17.12.2019, kl 2b Równania diofantyczne
Diofantos — matematyk grecki (III wiek n.e.), autor dzieła „Arytmetyka”
zawierających kilkanaście tomów, a w nich kilkaset równań wraz z rozwiąza- niami. Na jego cześć, o równaniach postaci
f (x1, x2, . . . , xn) = 0,
których rozwiązań szukamy w liczbach całkowitych, gdzie f jest wielomianem n zmiennych o wspólczynnikach całkowitych, zwykło się mówić jako równa- niach diofantycznych.
Na początek zajmiemy się problem wyznaczenia takich trójkątów prosto- kątnych, których wszystkie boki mają długości będace liczbami naturalnymi.
Łatwo widać, że bez straty ogólności możemy przyjąć, że
• Jedna z przyprostokątnych ma długość będącą liczbą parzystą.
• Długości boków są liczbami parami względnie pierwszymi.
Twierdzenie (Równanie Pitagorasa). Każde rozwiazanie równania x2+ y2= z2
w liczbach naturalnych x, y, z parami względnie pierwszych i takich, że 2|y, jest postaci
x = u2− v2, y = 2uv, z = u2+ v2, gdzie u > v są liczbami naturalnymi, (u, v) = 1 i 2|uv.
Zadanie 1. Znajdź wszystkie rozwiązania całkowite równań (a) 4x − 3y = 1,
(b) 13x + 15y = 1, (c) 27x + 45y = 24,
(d) 2x + 3y + 5z = 1,
(e) 6x + 10y − 7z = 11.
Zadanie 2. (a) Znajdź wszytkie rozwiązania równania 2x3+ xy = 7 w licz- bach całkowitych.
(b) Udowodnij, że równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań w licz- bach wymiernych.
Zadanie 3. Znajdź wszystkie rozwiązania w liczbach naturalnych równań (a) x1+1y+1z = 1, (b) 1x+1y+1z+1t = 1
Zadanie 4. Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie x(x + 1) = 4y(y + 1).
Zadanie 5. Pokaż, że równania (a) 7x2+ 2 = y3, (b) x2 + 10y2 = 3z2, (c) x2− y2= 2xyz nie mają rozwiązań w liczbach naturalnych.
Zadanie 6. (z ksiąg Diofantosa) Znajdź dwie takie liczby, których iloczyn zwiększony o którąkolwiek z nich jest sześcianem pewnej liczby. Innymi słowy, liczby xy + x oraz xy + y mają być sześcianami. Wyznaczyć choć jedno rozwiązanie wymierne niecałkowite.
Zadanie 7. Znajdź wszystkie rozwiązania całkowite równania x2− y2= 105.
Zadanie 8. Znajdź wszystkie rozwiązanie w liczbach całkowitych równania x2+ y2= 2z2.
Zadanie 9. Pokaż, że równanie x2+ x = y2 nie ma rozwiązań w Z.
Zadanie 10. Udowodnij, że równanie x2+ x = 2 y2 ma nieskończenie wiele rozwiązań w Z.
Zadanie 11. Niech a, b ∈ N i (a, b) = 1. Udowodnij, że liczba c = ab−a−b jest największą liczbą naturalną, że równanie ax + by = c nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych nieujemnych.
Zadanie 12. (równanie Pell’a, D = 2) Udowodnij, że równanie x2− 2y2= 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań. Wskazówka: Skorzystaj z równości (3 − 2√
2)(3 + 2√ 2) = 1.
Zadanie 13. Pokaż, że równanie 2x+ 25y = z2 nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych.
Zadanie 14. Znajdź wszystkie rozwiązania równania 3x+ y2= 5zw liczbach naturalnych.
Zadanie 15. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n równanie x2+ y2= zn ma rozwiązanie w liczbach naturalnych.
Zadanie 16. Liczbę wymierną k nazywamy kongruentną, jeśli istnieje trójkąt prostokątny o wszystkich bokach wymiernych i polu równym k. Udowod- nij, że:
(a) Jeśli k jest kongruentna, a t dowolną liczbą wymierną, to t2· k jest też kongruentna.
(b) Liczby 5, 6 i 7 są kongruentne.
(c) Liczba 1 nie jest kongreuntna. Wskazówka: Zastosuj metodę zejścia.
Z przypuszczenia, że układ równań
a2+ b2= c2, ab = 2d2
ma rozwiązanie w liczbach naturalnych skonstruować nowe rozwią- zanie (a0, b0, c0, d0) takie, że 0 < c0< c.
Zadanie 17. Udowodnij, ze liczba wymierna k > 0 jest kongruentna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby wymierne x, y, z takie, że
y2+ k = z2, y2− k = x2.
Innymi słowy k jest różnicą pewnego podciągu arytmetycznego długości 3 ciągu kolejnych kwadratów liczb naturalnych.
Zadanie 18. Weź u = 1 873 180 325, v = 1 158 313 156 w konstrukcji rozwią- zań równania Pitagorasa i uzasadnij, że 53 jest kongruentna.
Zadanie 19. Niech N będzie liczbą postaci
60
X
i=1
kkkk,
gdzie i∈ {1, −1} dla 1 ¬ i ¬ 60. Udowodnij, że N nie jest piątą potęgą liczby całkowitej.
Zadanie 20. Dla jakich liczb naturalnych n równanie x2+ xy + y2= 7n ma rozwiązanie w liczbach całkowitych x, y takich, że 7 6 |x, y?
Zadania na gwiazdkę
Zadanie 1. Niech a ∈ R. Rozwiąż równanie (x2− x + 1)3
x2(x − 1)2 =(a2− a + 1)3 a2(a − 1)2 . Zadanie 2. Niech a ∈ R. Rozwiąż równanie
q a −√
a + x = x.
Zadanie 3. Rozłóż wielomian x10+ x5+ 1 na iloczyn wielomianów nieroz- kładalnych w Z[x].
Zadanie 4. Udowodnij, że liczba a = (3 +√
2)20+ (3 −√
2)20jest całkowita i znajdź resztę z dzielenia a przez 7.
Zadanie 5. Udowodnij, że dowolna funkcja f : Z → Z jest sumą trzech bi- jekcji f1, f2, f3 : Z → Z, tj. f (x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) dla wszystkich x ∈ Z.
Zadanie 6. Ile wspólnych pierwiastków (w C) mają wielomiany z36 − 1 i z45+ 1?
Zadanie 7. Znajdź resztę z dzielenia przez 7 liczby 1010+ 10102+ 10103+ . . . + 101010 Zadanie 8. W którym z wielomianów
(1 − x2+ x3)1000, (1 + x2− x3)1000 współczynnik przy x20 jest większy?
Zadanie 9. Znajdź wszystkie liczby wymierne x, y większe od zera takie, że xy= yx, x 6= y.
Zadanie 10. Rozwiąż równanie q
x + 3 − 4√ x − 1 +
q
x + 8 − 6√
x − 1 = 1.
Zadanie 11. Znajdź sumę j√
1k +j√
2k +j√
3k
+ . . . +j√
1000k . Zadanie 12. Uprość
√3
2 + 11i +√3 2 − 11i.
Zadanie 13. Uzasadnij, że 29 − 5√
29 58
7 +√ 29 2
!2002
+29 + 5√ 29 58
7 −√ 29 2
!2002
jest liczbą całkowitą nieparzystą.
Wesołych Świąt !
2
