Funkcj¸ a liniow¸ a nazywamy funkcj¸ e f : R → R postaci f (x ) = ax + b,

Definicja

Funkcj¸ a liniow¸ a nazywamy funkcj¸ e f : R → R postaci f (x ) = ax + b,

gdzie a, b s¸ a ustalonymi liczbami rzeczywistymi zwanymi

odpowiednio wp´ o lczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym.

Twierdzenie

Wykresem funkcji liniowej f (x ) = ax + b jest prosta przechodz¸ aca przez punkt (0, b) le˙z¸ acy na osi Oy i nachylona do osi Ox pod takim k¸ atem α, ˙ze tg α = a.

Uwaga

Powy˙zsze twierdzenie jest prawdziwe tylko w przypadku, gdy na

obu osiach ukadu wsp´ o lrz¸ ednych przyj¸eto te same jednostki.

Definicja

Funkcj¸ a liniow¸ a nazywamy funkcj¸ e f : R → R postaci f (x ) = ax + b,

gdzie a, b s¸ a ustalonymi liczbami rzeczywistymi zwanymi

odpowiednio wp´ o lczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym.

Twierdzenie

Wykresem funkcji liniowej f (x ) = ax + b jest prosta przechodz¸ aca przez punkt (0, b) le˙z¸ acy na osi Oy i nachylona do osi Ox pod takim k¸ atem α, ˙ze tg α = a.

Uwaga

Powy˙zsze twierdzenie jest prawdziwe tylko w przypadku, gdy na

obu osiach ukadu wsp´ o lrz¸ ednych przyj¸eto te same jednostki.

Definicja

Funkcj¸ a liniow¸ a nazywamy funkcj¸ e f : R → R postaci f (x ) = ax + b,

gdzie a, b s¸ a ustalonymi liczbami rzeczywistymi zwanymi

odpowiednio wp´ o lczynnikiem kierunkowym i wyrazem wolnym.

Twierdzenie

Wykresem funkcji liniowej f (x ) = ax + b jest prosta przechodz¸ aca przez punkt (0, b) le˙z¸ acy na osi Oy i nachylona do osi Ox pod takim k¸ atem α, ˙ze tg α = a.

Uwaga

Powy˙zsze twierdzenie jest prawdziwe tylko w przypadku, gdy na

obu osiach ukadu wsp´ o lrz¸ednych przyj¸ eto te same jednostki.

Funkcja linowa f (x ) = ax + b jest:

1. rosn¸ aca dla a > 0; 2. malej¸ aca dla a < 0; 3. sta la dla a = 0.

Latwo sprawdzi´ c, ˙ze funkcja liniowa f (x ) = ax + b ma, w

przypadku, gdy a 6= 0, dok ladnie jedno miejsce zerowe x = − ^b _a .

Funkcja linowa f (x ) = ax + b jest:

1. rosn¸ aca dla a > 0;

2. malej¸ aca dla a < 0; 3. sta la dla a = 0.

Latwo sprawdzi´ c, ˙ze funkcja liniowa f (x ) = ax + b ma, w

przypadku, gdy a 6= 0, dok ladnie jedno miejsce zerowe x = − ^b _a .

Funkcja linowa f (x ) = ax + b jest:

1. rosn¸ aca dla a > 0;

2. malej¸ aca dla a < 0;

3. sta la dla a = 0.

Latwo sprawdzi´ c, ˙ze funkcja liniowa f (x ) = ax + b ma, w

przypadku, gdy a 6= 0, dok ladnie jedno miejsce zerowe x = − ^b _a .

Funkcja linowa f (x ) = ax + b jest:

1. rosn¸ aca dla a > 0;

2. malej¸ aca dla a < 0;

3. sta la dla a = 0.

Latwo sprawdzi´ c, ˙ze funkcja liniowa f (x ) = ax + b ma, w

przypadku, gdy a 6= 0, dok ladnie jedno miejsce zerowe x = − ^b _a .

Funkcja linowa f (x ) = ax + b jest:

1. rosn¸ aca dla a > 0;

2. malej¸ aca dla a < 0;

3. sta la dla a = 0.

Latwo sprawdzi´ c, ˙ze funkcja liniowa f (x ) = ax + b ma, w

przypadku, gdy a 6= 0, dok ladnie jedno miejsce zerowe x = − ^b _a .

Przyk lad

1. Narysuj wykres funkcji liniowej f (x ) = 3x − 5.

2. Znale´ z´ c wz´ or funkcji liniowej f , kt´ orej wykres przechodzi przez punkty (0, 2) i (2, 1). Czy funkcja f jest rosn¸ aca, malej¸ aca, czy sta la?

3. Dana jest prosta o r´ ownaniu y = −3x + 4. Czy punkt (1, 2) nale˙zy do tej prostej?

4. Czy punkty (−1, −4), (0, −2), (3, 4) s¸ a wsp´ o lliniowe, tzn. czy

le˙z¸ a na tej samej prostej?

Definicja

Funkcj¸ a kwadratow¸ a lub inaczej tr´ ojmianem kwadratowym nazywamy funkcj¸ e f : R → R zadan¸a wzorem

f (x ) = ax ² + bx + c,

gdzie a, b, c s¸ a dowolnymi liczbami rzeczywistymi

(wsp´ o lczynnikami), przy czym a 6= 0.

Wz´ or opisuj¸ acy tr´ ojmian kwadratowy daje si¸ e przekszta lci´ c przy zastosowaniu wzor´ ow skr´ oconego mno˙zenia do tzw. postaci kanonicznej, kt´ ora umo˙zliwi nam rysowanie wykresu dowolnej funkcji kwadratowej

ax ² + bx + c = a

 x ² + b

a x + c a



=

= a

 x ² + b

a x + b ² 4a ² − b ²

4a ² + c a



=

= a

"

 x + b

2a

 2

− b ² − 4ac 4a ²

#

=

= a

 x + b

2a

 2

− b ² − 4ac

4a =

= a

 x + b

2a

 2

− ∆ 4a ,

gdzie symbolem ∆ oznaczamy liczb¸ e b ² − 4ac nazywam¸a zwykle

wyr´ o˙znikiem tr´ ojmianu kwadratowego.

Wz´ or opisuj¸ acy tr´ ojmian kwadratowy daje si¸ e przekszta lci´ c przy zastosowaniu wzor´ ow skr´ oconego mno˙zenia do tzw. postaci kanonicznej, kt´ ora umo˙zliwi nam rysowanie wykresu dowolnej funkcji kwadratowej

ax ² + bx + c = a

 x ² + b

a x + c a



=

= a

 x ² + b

a x + b ² 4a ² − b ²

4a ² + c a



=

= a

"

 x + b

2a

 2

− b ² − 4ac 4a ²

#

=

= a

 x + b

2a

 2

− b ² − 4ac

4a =

= a

 x + b

2a

 2

− ∆ 4a ,

gdzie symbolem ∆ oznaczamy liczb¸e b ² − 4ac nazywam¸a zwykle

wyr´ o˙znikiem tr´ ojmianu kwadratowego.

Wz´ or opisuj¸ acy tr´ ojmian kwadratowy daje si¸ e przekszta lci´ c przy zastosowaniu wzor´ ow skr´ oconego mno˙zenia do tzw. postaci kanonicznej, kt´ ora umo˙zliwi nam rysowanie wykresu dowolnej funkcji kwadratowej

ax ² + bx + c = a

 x ² + b

a x + c a



=

= a

 x ² + b

a x + b ² 4a ² − b ²

4a ² + c a



=

= a

"

 x + b

2a

 2

− b ² − 4ac 4a ²

#

=

= a

 x + b

2a

 2

− b ² − 4ac

4a =

= a

 x + b

2a

 2

− ∆ 4a ,

gdzie symbolem ∆ oznaczamy liczb¸e b ² − 4ac nazywam¸a zwykle

wyr´ o˙znikiem tr´ ojmianu kwadratowego.

Wz´ or opisuj¸ acy tr´ ojmian kwadratowy daje si¸ e przekszta lci´ c przy zastosowaniu wzor´ ow skr´ oconego mno˙zenia do tzw. postaci kanonicznej, kt´ ora umo˙zliwi nam rysowanie wykresu dowolnej funkcji kwadratowej

ax ² + bx + c = a

 x ² + b

a x + c a



=

= a

 x ² + b

a x + b ² 4a ² − b ²

4a ² + c a



=

= a

"

 x + b

2a

 2

− b ² − 4ac 4a ²

#

=

= a

 x + b

2a

 2

− b ² − 4ac

4a =

= a

 x + b

2a

 2

− ∆ 4a ,

gdzie symbolem ∆ oznaczamy liczb¸e b ² − 4ac nazywam¸a zwykle

wyr´ o˙znikiem tr´ ojmianu kwadratowego.

Wz´ or opisuj¸ acy tr´ ojmian kwadratowy daje si¸ e przekszta lci´ c przy zastosowaniu wzor´ ow skr´ oconego mno˙zenia do tzw. postaci kanonicznej, kt´ ora umo˙zliwi nam rysowanie wykresu dowolnej funkcji kwadratowej

ax ² + bx + c = a

 x ² + b

a x + c a



=

= a

 x ² + b

a x + b ² 4a ² − b ²

4a ² + c a



=

= a

"

 x + b

2a

 2

− b ² − 4ac 4a ²

#

=

= a

 x + b

2a

 2

− b ² − 4ac

4a =

= a

 x + b

2a

 2

− ∆ 4a ,

gdzie symbolem ∆ oznaczamy liczb¸e b ² − 4ac nazywam¸a zwykle

wyr´ o˙znikiem tr´ ojmianu kwadratowego.

Wz´ or opisuj¸ acy tr´ ojmian kwadratowy daje si¸ e przekszta lci´ c przy zastosowaniu wzor´ ow skr´ oconego mno˙zenia do tzw. postaci kanonicznej, kt´ ora umo˙zliwi nam rysowanie wykresu dowolnej funkcji kwadratowej

ax ² + bx + c = a

 x ² + b

a x + c a



=

= a

 x ² + b

a x + b ² 4a ² − b ²

4a ² + c a



=

= a

"

 x + b

2a

 2

− b ² − 4ac 4a ²

#

=

= a

 x + b

2a

 2

− b ² − 4ac

4a =

= a

 x + b

2a

 2

− ∆ 4a ,

gdzie symbolem ∆ oznaczamy liczb¸e b ² − 4ac nazywam¸a zwykle

wyr´ o˙znikiem tr´ ojmianu kwadratowego.

Wz´ or opisuj¸ acy tr´ ojmian kwadratowy daje si¸ e przekszta lci´ c przy zastosowaniu wzor´ ow skr´ oconego mno˙zenia do tzw. postaci kanonicznej, kt´ ora umo˙zliwi nam rysowanie wykresu dowolnej funkcji kwadratowej

ax ² + bx + c = a

 x ² + b

a x + c a



=

= a

 x ² + b

a x + b ² 4a ² − b ²

4a ² + c a



=

= a

"

 x + b

2a

 2

− b ² − 4ac 4a ²

#

=

= a

 x + b

2a

 2

− b ² − 4ac

4a =

= a

 x + b

2a

 2

− ∆ 4a ,

gdzie symbolem ∆ oznaczamy liczb¸ e b ² − 4ac nazywam¸a zwykle

wyr´ o˙znikiem tr´ ojmianu kwadratowego.

Maj¸ ac w pami¸eci ostatni¸ a r´ owno´s´ c, otrzymujemy przedstawienie funkcji f w dw´ och postaciach:

1. f (x ) = a x + _2a ^b
2

− ^b

^−4ac _4a = a x + _2a ^b
2

− _4a ^∆ , 2. f (x ) = a 

x − ^−b−

√

∆ 2a

 

x − ^−b+

√

∆ 2a



, o ile ∆ ≥ 0.

Posta´ c funkcji f z punktu drugiego nazywamy postaci¸ a iloczynow¸ a

tej funkcji (o ile ∆ ≥ 0).

Z analizy postaci iloczynowej i kanonicznej wynika, ˙ze funkcja kwadratowa mo˙ze mie´ c co najwy˙zej dwa miejsca zerowe, kt´ ore nazywa si¸ e zwykle pierwiastkami:

I ∆ > 0: w´ owczas funkcja kwadratowa ma dwa r´ o˙zne pierwiastki

x ₁ = −b − √

∆

2a , x ₂ = −b + √

∆ 2a , mamy f (x ) = a(x − x 1 )(x − x 2 ).

I ∆ = 0: w´ owczas funkcja f ma dok ladnie jeden pierwiastek x 0 = − b

2a ,

mamy f (x ) = a(x − x 0 ) ² .

Z analizy postaci iloczynowej i kanonicznej wynika, ˙ze funkcja kwadratowa mo˙ze mie´ c co najwy˙zej dwa miejsca zerowe, kt´ ore nazywa si¸ e zwykle pierwiastkami:

I ∆ > 0: w´ owczas funkcja kwadratowa ma dwa r´ o˙zne pierwiastki

x ₁ = −b − √

∆

2a , x ₂ = −b + √

∆ 2a , mamy f (x ) = a(x − x 1 )(x − x 2 ).

I ∆ = 0: w´ owczas funkcja f ma dok ladnie jeden pierwiastek x 0 = − b

2a ,

mamy f (x ) = a(x − x 0 ) ² .

Z analizy postaci iloczynowej i kanonicznej wynika, ˙ze funkcja kwadratowa mo˙ze mie´ c co najwy˙zej dwa miejsca zerowe, kt´ ore nazywa si¸ e zwykle pierwiastkami:

I ∆ > 0: w´ owczas funkcja kwadratowa ma dwa r´ o˙zne pierwiastki

x ₁ = −b − √

∆

2a , x ₂ = −b + √

∆ 2a , mamy f (x ) = a(x − x 1 )(x − x 2 ).

I ∆ = 0: w´ owczas funkcja f ma dok ladnie jeden pierwiastek x 0 = − b

2a ,

mamy f (x ) = a(x − x 0 ) ² .

I niech ∆ < 0. W´ owczas funkcja kwadratowa nie ma pierwiastk´ ow. Wynika to z postaci kanonicznej funkcji

kwadratowej: wyra˙zenie (x + _2a ^b ) ² jest nieujemne, za´s sk ladnik

− _4a ^∆

jest dodatni, a zatem w zale˙zno´sci od tego, czy

wsp´ o lczynnik a jest dodatni, czy ujemny, funkcja kwadratowa przyjmuje odpowiednio albo tylko warto´sci ujemne, albo tylko warto´sci dodatnie.

Pierwiastki funkcji kwadratowej f (x ) = ax ² + bx + c spe lniaj¸ a

r´ ownanie f (x ) = 0, czyli ax ² + bx + c = 0. Ostatnie r´ ownanie

nazywamy r´ ownaniem kwadratowym.

I niech ∆ < 0. W´ owczas funkcja kwadratowa nie ma pierwiastk´ ow. Wynika to z postaci kanonicznej funkcji

kwadratowej: wyra˙zenie (x + _2a ^b ) ² jest nieujemne, za´s sk ladnik

− _4a ^∆

jest dodatni, a zatem w zale˙zno´sci od tego, czy

wsp´ o lczynnik a jest dodatni, czy ujemny, funkcja kwadratowa przyjmuje odpowiednio albo tylko warto´sci ujemne, albo tylko warto´sci dodatnie.

Pierwiastki funkcji kwadratowej f (x ) = ax ² + bx + c spe lniaj¸ a

r´ ownanie f (x ) = 0, czyli ax ² + bx + c = 0. Ostatnie r´ ownanie

nazywamy r´ ownaniem kwadratowym.

Przyk lad

Rozwi¸ a˙z nast¸epuj¸ ace r´ ownanie kwadratowe 1. x ² − 5x + 6 = 0;

2. x ² − 3 = 0;

3. x ² = 16.

Przyk lad

Sprawd´ z dla jakich warto´sci parametru m r´ ownanie x ² − 2x + m + 4 = 0

1. ma 2 rozwi¸ azania;

2. ma 1 rozwi¸ azanie;

3. nie ma rozwi¸ aza´ n.

Wzory Viete’a

Niech x ₁ , x ₂ b¸ed¸ a pierwiastkami r´ ownania kwadratowego ax ² + bx + c = 0, a 6= 0. Wtedy

x ₁ + x ₂ = − b a , x 1 · x ₂ = c

a . Przyk lad

Dla jakich warto´sci parametru m r´ ownanie

2mx ² + (m − 1)x + 2 = 0

ma dwa r´ o˙zne pierwiastki, kt´ orych suma wynosi 1?

Wykres funkcji kwadratowej

Rozwa˙zmy sytucj¸e og´ oln¸ a

f (x ) = ax ² + bx + c, a 6= 0.

Wtedy

f (x ) = a

 x + b

2a

 2

− ∆ 4a . Wprowadzamy oznaczenia

p := − b

2a , q := − ∆ 4a . Wtedy posta´ c kanoniczna przyjmuje posta´ c

f (x ) = a(x − p) ² + q.

Wykres funkcji f powstaje z wykresu funkcji danej wzorem

y = ax ² przez przesuni¸ ecie r´ ownoleg le o wektor [p, q], czyli przez

przesuni¸ ecie o p w poziomie i o q w pionie.

Otrzymana parabola ma wierzcho lek w punkcie (p, q). Cz¸ esto wsp´ o lrz¸edne wierzcho lka oznacza si¸e przez (x _w , y _w ). Mamy zatem

 x _w = − _2a ^b y w = − _4a ^∆ .

Dla a > 0 funkcja f jest malej¸ aca w przedziale (−∞, − _2a ^b ) i rosn¸ aca w przedziale (− _2a ^b , +∞) oraz dla argumentu − _2a ^b

przyjmuje swoj¸ a warto´s´ c najmniejsz¸ a, kt´ ora wynosi − _4a ^∆ . Dla a < 0

funkcja f jest rosn¸ aca w przedziale (−∞, − _2a ^b ) i malej¸ aca w

przedziale (− _2a ^b , +∞) oraz dla argumentu − _2a ^b przyjmuje swoj¸ a

warto´s´ c najwi¸ eksz¸ a, kt´ ora wynosi − _4a ^∆ .

Przyk lad

Narysuj wykres funkcji:

1. f (x ) = 2x ² − 4;

2. f (x ) = x ² + 4x − 4;

3. f (x ) = 3x ² + x − 1.