Imi¦ i nazwisko ...
1 2 3 4 5 6 7 8 Σ
Egzamin z matematyki dla I roku Geodezji-st. magisterskie stacjonarne 25 czerwca 2014 r.
1. (5 p.) Rozwi¡za¢ równanie z warunkiem pocz¡tkowym:
xydy
dx − y2 = x2ln x, y(1) = 0.
2. (5 p.) Sprawdzi¢, czy pole o skªadowych P = 2xyz + cos x cos y, Q = x2z− sin x sin y, R = x2y + ez jest potencjalne. Je±li tak, to wyznaczy¢ potencjaª tego pola.
3. (4 p.) Wyznaczy¢ równania pªaszczyzny stycznej i prostej normalnej do powierzchni σ(r, t) = (r sin t, r cos t, r2)
w punkcie σ(1,π2).
4. (5 p.) Wyznaczy¢ asymptoty krzywej:
x3+ 8y3− 3xy = 0.
5. (5 p.) Obliczy¢:
limz→i
z2+ 1
z2+ (2− i)z − 2i. 6. (5 p.) Zbada¢, czy szereg jest zbie»ny:
+∞
∑
n=0
cos n! + 2i (3− i)n .
7. (3 p.) Poda¢ przykªad krzywej, której skr¦cenie jest równe zero.
8. (3 p.) Poda¢ wypowied¹ twierdzenia caªkowego Cauchy'ego dla okr¦gu.
Imi¦ i nazwisko ...
1 2 3 4 5 6 7 8 Σ
Egzamin z matematyki dla I roku Geodezji-st. magisterskie stacjonarne 25 czerwca 2014 r.
1. (5 p.) Rozwi¡za¢ równanie:
y′′+ 2y′− 3y = 2e−3x+ cos x.
2. (5 p.) Wyznaczy¢ krzyw¡ caªkow¡ równania:
2x sin y + y + (x2cos y + x + 1 1 + y2)dy
dx = 0 przechodz¡c¡ przez punkt (0, 1).
3. (5 p.) Wyznaczy¢ punkty osobliwe krzywej: x3+ 8y3− 3xy = 0.
4. (4 p.) Wyznaczy¢ krzywizn¦ i skr¦cenie krzywej: x = t3+ 2t, y = e2t, z = 1 − sin t dla t = 0.
5. (5 p.) Obliczy¢ granic¦ ci¡gu:
an = sin n2 n2+ 2 + i
(n + 5 n− 3
)2n
.
6. (5 p.) Zbada¢ dla jakich z ∈ C szereg jest zbie»ny:
+∞
∑
n=1
(1− 2i)n
3n2 (z + 4)n.
7. (3 p.) Poda¢ przykªad powierzchni, dla której wyró»nik drugiej formy kwadratowej jest w ka»dym punkcie ujemy.
8. (3 p.) Poda¢ twierdzenie o ró»niczkowaniu szeregu pot¦gowego.
