• Nie Znaleziono Wyników

Niech f : N × N → N będzie funkcją, taką że f (x, 0

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Niech f : N × N → N będzie funkcją, taką że f (x, 0"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Rozwiązanie zadania 11 z listy 1 MPI 2014

Załóżmy, że g : N → N, h : N × N × N → N, k : N × N → N są dowolnymi funkcjami pierwotnie rekurencyjnymi.

Definicja 1. Niech f : N × N → N będzie funkcją, taką że f (x, 0) = g (x)

f (x, n + 1) = h (f (k (x, n) , n) , n, x) Definicja 2. Niech k: N × N × N → N będzie funkcją, taką że

k(x, m, 0) =< x >

k(x, m, n + 1) = k ((k(x, m, n))0, m − n − 1) : k(x, m, n)

Operacja : to dołożenie na początek ciągu nowego elementu. Dokładniej, jeśli a oznacza ciąg (a0, . . . , an), to x : a oznacza ciąg (x, a0, . . . , an). Zauważ, że : jest szczególnym przypadkiem funkcji conc z listy 2, więc jest p.

rekurencyjny.

Fakt 3. k jest p. rekurencyjna.

Fakt 4. lh (k(x, m, n)) = n + 1.

Fakt 5. (k(x, m, l))n= (k(x, m, l − n))0 dla wszystkich n ≤ l.

Lemat 6. (k(x, m, m))n= k (k(x, m, m))n+1, n dla wszystkich n < m.

Dowód.

(k(x, m, m))nf ak= (k(x, m, m − n))0def= k ((k(x, m, m − n − 1))0, n)f ak= k (k(x, m, m))n+1, n gdzie f ak oznacza skorzystanie z Faktu 5, a def z Definicji 2.

Definicja 7. Niech f0 : N × N → N będzie funkcją, taką że f0(a, 0) = g ((a)0)

f0(a, n + 1) = h f0(a, n) , n, (a)n+1 Fakt 8. f0 jest p. rekurencyjna.

Lemat 9. Dla każdych naturalnych x, n, m ≥ n i a = k(x, m, m) zachodzi f ((a)n, n) = f0(a, n).

Dowód. Indukcja po n.

• f ((a)0, 0) = g ((a)0) = f0(a, 0)

• f (a)n+1, n + 1def

= h f k (a)n+1, n , n , n, (a)n+1lem

= h f ((a)n, n) , n, (a)n+1ind

= h f0(a, n) , n, (a)n+1def

= f0(a, n + 1)

gdzie lem oznacza skorzystanie z Lematu 6, a ind z założenia indukcyjnego. Zauważ, że możemy skorzystać z Lematu 6, ponieważ nasze n z założenia bieżącego lematu jest w kroku indukcyjnym równe n + 1, więc mamy nierówność m ≥ n + 1.

Wniosek 10. f (x, n) = f0(k(x, n, n) , n).

Wniosek 11. f jest p. rekurencyjna.

1

Cytaty

Powiązane dokumenty

Uwaga: Do wykazywania, że dana funkcja nie jest ciągła najwygodniej jest stosować defi- nicję wg Heinego - wystarczy znaleźć dwa ciągi zbieżne do tego samego punktu w

Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować prawdopodobieństwo tego, że w 800 niezależnych próbach ilość sukcesów będzie większa niż 150, a mniejsza niż

Pokazać, że granica według prawdopodobieństwa jest wyznaczona

Obliczmy prawdopodobieństwo, że liczba całkowita wylosowana ze zbioru liczba od 0000 do 9999 będzie miała sumę pierwszych dwóch cyfr równą sumie ostatnich dwóch cyfr.. Każda

Gdy odległość pomiędzy pociągami wynosi 1 km, pszczoła zaczyna latać tam i z powrotem pomiędzy pociągami z prędkością 60 km na godzinę.. Wyrazić od- ległość jaką

Wówczas l(Hu) ≤ n, istnieje więc reprezentant b warstwy Hu taki, że każdy początkowy segment b jest również reprezentantem... Dowód prowadzimy przez indukcję ze względu

Zbadać, w jakim kole jest zbieżny szereg MacLaurina funkcji tgh z.. Znaleźć kilka pierwszych

[r]