Nauczyciel: Marzena Mrzygłód Przedmiot: matematyka Klasa: 1 TRp
Temat lekcji: Rozwiązywanie układów równań metodą podstawiania Data lekcji: 21.04.2020 – lekcja 1 i 2
Wprowadzenie do tematu:
Ostatnio zajmowaliśmy się układami równań i wprowadziliśmy metodę podstawiania. Rozwiązywaliśmy proste układy, w których jedno z równań było już przekształcone i gotowe do wstawienia:
np.:{𝑥 = 2𝑦 − 1
3𝑥 − 5𝑦 = 8 wstawiamy pierwsze równanie do drugiego zamiast x { 𝑥 = 2𝑦 − 1
3(2𝑦 − 1) − 5𝑦 = 8 rozwiązujemy drugie równanie { 𝑥 = 2𝑦 − 1
6𝑦 − 3 − 5𝑦 = 8 {𝑥 = 2𝑦 − 1
𝑦 = 11 otrzymaną wartość y wstawiamy do pierwszego równania {𝑥 = 2 ∙ 11 − 1
𝑦 = 11 {𝑥 = 21
𝑦 = 11 rozwiązanie Instrukcje do pracy własnej:
Na tych zajęciach zajmiemy się rozwiazywaniem układów metodą podstawiania.
1) {3𝑥 + 𝑦 = 2
4𝑥 + 3𝑦 = 1 Wybieramy równanie z którego wyliczymy x lub y w najłatwiejszy sposób. Proponuję z pierwszego równania wyznaczyć y.
Wystarczy przenieść 3x na drugą stronę zmieniając znak {𝑦 = −3𝑥 + 2
4𝑥 + 3𝑥 = 1 Tak wyznaczony y wstawiamy do drugiego równania
{ 𝑦 = −3𝑥 + 2
4𝑥 + 3(−3𝑥 + 2) = 1 Zajmujemy się drugim równaniem, pozbywamy się nawiasu.
{ 𝑦 = −3𝑥 + 2
4𝑥 − 9𝑥 + 6 = 1 Wyliczamy z drugiego równania x
{𝑦 = −3𝑥 + 2
−5𝑥 = −5 {𝑦 = −3𝑥 + 2
𝑥 = 1 Obliczoną wartość x, wstawiamy do pierwszego równania
{𝑦 = −1
𝑥 = 3 Mamy rozwiązanie.
2) {2𝑥 − 5𝑦 = 11
𝑥 − 4𝑦 = 10 Wybieramy równanie z którego wyliczymy x lub y w najłatwiejszy
sposób. Proponuję z drugiego równania wyznaczyć x.
Wystarczy przenieść -4y na drugą stronę zmieniając znak {2𝑥 − 5𝑦 = 11
𝑥 = 10 + 4𝑦 Tak wyznaczony x wstawiamy do drugiego równania
{ 𝑥 = 10 + 4𝑦
2(10 + 4𝑦) − 5𝑦 = 11 Zajmujemy się drugim równaniem, pozbywamy się nawiasu.
{ 𝑥 = 10 + 4𝑦
20 + 8𝑦 − 5𝑦 = 11 Wyliczamy z drugiego równania x
{𝑥 = 10 + 4𝑦
3𝑦 = −9
{𝑥 = 10 + 4𝑦
𝑦 = −3 Obliczoną wartość y, wstawiamy do pierwszego równania
{𝑦 = −3
𝑥 = −2 Mamy rozwiązanie.
Układ, który ma skończoną liczbę rozwiązań ( w naszym przypadku jedno) nazywamy układem oznaczonym.
Układy zaprezentowane wyżej są układami oznaczonymi.
Układ, który nie ma rozwiązania nazywamy układem sprzecznym.
np.: { 4𝑥 − 𝑦 = 6
−8𝑥 + 2𝑦 = −1 { 𝑦 = 4𝑥 − 6
−8𝑥 + 2𝑦 = −1 { 𝑦 = 4𝑥 − 6
−8𝑥 + 2(4𝑥 − 6) = −1 { 𝑦 = 4𝑥 − 6
−8𝑥 + 8𝑥 − 12 = −1 {𝑦 = 4𝑥 − 6
−12 = −1 otrzymaliśmy zapis, który nie jest prawdą: -12 nie jest równe -1.
{𝑦 = 4𝑥 − 6
−12 ≠ −1 Jest to sprzeczność, więc układ jest sprzeczny
Układ nazywamy nieoznaczonym jeśli ma nieskończenie wiele rozwiązań.
np.: { 𝑥 + 2𝑦 = 7
−3𝑥 − 6𝑦 = −21 { 𝑥 = 7 − 2𝑦
−3𝑥 − 6𝑦 = −21 { 𝑥 = 7 − 2𝑦
−3(7 − 2𝑦) − 6𝑦 = −21 { 𝑥 = 7 − 2𝑦
−21 + 6𝑦 − 6𝑦 = −21 {𝑥 = 7 − 2𝑦
0 = 0 w drugim równaniu wszystkie wyrażenia się uprościły, jest to równanie tożsamościowe spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą
Taki układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, nazywamy go nieoznaczonym.
Można podać kilka par liczb spełniających ten układ:
np. : {𝑥 = 1
𝑦 = 3 ; {𝑥 = −5
𝑦 = 6 ; {𝑥 = 7
𝑦 = 0 … Praca własna:
Rozwiąż trzy układy z ćw.1 str. 121 oraz ćw. 4 str. 123.
Informacja zwrotna:
Spotkanie online na platformie Discord – 21.04.2020 o godz. 10.00-11.30.
Osoby, które się jeszcze nie logowały na platformie, proszę o kontakt przez komunikator na dzienniku w celu podania linku do logowania.
Rozwiązania zadań, wszelkie pytania i wątpliwości do tematu proszę przesyłać na adres:
[email protected] do dnia 27.04.2020 r.
Opracowała: Marzena Mrzygłód
