1. Zbadać określoność formy kwadratowej q(x1, x2, x3) = x21+ 2x22+ λx23+ 6x1x2+ 6x1x3+ 4x2x3 w zależności od λ. Dla λ = 0 znaleźć bazę , w ktorej forma ma postać diagonalną.
2. Niech A będzie bazą przestrzeni liniowej Rn. Wykazać, że forma dwuliniowa h na Rn jest iloczynem skalarnym wtedy i tylko wtedy gdy macierz h w bazie A jest postaci CTC gdzie C jest macierzą odwracalną.
3 (a) Niech H będzie podzbiorem grupy Zp× Zp2 składającym się elementów x takich, że px = 0, 0 oznacza element neutralny w grupie. Wykazać, że H jest podgrupą w Zp× Zp2. Czy jest to grupa cykliczna?
(b) Ile jest homomorfizmów grupy Zp× Zp2 w Zp× Zp?
4. 3. (a) Wyznaczyć wszystkie, z dokładnością do izomorfizmu, grupy abelowe rzędu 60.
(b) Czy Z4× Z6 jest izomorficzna z Z2× Z12? Odpowiedź szczegółowo uzasadnić.
1
