Niech f : N × N → N będzie funkcją, taką że f (x, 0

Rozwiązanie zadania 11 z listy 1 MPI 2014

Załóżmy, że g : N → N, h : N × N × N → N, k : N × N → N są dowolnymi funkcjami pierwotnie rekurencyjnymi.

Definicja 1. Niech f : N × N → N będzie funkcją, taką że f (x, 0) = g (x)

f (x, n + 1) = h (f (k (x, n) , n) , n, x) Definicja 2. Niech k^∗: N × N × N → N będzie funkcją, taką że

k^∗(x, m, 0) =< x >

k^∗(x, m, n + 1) = k ((k^∗(x, m, n))₀, m − n − 1) : k^∗(x, m, n)

Operacja : to dołożenie na początek ciągu nowego elementu. Dokładniej, jeśli a oznacza ciąg (a0, . . . , an), to x : a oznacza ciąg (x, a0, . . . , an). Zauważ, że : jest szczególnym przypadkiem funkcji conc z listy 2, więc jest p.

rekurencyjny.

Fakt 3. k^∗ jest p. rekurencyjna.

Fakt 4. lh (k^∗(x, m, n)) = n + 1.

Fakt 5. (k^∗(x, m, l))_n= (k^∗(x, m, l − n))₀ dla wszystkich n ≤ l.

Lemat 6. (k^∗(x, m, m))_n= k (k^∗(x, m, m))_n+1, n
dla wszystkich n < m.

Dowód.

(k^∗(x, m, m))_n^{f ak}= (k^∗(x, m, m − n))₀^def= k ((k^∗(x, m, m − n − 1))₀, n)^{f ak}= k (k^∗(x, m, m))_n+1, n
gdzie f ak oznacza skorzystanie z Faktu 5, a def z Definicji 2.

Definicja 7. Niech f⁰ : N × N → N będzie funkcją, taką że f⁰(a, 0) = g ((a)₀)

f⁰(a, n + 1) = h f⁰(a, n) , n, (a)_n+1
Fakt 8. f⁰ jest p. rekurencyjna.

Lemat 9. Dla każdych naturalnych x, n, m ≥ n i a = k^∗(x, m, m) zachodzi f ((a)_n, n) = f⁰(a, n).

Dowód. Indukcja po n.

• f ((a)₀, 0) = g ((a)₀) = f⁰(a, 0)

• f (a)_n+1, n + 1
^def

= h f k (a)_n+1, n
, n
, n, (a)_n+1
lem

= h f ((a)_n, n) , n, (a)_n+1
ind

= h f⁰(a, n) , n, (a)_n+1
def

= f⁰(a, n + 1)

gdzie lem oznacza skorzystanie z Lematu 6, a ind z założenia indukcyjnego. Zauważ, że możemy skorzystać z Lematu 6, ponieważ nasze n z założenia bieżącego lematu jest w kroku indukcyjnym równe n + 1, więc mamy nierówność m ≥ n + 1.

Wniosek 10. f (x, n) = f⁰(k^∗(x, n, n) , n).

Wniosek 11. f jest p. rekurencyjna.

1