Materiaªy do Repetytorium z matematyki
2011/2012
1 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych
wiczenie 1.1. Obliczy¢
1. 1 − 12 +23 −34 +45, 2. 1 − 12 +23 − 34 +45 , 3. 1 : 12 · 23 :34 ·45, 4. 1 : 12·23 : 34 ,
5. −82· 23· 4−6 35· 9−4· 37 ,
6.
n7
4 · (−0, 7)−12
: 25−1o : 0, 75
(2−1,8)−2
(1−0,2)−2 − 23 , 7.
√3
2−2 √4
26
√6
23 √6 2−2, 8.
1
2 · (−0, 2) · 3 − 413−2
:−2, 4 − 3, 2 · −112−2
1−(0,5)2 2−(14)−1 + 1
−1 .
wiczenie 1.2. Obliczy¢
1.
px(1 − x) +√x√x
1−x
:
1 1+√
x +
√x 1−x
, x ∈ (0, 1), 2.
px − 2√ x + 1
√x − 2√4 x + 1 :
√4
x + 1
√4
x − 1+ 1, x ∈ (1, +∞), 3. 2√1+11 √2 + 1
3√ 2+2√
3 + 1
4√ 3+3√
4 + · · · +(n+1)√n+n1 √n+1, 4. x + 1x
oraz x4+x14, gdy x 6= 0 i x2+x12 = 5, 5. x5+x15, gdy x > 0 i x2+x12 = 7.
wiczenie 1.3. Która z nast¦puj¡cych liczb jest wymierna
√ 6, p
3 + 2√ 2 −√
2, p
3 − 2√ 2 −√
2,
p11 + 6√ 2 3 +√
2 ,
p11 − 6√ 2 3 −√
2 .
wiczenie 1.4. Uzasadni¢, »e liczby √3
5 oraz√ 2 +√
3s¡ niewymierne.
wiczenie 1.5. Usun¡¢ niewymierno±¢ z mianownika w nast¦puj¡cych wyra»eniach
√2 2, 1
√3
4, 1
√3
4 − 1, 1 1 +√
2, 1
1 +√ 2 +√
3.
wiczenie 1.6. Wykaza¢, »e 1. p√3
5 + 2 −p√3
5 − 2 = 1, 2.
ra +√ a2− b2
2 +
ra −√ a2− b2
2 =√
a + b, a > b > 0, 3.
ra +√ a2− b2
2 −
ra −√ a2− b2
2 =√
a − b, a > b > 0, 4. p
a + b + 2√
ab +p
a + b − 2√ ab2
= 4a, a ≥ b ≥ 0, 5. ∀a,b6=0
a6 b2 + b6
a2 ≥ a4+ b4.
wiczenie 1.7. Rozªo»y¢ na czynniki nast¦puj¡ce wyra»enia 1. x4− y4,
2. x2− 2xy + y2− 16,
3. x4+ x2+ 1, 4. x8+ x4+ 1,
5. (x−y)3+(y −z)3+(z −x)3, 6. (x + y + z)3− x3− y3− z3.
wiczenie 1.8. 1. Zamieni¢ uªamek zwykªy 79 na uªamek dziesi¦tny.
2. Zamieni¢ uªamek dziesi¦tny 0, 3(15) na uªamek zwykªy.
wiczenie 1.9. Wykaza¢, »e
1. Je»eli a + b + c = 0, to a3+ b3+ c3 = 3abc. 2. Je»eli a2+b2+c2 = ab+ac+bc, to a = b = c.
3. a3− b3= (a − b)(a2+ ab + b2). 4. a3+ b3= (a + b)(a2− ab + b2).
2 Indukcja matematyczna
wiczenie 2.1. Udowodni¢, »e 1. ∀n∈N 1 + 2 + . . . + n = n(n + 1)
2 , 2. ∀n∈N
1 1 · 2+ 1
2 · 3+ . . . + 1
n(n + 1)= n n + 1.
wiczenie 2.2. Pokaza¢, »e
∀n∈N 12+ 22+ . . . + n2= n(n + 1)(2n + 1)
6 .
wiczenie 2.3. Udowodni¢, »e
1. ∀a,b∈R ∀n∈N (ab)n= an· bn, 2. ∀0<a<b ∀n∈N an< bn.
wiczenie 2.4. Wykaza¢, »e dla dowolnego n ∈ N liczba postaci 1. 34n+2+ 1jest podzielna przez 10,
2. 10n− 4jest podzielna przez 6, 3. n3+ 2njest podzielna przez 3, 4. 34n− 1jest podzielna przez 5, 5. 52n− 4jest podzielna przez 3, 6. 7 · 10n+ 2jest podzielna przez 9,
7. 4n+ 15n − 1jest podzielna przez 9, 8. 102n+1+ 1jest podzielna przez 11, 9. 10n− (−1)n jest podzielna przez 11, 10. 26n− 1jest podzielna przez 7, 11. n3− n jest podzielna przez 6,
12. n(2n2− 3n + 1)jest wielokrotno±ci¡ 6.
wiczenie 2.5. Udowodni¢ wzory na wyrazy ogólne danego ci¡gu arytmetycznego i geometrycznego oraz na sumy wyrazów tych ci¡gów.
wiczenie 2.6. Korzystajac z zasady indukcji matematycznej wykaza¢,»e 1. ∀n∈N 2n> 2n,
2. ∀n>3 3n> n2n, 3. ∀n>5 2n> n2, 4. ∀n>5 3n> 3n,
5. ∀n∈N (2n)! < 22n(n!)2, 6. ∀n≥2 2(n!) < (2n)!n+1,
7. ∀n∈N n! ≥ 2n−1, 8. ∀n>2 2n
n! 6 4n, 9. ∀n∈N 1
12 +212 +312 + . . . +n12 ≤ 2 − 1n, 10. ∀n≥3 n! ≥ n + 1,
11. ∀n≥2 1 +√1
2 +√1
3 + . . . +√1n >√ n, 12. ∀n∈N 1
n+1+ n+21 + . . . +3n+11 > 1.
3 Funkcja liniowa. Warto±¢ bezwzgl¦dna
wiczenie 3.1. Rozwi¡za¢ równania 1. |x − 1| + |x − 3| = 2,
2. ||x − 1| − 3| − |x − 1| = 0, 3. |4x + 5| − 4|6 − x| = 5, 4. |2x − 3| = |5x + 5|, 5. |2x − 4| − |4 − x| = 2, 6. ||x − 1| − 3| = 1,
7. |2x − 3| = 5x + 5, 8. ||x| + |x + 1|| = 4,
9. 2|x + 6| − |x| + |x − 6| = 18, 10. |6x − 3 − 2√
2| =p
17 − 12√ 2, 11. |√
x − 1 − 2| + |√
x − 1 − 3| = 1.
wiczenie 3.2. Rozwi¡za¢ równania w zale»no±ci od parametrów m, n 1. m2x − m2− 1 = x,
2. (m + 1)x + m = −1, 3. mx + 2 = x,
4. |x + 2| = m,
5. |mx + 2| = 1, 6. |x + m| = m, 7. |mx + 1| = m, 8. ||x − 2| − 1| = m,
9. mx + 2 = nx + n, 10. (x + m)2 = (x + n)2.
wiczenie 3.3. Niech m ∈ R b¦dzie parametrem. Rozwi¡za¢ nierówno±ci 1. |x − 2| < 5.
2. |x + 3| > 4, 3. |1 − 2x| < 3, 4. |x − 2| − 2
≥ 4,
5. p(x + 2)2− 8x + |3 − x| < 3x − 1, 6. |3x − 1| + |6 − 2x| < 10.
7. |x − 2| + |x − 7| < 3, 8. |x + 3| < 5 − |x − 1|, 9. |x − 2| < x + 2, 10. x − |5x − 2| < 0,
11. |x − 2| − |x − 1| ≥ |x + 1| − 5, 12. |x + 3| + 4 ≥ 2x,
13. |x + 5| < |2x − 1|, 14. |x + 2| + 1 ≥ x, 15. ||x − 1| − 2| > 3, 16. |2 − |x − 3|| ≤ 1, 17. |x + 3| > m, 18. |x − 1| < m,
19. (m + 1)x + 4 < (3 − 2m)x − 1
wiczenie 3.4. Poda¢ przykªad równania, którego rozwi¡zaniem s¡ jedynie liczby 1. x1 = 5,
2. x1 = 2, x2 = 5,
3. x1 = a, x2 = b, x3 = c, gdzie a, b, c ∈ R,
4. naturalne,
5. wszystkie liczby rzeczywiste.
wiczenie 3.5. Dla jakich warto±ci parametru m rozwi¡zaniem ukªadu równa«
1.
2x + 3y = 4
4x + my = 2m, jest para liczb dodatnich?
2.
3x + 4y − 5m + 7 = 0
x − 4y − m − 3 = 0, jest para liczb rzeczywistych o ró»nych znakach?
wiczenie 3.6. Narysowa¢ wykresy funkcji oraz okre±li¢ ich dziedziny 1. f(x) = |x| + |1 − x|,
2. f(x) = x − |2x|, 3. f(x) = |x|x, 4. f(x) = |x − 3|,
5. f(x) = |x + 2| + |x − 2|, 6. f(x) = ||x + 1| − 2|,
7. f(x) = x + m, gdzie m ∈ R, 8. f(x) = mx, gdzie m ∈ R, 9. f(x) = |mx|, gdzie m ∈ R, 10. f(x) = |x − m|, gdzie m ∈ R, 11. f(x) =
(3x − 3k dla x ∈ [k, k +12) 3x − (3k + 1) dla x ∈ [k +12, k + 1), gdzie k ∈ Z.
wiczenie 3.7. Narysowa¢ wykresy funkcji 1. f(x) = [x], x ∈ R, 2. f(x) = [√
2x], x ∈ R, 3. f(x) = x − [x], x ∈ R.
wiczenie 3.8. Narysowa¢ wykres funkcji f(x) = |x − 2| +√
x2+ 4x + 4oraz przeprowadzi¢ dyskusj¦
liczby rozwi¡za« równania f(x) = m w zale»no±ci od parametru m.
wiczenie 3.9. Narysowa¢ wykres funkcji f (x) =p
4x2− 12x + 9 − |2x − 1|.
Jak nale»y dobra¢ parametr n, aby równanie g(x) = 1 nie miaªo rozwi¡za«, je»eli g(x) = f(x) + n.
wiczenie 3.10. Narysowa¢ wykres funkcji f(x) =√
x2− 4x + 4−|x+1|.Jak nale»y dobra¢ parametr m,aby funkcja g(x) = f(x) + m nie miaªa miejsc zerowych.
wiczenie 3.11. Rozwi¡za¢ ukªad nierówno±ci
−3 ≤ |x|
x +|x − 1|
x − 1 +|x − 2|
x − 2 ≤ 3.
4 Funkcje trygonometryczne I
wiczenie 4.1. Sprawdzi¢ to»samo±ci trygonometryczne 1. cos x−cos 3x
sin 3x−sin x = tg 2x, 2. 1+cos 2xsin 2x ·1+cos xcos x = tgx2.
wiczenie 4.2. Rozwi¡za¢ równania 1. cos 3x = cos x,
2. sin x + cos x = 1, 3. sin x + cos 2x = 0,
4. sin x + sin 2x + sin 3x = 0, 5. tg x + ctg x = 4 sin 2x.
6. tg π4 − x + tg x = 0,
7. sin x sin 2x = 32cos x,
8. sin (ax + b) = 0.
wiczenie 4.3. Rozwi¡za¢ nierówno±ci 1. sin x > √23,
2. cos x < −12, 3. sin 3x > 12,
4. cos x + tg x < 1 + sin x, 5. ctg (2x + 1) > 0, 6. sin2x < 14, 7. cos2x ≥ 34,
8. cos x+sin x
cos 2x < 0, x ∈ [0, π], 9. sin x < cos x,
10. cos (x + a) > √23,
wiczenie 4.4. Sporz¡dzi¢ wykresy funkcji oraz okre±li¢ ich dziedziny 1. f(x) = sin12x,
2. f(x) = sin 2x, 3. f(x) = | sin x|,
4. f(x) = | cos x|, 5. f(x) = | tg x|, 6. f(x) = | ctg x|,
7. f(x) = a cos x, 8. f(x) = sin(ax), 9. f(x) = tg(x + a).
wiczenie 4.5. Dla jakich k ∈ Z równanie sin 2x = 2k−3k−4 ma rozwi¡znie?
wiczenie 4.6. 1. Obliczy¢ sin 2x,, je»eli ctg x = −158 oraz x ∈ 32π, 2π . 2. Obliczy¢ cos x, je»eli tg x =√
3oraz x ∈ π,32π .
3. Obliczy¢ cos x i tg x, je»eli sin x = −√23 oraz x ∈ 72π, 4π . 4. Obliczy¢ sin x i ctg x, je»eli cos x = −12 oraz x ∈ π,32π
. 5. Obliczy¢ tg x, je»eli sin 2x = −35 oraz x ∈ 34π, π
. 6. Obliczy¢ cos x i tg x, je»eli ctg x = 1 oraz x ∈ π2, 2π
.
wiczenie 4.7. Obliczy¢
1. tg 41o· tg 42o· . . . · tg 49o, 2. cos 20o· cos 40o· cos 80o, 3. cos 36o.
5 Funkcja kwadratowa
wiczenie 5.1. Wyznaczy¢ wzory na pierwiastki równania ax2 + bx + c = 0. Wyznaczy¢ wzór na wspóªrz¦dne wierzchoªka paraboli y = ax2+ bx + c.
wiczenie 5.2. Niech m ∈ R b¦d¡ parametrami. Rozwi¡za¢ równania 1. |x2− 3| = 2
2. 6x2− 7x − 3 = 0 3. x2− 9 = 0
4. −x2+ 2x − 3 = 0 5. x4− 2x2− 1 = 0 6. x2− m = 0
7. 3x2+ mx + 3 = 0
8. (m2− 4)x4− 2mx2+ 1 = 0, 9. 2x2− (m − 1)x + m + 1 = 0.
wiczenie 5.3. Niech m ∈ R b¦dzie parametrem. Rozwi¡za¢ nierówno±ci 1. |x2− 4x − 3| < 6,
2. 8 − |x2− 4| ≤ 3,
3. mx2+ 2x + 3 > 0,
4. x2+ mx + 3 > 0,
5. x2+ 2x + m > 0,
6. (m2−1)x2+2(m−1)x+2 >
0.
wiczenie 5.4. Niech f(x) = (m2+ 4m − 5)x2− 2(m − 1)x + 2, x ∈ R. Wyznaczy¢ wszystkie warto±ci parametru m, dla których funkcja f przyjmuje warto±ci dodatnie dla ka»dego x ∈ R.
wiczenie 5.5. Dla jakich warto±ci parametru m ukªad równa«
x2− 4x + y = 0 mx − y + 1 = 0,
ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie? Poda¢ interpretacj¦ geometryczn¡ problemu.
wiczenie 5.6. Funkcja kwadratowa y = ax2+ bx + c ma dokªadnie jedno miejsce zerowe i do jej wykresu nale»¡ punkty A = (0, 1) oraz B = (2, 9). Wyznaczy¢ a, b, c oraz poda¢ ilustracj¦ gra czn¡
rozwi¡zania zadania.
wiczenie 5.7. Dane jest równanie (m − 5)x2− 4mx + m − 2 = 0.
1. W jaki sposób ilo±¢ ró»nych rozwi¡za« danego równania zale»y od parametru m?
2. Dla jakich warto±ci parametru m liczba 1 zawiera si¦ mi¦dzy ró»nymi pierwiastkami tego równania lub jest jednym z nich?
wiczenie 5.8. Niech f(x) = (m − 2)x2− (m + 2)x −2−m1 , x ∈ R. Dla jakich warto±ci parametru m funkcja f ma dwa miejsca zerowe dodatnie, a dla jakich ró»nych znaków? Okre±li¢ zbiór rozwi¡za«
nierówno±ci f(x) < 0 w zale»no±ci od parametru m.
wiczenie 5.9. Dla jakich warto±ci parametru m pierwiastki rzeczywiste równania x2+√
5mx + m2+ m + 3 = 0, speªniaj¡ warunek x21+ x22≥ 3x1x2.
wiczenie 5.10. Zbada¢, dla jakich warto±ci parametru m równanie (m − 2)x4− 2(m + 3)x2+ 1 = 0 ma cztery ró»ne pierwiastki?
wiczenie 5.11. Dla jakich warto±ci parametru m nierówno±¢
(m2− 1)x2+ 2(m − 1)x + 2 > 0 jest speªniona dla ka»dego x ∈ R.
wiczenie 5.12. Niech x1, x2 b¦d¡ pierwiastkami równania x2+ x − 1 = 0 oraz niech n = x1
x2 +x2
x1. Dla jakich warto±ci parametru m nierówno±¢
x2+ (m + n)x + m x2+ x − 2n ≤ 1 jest speªniona przez ka»d¡ liczb¦ rzeczywist¡ x?
wiczenie 5.13. Wykaza¢, »e dla dowolnej liczby x ∈ R zachodzi nierówno±¢ 1+x|x|2 ≤ 12.
wiczenie 5.14. Narysowa¢ wykres funkcji f : R → R 1. f(x) = |x2− 4|,
2. f(x) = x2− |x2− 4|, 3. f(x) = |x2− x − 2| − 3,
4. f(x) = −|x2− 1| + 3, 5. f(x) = (−|x| + 3)2, 6. f(x) = x2+ m, m ∈ R,
7. f(x) = (x + m)2, m ∈ R,
8. f(x) = mx2, m ∈ R.
wiczenie 5.15. Niech f(x) = x2+ 5x + 6, g(x) = −x2− 2x + 8, x ∈ R. Narysowa¢ wykres funkcji h(x) = max (f (x), g(x)), x ∈ R.
wiczenie 5.16. Narysowa¢ wykres funkcji f(x) = x2− 5|x| + 4
oraz okre±li¢ ilo±¢ ró»nych rozwi¡za«
równania f(x) = m, w zale»no±ci od parametru m.
wiczenie 5.17. Poda¢ przykªad funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola 1. przechodz¡ca przez punkt (1, −2) o wierzchoªku w punkcie (−1, 2),
2. przechodz¡ca przez punkt (−1, −1) o wierzchoªku w punkcie (−1, 2), 3. przechodz¡ca przez punkty (−1, 1), (4, 0), (1, −2),
4. przechodz¡ca przez punkty (−1, 1), (1, −2).
wiczenie 5.18. Poda¢ przykªad równania kwadratowego, którego rozwi¡zaniem s¡ jedynie liczby 1. x1 = 1, x2= −3,
2. x1 = 5,
3. x1 = −7, 4. x1 =√
m2+ 1, x2= −√
m2+ 1, m ∈ R.
wiczenie 5.19. Poda¢ przykªad równania kwadratowego, które nie posiada rozwi¡za«.
wiczenie 5.20. Poda¢ przykªad nierówno±ci kwadratowej, której zbiorem rozwi¡za« jest zbiór
1. pusty, 2. [−1, 2], 3. (−∞, −1] ∪ [2, +∞).
6 Wielomiany
wiczenie 6.1. Liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu
W (x) = 2x4+ 13x3+ 25x2+ 15x + 9.
Okre±li¢ krotno±¢ tego pierwiastka oraz wyznaczy¢ pozostaªe pierwiastki wielomianu W.
wiczenie 6.2. Liczba -1 jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu W (x) = x4+ 4x3+ 2x2− 4x − 3.
Wyznaczy¢ pozostaªe pierwiastki wielomianu W.
wiczenie 6.3. Rozwi¡za¢ równania i nierówno±ci 1. x6+ x5− 8x3− 8x2 = 0,
2. x4+ 4x3− 18x2− 12x + 9 = 0, 3. x4− 2x3+ 4x2− 6x + 3 = 0, 4. x3− 7x = |4x2− 10|,
5. −5(x − 2)4(x + 1)3(x − 3) ≤ 0,
6. (x + 6)2(2 − 3x)3(x2− 9) ≤ 0, 7. (x3− 2x2)(4 − x2) > 0, 8. |x3− 1| < x2+ x + 1, 9. (x + 3)2(x − 5)(x + 1)3< 0.
wiczenie 6.4. Wyznaczy¢ warto±ci parametru m, dla których wielomian W (x) = (m − 2)x4− 2(m + 3)x2+ m − 1, ma cztery pierwiastki rzeczywiste ró»ne od zera.
wiczenie 6.5. Rozwi¡za¢ równanie ax3+ bx2 + cx + d = 0 wiedz¡c, »e wspóªczynniki a, b, c, d w podanej kolejno±ci tworz¡ ci¡g geometryczny o ilorazie q = 3.
wiczenie 6.6. Wyznaczy¢ a, b, c tak, aby wielomian W (x) = x4− 5x3+ ax2+ bx + c,byª podzielny przez x2− x − 12,a przy dzieleniu przez x + 1 dawaª reszt¦ -180.
wiczenie 6.7. Wielomian Q(x) = x5 + 3x3 + px2 + qx + 3 daje przy dzieleniu przez wielomian P (x) = x2+ 2reszt¦ R(x) = x + 1. Wyznaczy¢ wspóªczynniki p oraz q.
wiczenie 6.8. Przy dzieleniu wielomianu W (x) stopnia n > 1 przez x − 1 otrzymujemy reszt¦ 2, natomiast przy dzieleniu W (x) przez x − 2 reszt¦ 1. Ile wynosi reszta przy dzieleniu tego wielomianu przez (x − 1)(x − 2)?
wiczenie 6.9. Wielomian Q(x) = x3− (k + m)x2− (k − m)x + 3 jest podzielny przez dwumiany x − 1oraz x − 2. Rozwi¡za¢ nierówno±¢ Q(x) < 0.
wiczenie 6.10. Dla jakich warto±ci a, b, c liczba 1 jest potrójnym pierwiastkiem równania x4+ ax3+ bx2+ cx − 1 = 0?
wiczenie 6.11. Dany jest wielomian Q(x) = x3 + ax2− bx − 6. Liczby 1 oraz 2 s¡ pierwiastkami tego wielomianu. Wyznaczy¢ wspóªczynniki a, b oraz rozwi¡za¢ nierówno±¢ (−x2− 4x + 5) · Q(x) ≥ 0.
wiczenie 6.12. Wielomiany W (x) = a(x − 2)(x − 3) + b(x − 1)(x − 3) + c(x − 1)(x − 2) oraz G(x) = 5x2− 19x + 18 s¡ równe. Wyznaczy¢ liczby a, b, c.
wiczenie 6.13. Dla jakich warto±ci p oraz q równanie x3+ px + q = 0ma trzy pierwiastki takie, »e x1 = x2= x3+ 6?
wiczenie 6.14. Rozªo»y¢ na czynniki wielomian postaci
W (x) = x4− x3− x2+ x, x ∈ R.
7 I kolokwium odb¦dzie si¦ w dniach 28.11.2011 − 02.12.2011.
8 Funkcje wymierne
wiczenie 8.1. Rozwi¡za¢ równania z niewiadom¡ x. Przeprowadzi¢ dyskusj¦ istnienia rozwi¡za«
i ich liczby w zale»no±ci od warto±ci parametru a 1. 5
x2− 4− 8
x2− 1 = 2
x2− 3x + 2 − 20 x2+ 3x + 2, 2. 12
1 − 9x2 = 1 − 3x
1 + 3x+1 + 3x 3x − 1, 3. x3+x13 = 6 x + 1x
,
4. x − 2a
x + 3a = 3 −2x2− 13a2 x2− 9a2 .
wiczenie 8.2. Niech m ∈ R b¦dzie parametrem. Rozwi¡za¢ nierówno±ci 1. x2− 5
x < x + 1,
2. x
x2− 5x + 6 < 1 x − 2,
3.
x2− 5x + 3 x2− 1
< 1, 4. −1 < x + 1
x − 1 < 3 x − 3, 5. 0 < x
x2− x + 1 < 1,
6. x2+ mx − 2 x − x2− 1 < 2.
7. m
(x + 1)3 > 1 x + 1.
wiczenie 8.3. Dla jakich warto±ci parametru m zbiorem rozwi¡za« nierówno±ci
−1 < x2+ mx x2− x + 2 < 2, jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych?
wiczenie 8.4. Dobra¢ liczby a, b tak, aby dla ka»dego x ∈ R \ {−1, 2} zachodziªa równo±¢
x2+ 5
x3− 3x − 2 = a
x − 2+ b (x + 1)2.
wiczenie 8.5. Naszkicowa¢ wykresy funkcji oraz okre±li¢ ich dziedziny 1. f(x) =
x − 1 x + 1 ,
2. g(x) =
x + 3 x − 3 ,
3. h(x) =
2x − 1 x + 1
, 4. k(x) = |x|
x − 1, 5. r(x) = x
|x − 1|,
6. s(x) = 2|x| − 3 3|x| − 2, 7. t(x) = xa, 8. w(x) = x−a1 .
9 Funkcje pierwiastkowe
wiczenie 9.1. Rozwi¡za¢ równania niewymierne 1. √
x + 1 +√
x − 1 = 1, 2. √
4x + 2 +√
4x − 2 = 4, 3. √
x + 4 +√
x + 11 = 7, 4. p
x +√
x2+ 1 = 2, 5. √x−11 +2a1 = 35,
6. 2x − 3√
x − 8 = 25, 7. √
14 − x =√
x − 4 +√ x − 1, 8. 2√
x2− 8x + 16 = x(6 − x), 9. √
x −√
2x − 1 = 1 − x, 10. x −p
x2− x + 1 +√
x2+ x − 6 = 1.
wiczenie 9.2. Rozwi¡za¢ nierówno±ci pierwiastkowe 1. √
x ≥√ 2x − 4, 2. √
x + 2 >√ 2x − 8, 3. q
3x−1 2−x > 1, 4. √
x2− 9 ≥ 4 − x,
5. p(x + 4)(x − 3) < 6 − x,
6. √
5 − 2x ≤ 1 − x, 7. √
1 + x2 ≥ x + 1, 8. √
x − 2 + x > 4, 9. √
x2− 16 < 2 − x, 10. √
2 + x − x2 ≥ x − 4,
11. √
−2x2+ 8x ≤ x−4−5, 12. p
x + 3 +√
2x + 9 ≤ 4, 13. (x − 1)√
x + 4 < 2 − 4x, 14. √xx22+2+1 ≥ 2,
15. √
3x − 11 −√ x ≥ 3.
wiczenie 9.3. Niech m ∈ R b¦dzie parametrem, rozwi¡za¢
1. √
2 − 4x2− mx +√
2 = 0, 2. x + 4m > 5√
mx.
wiczenie 9.4. Narysowa¢ wykresy funkcji oraz okre±li¢ ich dziedziny 1. f(x) = [2√
x].
2. f(x) =√ x + 1, 3. f(x) = √1x,
4. f(x) = p|x + 1|, 5. f(x) = 3 −√
x + 2, 6. f(x) = |1 − p|x||,
7. f(x) = [√ x],
8. f(x) = [x√ 2].
10 Funkcje wykªadnicze
wiczenie 10.1. Rozwi¡za¢ równania 1. 5x− 53−x = 20,
2. 10x· (1 + 2x) = 6 · 5x, 3. 2x+ 3 · 2−x = 4, 4. 49x− 6 · 7x+ 5 = 0,
5. 23x· 7x−2 = 4x+1, 6. 8x+ 18x− 2 · 27x= 0, 7. 4√x−4−10·2
√x−4+16 = 0, 8. 3√
22x+1
= 12 · 9x,
9.
2
2
√x+3 1
2√ x
√x−12
= 4, 10. √
xx= x
√x, 11. 4x+ a · 2x− 1 = 0.
wiczenie 10.2. Rozwi¡za¢ nierówno±ci 1. 1 < 2x+ 21−x < 3,
2. 2x1−1 > 1−21x−1,
3. 12x
− 12−1−x
≥ 1, 4. 2x+1− 3x < 2x−1,
5. 12
√
x6−2x3+1
< 121−x
, 6. |x|x2−x−2< 1.
wiczenie 10.3. Punkt o wspóªrz¦dnych −3,16
nale»y do wykresu funkcji wykªadniczej f. Rozwi¡za¢
nierówno±¢ f(x) ≤ 6.
wiczenie 10.4. Sporz¡dzi¢ wykresy funkcji 1. f(x) = 2x− 1,
2. f(x) = −2x−1+ 2,
3. f(x) = 3|x|, 4. f(x) = |3x− 1| ,
5. f(x) = 12x−1
+3, 6. f(x) = [2x],
7. f(x) = [2−x].
wiczenie 10.5. Dla jakich warto±ci parametru m równanie
x2− (2m− 1) x − 3 4m−1− 2m−2 = 0, ma dwa pierwiastki ró»nych znaków?
wiczenie 10.6. Dla jakich warto±ci parametru m równanie 4x+ (m − 2)2x+ 4 = 0, ma dwa pierwiastki rzeczywiste?
wiczenie 10.7. Dane s¡ funkcje f1 oraz f2 okre±lone wzorami f1(x) = 4x+3 − 7 · 3x+2, f2(x) = 33x+2− 5 · 43x.Rozwi¡za¢ równanie f1(x − 2) = f2 x
3 .
wiczenie 10.8. Rozwi¡za¢ ukªady równa«
1.
4x+ 4y = 20
2x+y = 8, 2.
2x· 3y = 12 2y· 3x = 18.
wiczenie 10.9. Obliczy¢ trzeci wyraz ci¡gu geometrycznego postaci 2x1, 2x2, 2x3, . . . wiedz¡c, »e x1+ x2+ . . . + x10= 110 oraz x7 = 14.
wiczenie 10.10. Rozwi¡za¢ równanie
52· 54· 56· . . . · 52n = 0, 04−28, n ∈ N.
wiczenie 10.11. Jakie warunki powinien speªnia¢ parametr m, aby pierwiastki x1, x2 równania 5x(x+1)· 25m(m−1)2 =p
5x2 · 125mx+m+12 speªniaªy nierówno±¢ x11 +x1
2 > 0.
11 Funkcje logarytmiczne 1
wiczenie 11.1. Obliczy¢
1. log2√28, 2. 3log3√327, 3. log2log 100.
wiczenie 11.2. Rozwi¡za¢ równania 1. 1+log x1 +3−log x5 = 3,
2. logx8 + logx4 = 2 + logx2, 3. log2(9 − 2x) = 3 − x,
4. log(x − 3) − log(4 − x) = 1 − log(5 − x), 5. log2√
x − 3 − log2√
2x + 1 = log410, 6. log4log3log2x = 0,
7. xlog x= 100x,
8. log16x + log4x + log2x = 7,
9. (log3x)(logx5) = log35,
10. x + log(1 + 2x) = x log 5 + log 6, 11. logx5√
5 −54 = (logx√ 5)2,
12. log 2 + log 4x−2+ 9 = log 10 + log 2x−2+ 1 , 13. 6log26x+ xlog6x = 12,
14. logx−ax+a = 1,
15. loga2x + logx2a = 1, 16. loga(ax) · logx(ax) = loga2 1
a.
wiczenie 11.3. Wyznaczy¢ zbiory okre±lono±ci funkcji zde niowanych poni»szymi wzorami 1. f(x) =q
log1
3 x −x1, 2. f(x) = √ 1
log(x−1)−log(x−3), 3. f(x) =r
log3(x2−1) log1
3(x2−2).
12 Funkcje logarytmiczne 2
wiczenie 12.1. Rozwi¡za¢ nierówno±ci 1. log1
2(log4(x + 1)) > 0, 2. log(2x) 1
x−1 > 0, 3. 3log12(x2−5x+7)
< 1, 4. log(2x+3)x2< 1,
5. log 2
6. log1
2 x > log1 3x,
7. log2 log3x2 − log2(log3(1 − x)) ≤ 1, 8. log1
3
1
x −log1
1 3x ≤ 2, 9. log
3
√
x(x−4)
x−3 + 1
≤ 1,
10. loga(x2+ 1) > 1, 11. xlogax< a, 12. log1
ax > 1,
13. log(ax) > 2 log(x + 1),
14. x2− 2x (1 + log a) + log2a + 1 > 0.
wiczenie 12.2. Sporz¡dzi¢ wykresy funkcji 1. f(x) = − log3x, x > 0,
2. f(x) = log3(3 − x), x < 3, 3. f(x) = log3|x − 2|, x 6= 2, 4. f(x) =
log1
2 x
, x > 0, 5. f(x) = log2(log2x) , x > 1, 6. f(x) = 2log12x, x > 0.
7. f(x) = log2| log2x|, x > 0, x 6= 1,
8. f(x) = log2| log2|x||, x 6= 0, x 6∈ {−1, 1}, 9. f(x) = 2log2x, x > 0,
10. f(x) = log22x, x ∈ R, 11. f(x) = [log2x], x > 0.
wiczenie 12.3. Dla jakich warto±ci parametru m równanie x2+ 2x + log3m = 0,
ma dwa pierwiastki rzeczywiste, których suma odwrotno±ci jest mniejsza od 1?
wiczenie 12.4. Dla jakich warto±ci parametru m równanie log mx = 2 log(x + 1), ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie?
13 Funkcje trygonometryczne 2
wiczenie 13.1. Sprawdzi¢ to»samo±¢ trygonometryczn¡
sin6x + cos6x = 1 −3
4sin22x.
wiczenie 13.2. Rozwi¡za¢ równania 1. cos22x = 1,
2. logsin x4 3 = −2,
3. 22cos2 xsin2 x =√ 2, 4. 3sin2x− 3cos2x = 2,
wiczenie 13.3. Rozwi¡za¢ nierówno±ci 1. cos2x < 12,
2. cos(x2) > 12, 3. sin√
x < 12, 4. tg(3x + 5) >√
3,
5. cos x ctg 2x ≤ 0, 6. cos 2xcos x < 1, x ∈ (0, π), 7. tg√
2x+ 1 > √1
3, 8. sin x > a,
9. cos x < a,
10. tg x > a,
11. ctg x < a, 12. sin3x cos x − cos3x sin x ≤ 14,
13. √
cos2x − cos x ≥ sin x, x ∈ [0, 2π].
wiczenie 13.4. Sporz¡dzi¢ wykresy funkcji oraz okre±li¢ ich dziedziny 1. f(x) = sin x1 ,
2. f(x) = arccos(cos x),
3. f(x) = cos(arccos x), 4. f(x) = arctg(tg x),
5. f(x) = tg(arctg x).
wiczenie 13.5. Upro±ci¢ wyra»enie q
sin2α(1 + ctg α) + cos2α(1 + tg α).
wiczenie 13.6. Dla jakich warto±ci α ∈ [0, π] równanie x2sin α + x + cos α = 0, ma dwa ró»ne pierwiastki rzeczywiste?
wiczenie 13.7. Niech f(a) oznacza liczb¦ pierwiastków rzeczywistych równania 2x2− 4x sin a + 1 = 0,
gdzie a ∈ [0, π] jest parametrem. Funkcj¦ f zapisa¢ wzorem i narysowa¢ jej wykres.
wiczenie 13.8. Dla jakich warto±ci parametru α ∈ R równanie x2+ (sin α + cos α)x +3
4sin 2α = 0, ma dwa pierwiastki rzeczywiste o tych samych znakach?
14 Wªasno±ci funkcji jednej zmiennej
wiczenie 14.1. Korzystaj¡c z de nicji sprawdzi¢, czy podane funkcje s¡ monotoniczne na wskazanych zbiorach
1. f(x) = x3, R;
2. g(x) = 1x, (0, ∞);
3. h(x) = x +x4, [2, ∞);
4. r(x) = 4x − x2, [2, ∞).
wiczenie 14.2. Okre±li¢ (o ile jest to mo»liwe) funkcje zªo»one f ◦ f, f ◦ g, g ◦ f, g ◦ g, je»eli 1. f(x) = x1, g(x) = x2;
2. f(x) = 2x, g(x) = x2; 3. f(x) = x1, g(x) = x12; 4. f(x) = log2x, g(x) = 2x;
5. f(x) = −x, g(x) = log x;
6. f(x) =√
x, g(x) = x4; 7. f(x) = 2 + cos x, g(x) =√
x.
wiczenie 14.3. Sprawdzi¢, na podstawie de nicji, czy podane funkcje s¡ ró»nowarto±ciowe na wskazanych zbiorach
1. f(x) = x2, (−∞, 1];
2. g(x) = 2x−1x+3 , R \1
2 ;
3. h(x) = x2x+1, R;
4. r(x) = x4, [0, ∞).
wiczenie 14.4. Znale¹¢ funkcje odwrotne do podanych 1. f(x) = 1 − 3−x;
2. g(x) = 2 − log5x;
3. h(x) = x3− 3x2+ 3x + 27;
4. u(x) = 1 −√ x − 4.
wiczenie 14.5. Zbada¢ parzysto±¢ nast¦pujacych funkcji 1. f(x) = sin x + cos x;
2. g(x) = x22xx+1−1;
3. h(x) = logx−1x+1; 4. r(x) = log
x +√ 1 + x2
.
wiczenie 14.6. Wykaza¢, »e funkcja f(x) = x +x1, x 6= 0 jest funkcj¡ nieparzyst¡, ±ci±le rosnac¡ na przedziale [1, +∞) oraz ±ci±le malej¡c¡ na przedziale (0, 1].
wiczenie 14.7. Wykaza¢, »e zªo»enie dwóch funkcji ró»nowarto±ciowych jest funkcj¡ ró»nowarto±- ciow¡.
wiczenie 14.8. Niech D b¦dzie niepustym podzbiorem R symetrycznym wzgl¦dem zera i niech f : D −→ R. Wykaza¢, »e f mo»na przedstawi¢ jako sum¦ funkcji parzystej i nieparzystej.
wiczenie 14.9. Wykaza¢, »e
1. iloczyn dwóch funkcji nieparzystych lub parzystych jest funkcj¡ parzyst¡, 2. iloczyn funkcji nieparzystej i parzystej jest funkcja parzyst¡,
3. suma dwóch funkcji parzystych (nieparzystych) jest funkcja parzyst¡ (nieparzyst¡).
wiczenie 14.10. Niech f : D −→ R, g : G −→ R, gdzie f(D) ⊂ G. Wykaza¢, »e
1. je»eli funkcje f, g s¡ jednocze±nie rosn¡ce lub jednocze±nie malej¡ce, to g ◦ f jest funkcj¡ rosnac¡;
2. je»eli f jest rosn¡ca, za± g malej¡ca, to g ◦ f jest funkcj¡ malej¡c¡;
3. je»eli f jest malej¡ca, za± g rosn¡ca, to g ◦ f jest funkcj¡ malejac¡.
15 II kolokwium odb¦dzie si¦ w dniach 09.01.2012 − 13.01.2012.
Poprawa I i II kolokwium odb¦dzie si¦ w dniach 16.01.2012 − 20.01.2012.
