Sprawdzian nr 4, 15.5.2020 grupa B

(1)

Sprawdzian nr 4, 15.5.2020 grupa B Drodzy uczniowie,

Sprawdzian składa się z dwóch części: testu 7 pytań i 5 zadań. Można w sumie uzyskać 14 + 32 = 46 punktów. Macie na to 2 godziny i 15 minut. Zaczynamy o 8:30, kończymy 10:45. Proszę starannie uzasadniać każde z Waszych stwierdzeń. Proszę rozwiązania zadań pisać odręcznie. Można pisać rysikiem np. na IPadzie. Najlepiej zrobić zdjęcia Waszych rozwiązań na kartkach lub je zeskanować, a następnie (pliki) proszę dołączyć do MS Teams. Rozwiązania różnych zadań proszę pisać na oddzielnych kartkach. Wszystko trzeba oddać przed 10:45. W czasie sprawdzianu będę dostępny na Rocket.Chat, a na początku na zoom.

Nie korzystamy z pomocy Kolegów, Koleżanek, ani wszelkich rodzajów kalkulatorów. Na koniec proszę podpisać się pod zdaniem:

Wszystkie zadania rozwiązałem/am samodzielnie.

Powodzenia!

Zadanie 1. (B) Znajdź i udowodnij wzór jawny na ciąg a_n zdefiniowany przez a1 = 1, an+1 = a_n

1 + 2a_n.

Zadanie 2. (B) (6 pkt) Ciąg (a_n) jest arytmetyczny i nie jest stały, a₁ = 1, a ciąg (a₂, a₅, a₁₁) jest geometryczny. Oblicz sumę pierwszych 2020 wyrazów ciągu (an)

Zadanie 3. (B) Wskaż dowolną taką liczbę N , że

∀_n>N0 < √³

n³+ n − n < 0.001 lub uzasadnij, że taka liczba nie istnieje.

Zadanie 4. (B) (6 pkt) Ciąg (a_n) spełnia warunki: a₀ = −3, a₁ = 11, a₂ = 35, a_n+3 = 12a_n+ 13a_n+1 dla n 0. Znajdź wzór jawny na a_n. Oblicz resztę z dzielenia a₁₀₀ przez 101.

Zadanie 5. (B) (8 pkt) Dla jakich liczb a, b ∈ R następujące ciągi są zbieżne (a) x1 = a, xn+1 = 2 + bxn;

(b) y₁ = a, y_n+1 = b +^qy_n² + 1.

(2)

TEST

Proszę każdą odpowiedź krótko uzasadnić (1-3 zdania.) Każde pytanie jest warte 2 pkt.

Zadanie 1. Czy istnieje ciąg geometryczny, którego pewnymi wyrazami, niekoniecznie kolej- nymi, są 11, 12, 13?

Zadanie 2. Czy istnieje ciąg arytmetyczny, którego pewnymi wyrazami, niekoniecznie kolej- nymi, są √

11, √ 12, √

13?

Zadanie 3. Czy znajdzie się takie n, że 1 + 1

4+ 1

9+ . . . + 1

n² > 10?

Zadanie 4. Czy znajdzie się takie n, że 10.01 > 1 + 1

2 +1

3 + . . . + 1

n > 10?

Zadanie 5. Czy znajdzie się takie n, że 2 + 2

3 +2

9 + . . . + 2 3ⁿ > 3?

Zadanie 6. Czy ciąg zbieżny może nie mieć ani wyrazu największego, ani najmniejszego?

Zadanie 7. Czy istnieje ciąg, którego wszystkimi punktami skupienia są liczby 1,¹₂,¹₃, . . . (i tylko one)?

2