0 50 100 150 200 t [s]
-0.012 -0.008 -0.004 0 0.004 0.008 0.012
vDd [m/s]
b)
0 50 100 150 200 t [s]
0 5 10 15 20
λD [N]
c)
0 50 100 150 200 t [s]
0 0.2 0.4 0.6 0.8
θ1d [rad]
d)
θ1d 1 θ1d 2 A
B
Rys.2. a) zadany tor ruchu punktu D, b) zadana prędkość ruchu punktu D c) zadana trajektoria siłowa, d) zadana trajektoria ruchu
33
W wyniku eksperymentu przeprowadzonego na stanowisku laboratoryjnym otrzymano wyniki, z których wybrano i przedstawiono na kolejnych rysunkach rezultaty dotyczące członu 3. Na rys. 3a-c zaprezentowano sygnały sterowania, na rys. 3d pokazano przebieg pewnej formy uogólnionego błędu ruchu ||Ls||, na rys. 3e zaprezentowano błąd siły, na rys. 3f przedstawiono oceny parametrów modelu. Wszystkie sygnały w zamkniętym układzie sterowania pozostają ograniczone, co jest praktycznym potwierdzeniem stabilności układu. Sygnały sterowań mają przebiegi wynikające z dynamiki obiektu oraz z zadanej trajektorii ruchu oraz siły docisku. W początkowej fazie działania manipulatora błąd ruchu jest największy ze względu na zerowe wartości początkowe ocen parametrów. Wraz z postępem adaptacji ocen parametrów sterowanie kompensacyjne staje się coraz dokładniejsze i błędy ruchu ulegają zmniejszaniu. Oceny parametrów modelu manipulatora podlegają największym zmianom w początkowej fazie ruchu, następnie wykazują coraz mniejsze oscylacje wokół ustalonych wartości. W praktyce, ze względu na błędy modelowania oraz zakłócenia pobudzające dynamikę układu, oceny parametrów nie ulegają ustaleniu.
0 50 100 150 200 t [s]
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1
u3 [Nm]
a)
0 50 100 150 200 t [s]
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1
uC3, uPD3 [Nm]
b)
0 50 100 150 200 t [s]
0 0.05 0.1 0.15
||Ls|| [rad/s]
d)
0 50 100 150 200 t [s]
-10 -8 -6 -4 -2 0
λ~ [N]
e)
0 50 100 150 200 t [s]
-0.1 0 0.1 0.2 0.3
p^
f) 0 50 100 150 200 t [s]
-0.1 -0.05 0 0.05 0.1
v3, uF3 [Nm]
c)
uC3 uPD3
uF3 v3
Rys.3. Wyniki eksperymentu dla członu 3: a) u3 - sterowanie całkowite, b) uPD3 - sterowanie PD, uC3 - sterowanie kompensacyjne, c) v3 – sterowanie odporne, uF3 - sterowanie siłowe, d) forma uogólnionego błędu ruchu ||Ls||, e) błąd siły, f) oceny parametrów
manipulatora
Przedstawiony przykład to najtrudniejszy przypadek adaptacji, gdy zakłada się brak wiedzy o parametrach obiektu sterowania. W celu oceny jakości sterowania przyjęto następujące wskaźniki jakości:
∑
==
n1 k
2
s
1 n
kε Ls
, λ =∑
nk=1~λk2n 1
ε , gdzie k to numer próbki, n to liczba próbek. W omawianym przypadku uzyskano εs=0.04163 [rad/s] i ελ=3.35 [N].
W kolejnym eksperymencie jako wartości początkowe ocen parametrów podano wartości końcowe ocen z eksperymentu poprzedniego. Zabieg taki powtarzano do momentu, aż jakość sterowania, mierzona wskaźnikiem jakości εs nie poprawiała się. W ostatnich eksperymentach uzyskano wskaźniki jakości nieprzekraczające εs=0.03660 [rad/s].
W kolejnym eksperymencie pominięto w sterowaniu człon kompensujący nieliniowości. Uzyskano wskaźnik jakości sterownia εs=0.1258 [rad/s], który jest ok. trzy razy gorszy od poprzednich i świadczy o istotności kompensacji nieliniowości obiektu sterowania.
Nietrudno zauważyć, że kierunek ruchu końcówki roboczej jest prostopadły do linii działania siły wywieranej przez końcówkę, leżącej na kierunku normalnym do powierzchni. Poza pożądaną siłą normalną w rzeczywistych zastosowaniach ruchowi końcówki roboczej towarzyszą opory ruchu, co często jest pomijane w analizie teoretycznej.
Opory ruchu powstają na powierzchni kontaktu i są styczne do kierunku ruchu. Wpływają one na zwiększenie niedokładności realizacji sterowania pozycyjnego. W przypadku braku kompensacji sił oporu ruchu końcówki
34
uzyskano wartość wskaźnika jakości εs=0.08292 [rad/s], co jest wynikiem ok. dwukrotnie gorszym od wyników uzyskanych w przypadku uwzględnienia wszystkich składników prawa sterowania (16).
5. PODSUMOWANIE
Przedstawiony w artykule układ sterowania robotem manipulacyjnym należy do klasy algorytmów adaptacyjnych.
Adaptacja jest prowadzona w wewnętrznej pętli sterowania pozycyjnego w celu kompensacji nieliniowości manipulatora. W pętli sterowania siłą docisku zastosowano formę sterowania proporcjonalnego. W takim przypadku adaptacja parametrów manipulatora wpływa w istotny sposób na dokładność realizacji trajektorii ruchu. Zaletą tego podejścia jest uniknięcie konieczności znajomości parametrów, niezbędna jest jednak znajomość struktury modelu matematycznego sterowanego obiektu. Na podstawie wskaźników jakości zaprezentowanych w poprzednim rozdziale można wysunąć wniosek, że bardzo istotne znaczenie ma pomiar i kompensacja sił oporów ruchu końcówki.
Literatura
1. Canudas de Wit C., Siciliano B., Bastin G.: Theory of robot control. Londyn: Springer, 1996.
2. Fujia Y., Mamoru M., Tomohide M., Akira Y.: Constraint-combined force/position hybrid control method with Lyapunov stability. Tokyo: SICE Annual Conference, 2011.
3. Gierlak P.: Hybrid position/force control of the SCORBOT-ER 4pc manipulator with neural compensation of nonlinearities. LNCS, Vol. 7268, 2012, p. 433-441.
4. Gierlak, P., Żylski, W.: Adaptive hybrid position/force control of manipulator.” Int. J. of Applied Mechanics and Engineering” 2012, Vol.17, No.3, p. 811-825.
5. Kumar N., Panwar V., Sukavanam N., Sharma S.P., Borm J.-H.: Neural network based hybrid force/position control for robot manipulators. IJPEM 2011, Vol. 12, No. 3, p. 419–426.
6. Lewis F.L., Jagannathan S., Yesildirek A.: Control of robot manipulators and nonlinear sstems. Londyn: Taylor
& Francis, 1999.
7. Lewis F.L., Liu K., Yesildirek A.: Neural-net robot controller with guaranteed tracking prformance. IEEE
“Trans. Neural Networks” 1995, Vol. 6, No. 3, p. 703-715.
8. Narendra, K.S., Annaswamy, A.M.: A new adaptive law for robust adaptation without persistant excitation.
IEEE “Trans. Automat. Contr.” AC-32, 2, 1987, p. 134–145.
9. Šabanović A., Ohnishi K.: Motion control system. Singapore: IEEE Press, 2011.
10. Tchoń K., Mazur A., Dulęba I., Hossa R., Muszyński R.: Manipulatory i roboty mobilne: modele, planowanie ruchu, sterowanie. Warszawa: AOW PLJ, 2000.
Proszę cytować ten artykuł jako:
