Seria zadań domowych nr 1, AM 2, Termin oddania prac: 20.04
Proszę wybrać dokładnie 3 zadania, które mam ocenić. Rozwiązania proszę starannie zredagować w zeszycie zadań domowych. Punktacja według reguł Klubu 44 Delty. Oceniam każde z wybranych zadań w skali od 0 do 1, a następnie ocenę mnożę przez współczynnik trudności danego zadania: WT = 4 − 3S/N, gdzie S oznacza sumę ocen za rozwiązania tego zadania, a N liczbę osób, które oddały rozwiązanie choćby jednego zadania.
Zadanie 1. Sprawdzić, czy funkcja f (x, y) = e−xysin x jest całkowalna (w sensie Lebesgue’a) na zbiorach (a) [0, 2π] × [0, +∞),
(b) [0, +∞) × [0, +∞).
Zadanie 2. Obliczyć moment bezwładności czworościanu foremnego względem
(a) prostej przechodzącej przez wierzchołek i środek przeciwległej ściany, (b) prostej zawierającej krawędź czworościanu.
Zadanie 3. Niech Ax, Ay, Azoznaczają kolejno rzuty prostopadłe zbioru mierzalnego A ⊂ R3na płaszczyzny {x = 0}, {y = 0}, {z = 0}. Udowodnić, że
λ3(A) ¬q
λ2(Ax)λ2(Ay)λ2(Az).
Zadanie 4. Obliczyć granice (n → ∞) całek (a) R1
0
p| sin(nx)|dx,n
(b) R1
0 (1 + sin(x/n))ndx.
Zadanie 5. Obliczyć
t→∞lim e−t(t+1)2/4(t − 1)−2 Z t
1
Z t 1
exytdxdy.
Zadanie 6. Znaleźć siłę grawitacyjną, z jaką na ustalony punkt materialny P działa jednorodna kula materialna K = {(x, y, z) : x2+ y2+ z2 = R2}. (Rozważyć dwa przypadki P ∈ K, P 6∈ K. Wskazówka: Prawo powszechnego ciążenia.) Wywnioskować, że czas potrzebny na przebycie tunelu (przez swobodną cząstkę poruszającą się pod wpływem siły grawitacyjnej) z A = (−a, 0,√
R2− a2) do B = (a, 0,√
R2− a2) nie zależy od a ∈ (0, R).
Zadanie 7. Każdy punkt krzywej E = {(x, y, z) : x2+ y2 = 1, x + z = 1} łączymy odcinkiem z punktem (0, 0, 0).
Suma tych odcinków (bez końców) tworzy powierzchnię M . ObliczyćR
M|y|dσM. Zadanie 8. Niech M będzie powierzchnią, która powstała w wyniku obrotu krzywej
C = {(x, 0, z) : (x − 2)2+ z2= 1, x 2, z 0}
wokół prostej x = 0 = y o kąt π/4. Znajdź pole powierzchni M oraz środek masy M (zakładając, że masa rozłożona jest jednostajnie na M ).
Zadanie 9. Obliczyć
n→∞lim Z
A
e−z(x + y)(n+1)
1 + (x + y)n d(x, y, z), gdzie A = {(x, y, z) : x2+ y2< x + y, z > 0}.
Zadanie 10. Niech γ(t) = (t3−3t, |t5−5t|), C = γ([−1, 1]), a = γ(−1), b = γ(1). Znaleźć zbiór TaC złożony z wektorów stycznych do C w punkcie a, oraz analogicznie TbC. Niech A = a + TaC, B = b + TbC. Wykazać, że dokładnie jedna składowa spójności zbioru R2\ (C ∪ A ∪ B) jest ograniczona i znaleźć jej pole.
