Topologia dzia lania torusa 1

(1)

Topologia dzia lania torusa 1

1.1 X kompleks symplicjalny (lub inna porza_,dna przestrze´n zwarta, np CW-kompleks). Niech p- grupa P dzia la na X. Wtedy charakterystyka Eulera punkt´ow sta lych χ(X^P) ≡ χ(X) mod p.

Dow. Mo˙zna za lo˙zy´c, ˙ze P = Zp (bo dla podrupy normalnej Q <⊂ P mamy (X^Q)^{P /Q} = X^P). Wtedy X = X^P t U, U = wolne orbity .

χ(X) = χ(X^P) + χ_c(U ) = χ(X^P) + pχ_c(U/P ) .

Patrz teoria Smitha, np Dwyer–Wilkerson Smith theory revisited. Ann. of Math. (2) 127 (1988), no.

1, 191–198.

1.2 Twierdzenie nie dzia la na przestrzeniach niezwartych, np Z2 dzia la na S^∞ ∼ pt bez punkt´ow sta lych.

1.3 Uwaga: twierdzenie nie jest prawdziwe dla przestrzeni niezwartych wymiarowych. Np X = S^∞ z dzia laniem Z2 przez antypodyzm. Charakterystyka Eulera S^∞ma sens, bo S^∞jest ´scia_,galna, ale Z2

dzia la bez punkt´ow sta lyc.

1.4 X zwarta (porza_,dna) przestrze´n topologiczna dim X < ∞. Torus T = (S¹)^rdzia la na X. Wtedy χ(X) = χ(X^T).

Dow: X^S¹ = X^Z^p∞ = X^Z^pn dla n >> 0.

1.5 W twierdzenie nie dzia la dla grup nieprzemiennych np SO(3) dzia laja_,ce na S². Przyk lady przestrzeni z dzia laniem torusa

1.6 X = S²ⁿ⁺¹ ⊂ Cⁿ⁺¹ z dzia laniem S¹ ⊂ C przez mno˙zenie skalarne. (Nie ma punkt´ow sta lych, χ(X) = 0.) Ilorazem jest Pⁿ= (Cⁿ⁺¹\ {0})/C^∗.

1.7 X = S²ⁿ ⊂ Cⁿ× R z dzia laniem S¹ ⊂ C przez mno˙zenie skalarne w Cⁿ. ( χ(X) = 2, dwa punkty sta le.)

1.8 Przestrzeń rzutowa Pⁿ = CPⁿ = Pⁿ(C), w szczególno´sci P¹ = S². Jest n + 1 punktów sta lych, χ(Pⁿ) = n + 1 Tu dzia lanie T rozszerza sie_,do dzia lania T_C= (C^∗)ⁿ⁺¹.

1.9 Odwzorowanie ,,momentu”

µ : Pⁿ= S²ⁿ⁺¹/S¹ → Rⁿ⁺¹,

[z₀ : z₁: · · · : z_n] 7→ _||z||¹2(|z₀|², |z₁|², . . . , |z_n|²) – obraz jest standardowym sympleksem ∆ⁿ= {x ∈ Rⁿ⁺¹ : P x_i = 1, xi≥ 0}

– orbity dzia lania T_Cto sa_,przeciwobrazy otwartych sympleks´ow σ ⊂ ∆

(2)

1.10 BB-rozk lad. W poprzednim przyk ladzie ograniczamy dzia lanie do T_C= {diag(1, t, t², . . . , tⁿ) | t ∈ C^∗} ' C^∗. Te˙z jest n + 1 punkt´ow sta lych. Zauwa˙zmy, ˙ze X^T = X^T^C. Tak jest zawsze dla holomor- ficznego dzia lania zespolonego torusa na rozmaito´sci zespolonej.

Dla p ∈ (Pⁿ)^T niech

(Pⁿ)⁺_p = {z ∈ Pⁿ| lim

t→0t · z = p}.

(Pⁿ)⁻_p = {z ∈ Pⁿ| lim

t→∞t · z = p}.

Zbiory (Pⁿ)^±_p sa_,otwartymi kom´orkami rozk ladu na CW-kompleks.

(Pⁿ)⁻

[0:0:···:1:0:···:0]ⁱ = Pⁱ\ Pⁱ⁻¹= {zi6= 0, z_i+1= zi+2= · · · = zn= 0} ' Cⁱ 1.11 Kwadryka w Pⁿ.

n nieparzyste, np n = 5,

Q = {z0z5+ z1z4+ z2z3 = 0}

niezmiennicza ze wzgle_,du na dzia lanie T = {diag(1, t, t², t³, t⁴, t⁵) | t ∈ C^∗} ' C^∗. Q^T = (P⁵)^T, rozk lad BB:

Q⁻[1:0:0:0:0:0]= (P⁵)⁻[1:0:0:0:0:0]∩ Q = {[1 : 0 : 0 : 0 : 0 : 0]}

Q⁻[0:1:0:0:0:0]= (P⁵)⁻[0:1:0:0:0:0]∩ Q = {z₁ 6= 0, z₂ = z₃= z₄ = z₅= 0} = {[z₀ : 1 : 0 : 0 : 0 : 0]}

Q⁻[0:0:1:0:0:0]= (P⁵)⁻[0:0:1:0:0:0]∩ Q = {z₂ 6= 0, z₃ = z₄= z₅ = 0} = {[z₀: z₁ : 1 : 0 : 0 : 0]}

Q⁻[0:0:0:1:0:0]= (P⁵)⁻[0:0:0:1:0:0]∩ Q = {z₃ 6= 0, z₄ = z₅= 0, z₂z₃ = 0} = {[z₀ : z₁: 0 : 1 : 0 : 0]}

Q⁻[0:0:0:0:1:0]= (P⁵)⁻[0:0:0:0:1:0]∩ Q = {z₄ 6= 0, z₅ = 0, z1z4+ z2z3 = 0} = {[z0 : −z2z3 : z2: z3: 1 : 0]}

Q⁻[0:0:0:0:0:1]= (P⁵)⁻[0:0:0:0:0:1]∩ Q = {z₅ 6= 0, z₀z5+ z1z4+ z2z3 = 0} = {[−z1z4− z₂z3 : z1: z2 : z3 : z4: 1]}

Q = C⁰t C¹t C²t C²t C³t C⁴ Og´olnie: Q = {P2k−1

i=0 z_iz_2k−i−1 = 0} ma rozk lad na kom´orki: po jednej w ka˙zdym wymiarze, opr´ocz

´srodkowego. W ´srodkowym dwie kom´orki.

Np kwadryka w P³⊃ Q ' P¹× P¹ (Segre)

1.12 ´Cwiczenie: zbada´c rozk lad BB dla kwadryki nieparzystego wymiaru Q ⊂ P^2k z₀z_2k+ z₁z_2k−1+ · · · + z_k−1z_k+1+ z_k² = 0 .

(np k = 1 Q ' P¹)

1.13 Grassmannian zespolony

Grk(Cⁿ) = G(k, n) = U (n)/(U (k) × U (n − k) = GLn(C)/(macierze blokowe g´ornotr´ojka,tne) Inne przedstawienie:

G(k, n) = Hom(C^k, Cⁿ)_inj/GL_k(C) = {A ∈ Mk×n(C) : AA^T = I_k}/U (k)

(3)

gdzie Hom(C^k, Cⁿ)_inj oznacza przekszta lcenia be_,da_,ce monomorfizmami. Ka˙zdy element grassmanianu ma jednoznaczne przedstawienie jako macierz górnotrójka_,tna zredukowana. Na G(k, n) dzia la prze- chodnio GLn(C). Podgrupa B− macierzy dolnotrójka_,tnych dzia la ze skończona_, ilo´scia_, orbit. Np w G(2, 4) orbity sa_,postaci:

1 0 ∗ ∗ 0 1 ∗ ∗

1 ∗ 0 ∗

0 0 1 ∗

1 ∗ ∗ 0

0 0 0 1

0 1 0 ∗

0 0 1 ∗

0 1 ∗ 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1

Torus diagonalny T_C' (C^∗)ⁿdzia la ze skońćzona_,ilo´scia_,punktów sta lych. Jest ich ⁿ_k. Sa_,indeksowane k-elementowymi podzbiorami [1, n]

Rozk lad BB dla C^∗ ' diag(t, t², . . . tⁿ): na przyk lad t ·1 ∗ 0 ∗

0 0 1 ∗

= t t²∗ 0 t⁴∗ 0 0 t³ t⁴∗

∼1 t∗ 0 t³∗ 0 0 1 t∗

Przy t → 0 zbiega do punktu sta lego. Wniosek: Orbity dzia lania B− sa_,r´owne plus-kom´orkom BB.

1.14 Uwaga

G(2, 4) = {m₁₂m₃₄− m₁₃m₂₄+ m₁₄m₂₃= 0}

jest kwadryka_,w P(Λ²C⁴) ' P⁵, via Pl¨ucker, mij to (ij)-ty minor.

Dope lnienie du˙zej komórki jest zadane równaniem m12= 0. To jest rozmaito´sć Schuberta kowymiaru 1 w G(2, 4). We wspó lrze_,dnych rzutowych m13, m14, m23, m24, m34 jest zadana równaniem m13m24+ m14m23= 0. Jest to sto˙zek nad kwadryka_,w P³. Zatem ma punkt osobliwy.

2 Podstawy

2.1 Niech T = (S¹)^r. Niech t = iR^r⊂ C^r. Odwzorowanie exp : C^r → (C^∗)^r zadaje cia_,g dok ladny 0 → N → t → T → 0,

gdzie N = 2πiZ^r ⊂ iR^r = t.

2.2 Homomorfizmy Hom(T, S¹) sa_,nazywane charakterami. Ka˙zdy homomorfizm jest postaci (t1, t2, . . . , tr) 7→ t₁^w¹t^w₂¹. . . t^w_r^r.

Cia_,g (w₁, w₂, . . . , w_r) ∈ Z^r nazywamy waga_,.

Wagi = Charaktery ' Z^r Mo˙zemy uwolni´c sie_,od uk ladu wsp´o lrze_,dnych.

N = ker(t → T ), gdzie t jest uniwersamnym nakryciem T

Ka˙zdy homomorfizm φ : T → S¹ podnosi sie_, jednoznacznie do homomorfizmu ˜φ : t → iR takiego, ˙ze φ(N ) ⊂ 2πiZ = ker(iR → S˜ ¹). Wagi/charaktery zwykle oznacza sie_,przez M = Hom(N, Z).

2.3 Ponadto mamy bijekcje_,Hom_alg(T_C, C^∗) ' M .

(4)

2.4 Liniowe dzia lanie T na przestzeni wektorowej Cⁿdiagonalizuje sie_,. Dow.:

Element sko´nczonego rze_,du diagonalizuje sie_,.

Rodzina elementów skończonego rze_,du ma wspólna_,diagonalizacje_,, bo jest przemienna.

Rodzina element´ow sko´nczonego rze_,du jest ge_,sta w T .

2.5 Za l´o˙zmym, ˙ze F = F. Liniowe dzia lanie T_F = (F^∗)^r na przestzeni wektorowej Fⁿ diagonalizuje sie_,.

Dow: tjw, tylko trzeba bra´c elementy rze_,du wzgle_,dnie pierwszego z char(F) oraz w TF topologie_, Zariskiego.

2.6 Z dok ladno´scia_, do izomorfizmu ka˙zde liniowe dzia lanie T jest zadanie przez (multi)zbi´or wag.

Ponadto mamy rozk lad na przestrzenie wagowe

V = M

w∈M

V_w.

Rozk lad mo˙zna rozdrobni´c do rozk ladu na sk ladniki liniowe (ju˙z niejednoznacznie)

V =

dim V

M

i=1

Lwi.

Element (klasa Eulera) Qdim V

i=1 w_i ∈ Sym^{dim V}(M ) nie zele˙zy od rozk ladu. Tak˙ze produkt (klasa Cherna) Qdim V

i=1 (1 + w_i) ∈ Sym(M ) nie zale˙zy od rozk ladu.

2.7 W geometrii algebraicznej dzia lanie F^∗na rozmaito´sci afinicznej Spec(A) jest r´ownowa˙zne zadaniu homomorfizmu algebr

A → A ⊗ F[t, t⁻¹] a 7→X

i∈Z

a_i⊗ tⁱ

spe lniaja_,cego pewne w lasno´sci. Ćwiczenie: sprawdzić, ˙ze te w lasno´sci sa_,równowa˙zne temu, ˙ze a =X

i∈Z

ai, aibj = (ab)i+j.

Zatem dzia lanie F^∗ na Spec(A) jest tym samym co Z-gradacja.

2.8 Je´sli A ma N-gradacje, P roj(A) jest rozmaito´scia_,rzutowa_,. Dzia lanie na P roj(A) jest r´ownowa˙zne zadaniu bigradacji indeksowanej przez N × Z.

2.9 Niech X be_,dzie rozmaito´scia_,z g ladkim dzia laniem torusa T . Przypu´s´cmy, ˙ze x ∈ X^T. Wtedy T dzia la na TxX.

2.10 Stw. Istnieje otocznie x ∈ U ⊂ X i odwzorowanie ekwiwariantne f : U → T_xX, kt´ore jest izomorfizmem na obraz.

Dow. Wybieramy T -niezmiennicza_,metryke_,riemannowska_,na X, f = exp⁻¹. 2.11 Je´sli x jest izolowany, to wagi dzia lania na TxX sa_,niezerowe.

(5)

2.12 Rozk lad na przestrzenie wagowe zadaje rozk lad wia_,zki normalnej do X^T. 2.13 Orbita, stabilizator: Niech x ∈ X, stabilizator Tx = {t ∈ T | tx = x}.

Orbita T x ' T /Tx.

Stabilizator dzia la na wia_,zke_,normalna_,do orbity. W szczeg´olno´sci na (N_{X/T x})x= TxX/Tx(T x) 2.14 Wia_,zka stowarzyszona: Niech V reprezentacja grupy G, oraz niech G dzia la wolno (z lewej) na P z ilorazem Y = P/G. Definiujemy

P ×^H V = P × V /{(ph, v) ∼ (p, hv)} . Rzutowanie P ×^HV → P/H = X jest wia_,zka_,wektorowa_,.

2.15 Slajs: Zak ladamy, ˙ze X jest g ladka. Niech V = (N_{X/T x})x z dzia laniem Tx. Ka˙zda orbita ma otoczenie ekwiwariantnie homeomorficzne z T /Tx' {0} ×^T^xT ⊂ V ×TxT .

Dow. Homeomorfizm zadany przez exp:

T × V → X (t, v) 7→ t · exp(v) .

Exp jest Tx-niezmienniczy, tzn exp(t · v) = t · exp(v) dla t ∈ Tx. Zatem odwzorowanie fatoryzuje sie_, do V ×^T^x T → X. Jest dyfeo w otoczniu orbity. Poniewa˙z orbita jest zwarta mamy dyfeo na wia_,zce dysk´ow o dostatecznie ma lym promieniu.

2.16 Twierdzenie jest og´olniejsze:

– T nie musi by´c torusem, mo˙ze by´c grupa_,zwarta_,G,

– X nie musi być rozmaito´scia_,, wtedy slajs V jest pewna_,przestrzenia_,z dzia laniem stabilizatora G_x – w geometrii algebraicznej trzeba za lo˙zyć, ˙ze grupa jest reduktywna, dzia la na rozmaito´sci afinicznej, a orbita domknie_,ta. Otoczenie jest w topologii étalnej.

2.17 Be_,dziemy rozwa˙za´c przestrzenie X z dzia laniem T (lub og´olniej grupy Lie G) – g ladkie rozmaito´sci z g ladkim dzia laniem

– ekwiwariantne CW-kompleksy

X−1 = ∅ ⊂ X₀⊂ X₁ ⊂ · · · ⊂ X_N takie, ˙ze

X_i= X_i−1∪_φ(G ×^H Dⁿⁱ),

gdzie Dⁿⁱ jest dyskiem w representacji liniowej H → Aut(Rⁿⁱ), φ : G ×^H Sⁿⁱ⁻¹ → X_i−1. (S laba topologia jak w CW-kompleksach.)

2.18 Przyk lad: S² ze standardowym dziaa_,niem S¹ ma 3 kom´orki 0, ∞ i S¹× D¹.

2.19 ´Cw: znale´z´c ekwiwariantny CW-rozk lad Pⁿ. Wsk, triangulacja obrazu odwzorowania momentu.

(6)

3 Przestrzenie klasyfikuja

_,

ce

Kohomologie ekwiwariantne dla G-przestrzeni X: plan dzia lania – model topologiczny H_G^∗(X) = H^∗(EG ×^GX)

– model r´o˙zniczkowy gdy X jest rozmaito´scia_,H_G,dR^∗ (X) = H^∗(Ω^∗(X, G)) – Twierdzenie deRhama H_G^∗(X) ' H_G,dR^∗ (X)

3.1 Dla uproszczenia zak ladamy, ˙ze G jest zwarta_,grupa_,. Uniwersalna G-wia_,zka g l´owna E → B = E/G

{G-wia_,zki g l´owne na X} = [X, B]

dla X CW-kompleksu

- Je´sli E₁ → B₁ i E₂ → B₂ dwie uniwersalne wia_,zki, to sa_,w l´okni´scie s labo homotopijnie r´ownowa˙zne.

Oznaczenie EG → BG.

- Je´sli E jest przestrzenia_,´scia_,galna_,z wolnym dzia laniem G, to E → E/G jest uniwersalna_,wia_,zka_,. Dow. Budujemy przekszta lcenie X → BG rozszerzaja_,c po szkieletach.

G × Sⁿ⁻¹

// %%

G × Dⁿ

//EG

Sⁿ⁻¹ ^//Dⁿ ^//^%%BG

Wystarczy rozszerzy´c przekszta lcenie {1} × Sⁿ⁻¹ → EG do {1} × Dⁿ→ EG i urzy´c dzia lania G.

3.2 Wniosek: π_k(BG) ' πi−1(G) 3.3 Przyk lad:

ES¹ = S^∞→ P^∞= BS¹ (to jest typu K(Z, 2)) E(S¹)^r= (S^∞)^r→ (P^∞)^r= B(S¹)^r

BU (n) = lim_{N →∞}G(n, N )

3.4 Dla G = T lub U (n) mo˙zna aproksymowa´c BG zwartymi rozmaito´sciami maja_,cymi rozk lady na parzysto-wymiarowe kom´orki.

3.5 Istnieje rozw loknienie G/H → BH → BG (przyja_,´c model EG = EH) 3.6 Je´sli H / G, K = G/H to istnieje rozw l´oknienie BH → BG → BK.

(Wybrać model EH := EG, oraz E⁰G = EG × EK, rozwa˙zyć rzutowanie E⁰G/G → EK/K. W lókno jest izomorficzne z EG ×^GG/H = BH.)

3.7 Klasy charakterystyczne dla n-wymiarowych wia_,zek to naturalne transformacje funktor´ow V ectn(−) → H^∗(−) .

Lemat Yonedy dla funktor´ow reprezentowalnych F_A, F_B : C → Set∫ (kontrawariantnych) M or_{f unktory}(F_A, F_B) = M orC(A, B) = F_B(A) .

(7)

Przekszta lcenie zadane przez

(Θ : F_A→ F_B) 7→ Θ(Id_A) ∈ M orC(A, B) (φ : A → B) 7→ ( f ∈ M orC(X, A) 7→ φ ◦ f ).

Zatem

Klasy charakterystyczne = H^∗(BU (n)) 3.8 H^∗(BS¹) = Z[t],

Wniosek

{wia_,zki liniowe nad X} = H²(X)

{klasy charakterystyczne wia_,zek liniowych} = H^∗(P^∞) = Z[t]

3.9 H^∗(BT ) = Z[t1, t2, . . . , tr]

3.10 H^∗(BU (n)) = Z[c1, c₂, . . . , c_n] = Z[t1, t₂, . . . , t_n]^Sⁿ

3.11 W dowodzie powy˙zszej równo´sci korzystamy z tw Hirscha oraz z naste_,puja_,ceych w lasno´sci rozw lóknień:

Niech F → E → B be_,dzie rozw lóknieniem takim, ˙ze baza i w lókno ma rozbicie na komórki parzystego wymaiaru. Wtedy

– Mamy rozk lad na kom´orki E zgodny z rozk ladami F i B, w lo˙zenie w l´okna indukuje monomorfizm H∗(F ) → H∗(E).

– H^∗(E) → H^∗(F ) jest epi, i jest rozszczepialne.

Stosuja_,c tw Leray-Hirsha:

– H^∗(E) jest wolnym modu lem na H^∗(B) o bazie indeksowanej kom´orkami F , H^∗(E) ' H^∗(B)⊗H^∗(F ) – H^∗(F ) ' H^∗(E)/(H^>0(B)) jako algebra (mo˙zna te˙z napisa´c H^∗(F ) ' Z ⊗H^∗(B)H^∗(E) )

3.12 Rozk lad komórkowy G(k, n). Komórki sa_, indeksowane cia_,gami indeksów na których stoi 1 w zredukowanej macierzy

0 < i₁ < i₂ < . . . i_k ≤ n

1 ∗ 0 ∗ 0 0 1 ∗

i1 = 1, i2= 3 R´ownowa˙znie

(n − k ≥ λ₁ ≥ λ₂≥ · · · ≥ λ_k≥ 0) = ilo´sci * w rze_,dach zredukowanej macierzy.

3.13 Obliczenie H^∗(BU (n)). Baza rozw lóknienia U (n)/T → BT → BU (n) ma rozk lad na komórki parzystowymiarowe, w lókno te˙z, zatem H^∗(BU (n)) → H^∗(BT ) jest monomorfizmem. Obraz jest niezmienniczy ze wzgle_,du na Sn. Liczymy rangi (lub wymaiary nad Q ):

– dim H^2k(BU (n)) = ilo´sć cia_,gów λ1 ≥ λ₂ ≥ · · · ≥ λ_k ≥ 0 bez ograniczenia na warto´sć λ1, takich, ˙ze P

iλ_i= k (ilo´s´c podzia l´ow liczby k o d lugo´sci ≤ n)

– dim H^2k(BT )^Sⁿ = Z[t1, t₂, . . . , t_n]^S_kⁿ= ilo´s´c jednomian´ow stopnia k o niemaleja_,cych wyk ladnikach.

Rangi sa_,r´owne, wie_,c H^2k(BU (n)) = H^2k(BT )^Sⁿ

Ponadto H^∗(F l(n)) = Z[t1, t₂, . . . , t_n]/(H^>0(BU (n))) jest beztorsyjne. Zatem H^∗(BU (n)) = Z[t1, t₂, . . . , t_n]^Sⁿ

(8)

3.14 Pier´scie´n kohomologii H^∗(F l(n)) ' Z[t1, t₂, . . . , t_n]/(Z[t1, t₂, . . . , t_n]^S_>0ⁿ)

3.15 Ćw: Obliczyć pier´scień kohomologii H^∗(G(k, n)) korzystaja_,c z rozw lóknienia G(k, n) → B(U (k)×

U (n − k)) → BU (n).

3.16 Je´sli G jest sp´ojna, T = N T /T torus maksymalny, W grupa Weyla to H^∗(BG; Q) = H^∗(BT ; Q)^W jest pier´scieniem wielomian´ow od zmiennych w parzystych gradacjach. Np H^∗(BU (n)) = Z[c1, c2, . . . , cn], H^∗(BO(2n)) = Q[p1, p₂, . . . , p_n, e]/(e² = p_n).

4 Ekwiwariantne kohomologie

Przypomnienie o klasach Cherna

4.1 c1∈ M or_{f unktory}(V ect1, H²(−, Z)) = H²(K(Z, 2)) = H²(BS¹) = H²(P^∞) = H²(P¹) Wybieramy generator H²(P¹) tak by c1(O(1)) = [pt]. (Wia_,zka O(1) = γ^∗ to wia_,zka dualna do tautologicznej.)

4.2 Aksjomaty klas Cherna c(E) = 1 + c1(E) + · · · + c_rk(E)(E).

– funktorialno´s´c

– dla wia_,zek liniowych c(L) = 1 + c₁(L) – formu la Whitneya c(E ⊕ F ) = c(E)c(F )

4.3 Dodatkowo dla wia_,zek liniowych c₁(L₁) ⊗ c₁(L₂) = c₁(L₁)c₁(L₂)

4.4 Je´sli L jest holomorficzna_, wia_,zka_, liniowa_, nad rozmaito´scia_, zespolona_,, s przekr´oj wia_,zki, gen- erycznie transwersalny do przekroju zerowego, to c1(L) jest klasa_,Poincar´e dualna_,do Zero(s).

4.5 Projective bundle theorem. Je´sli E → B wia_,zka wektorowa, P(E) → B urzutowienie, L = O_{P(E )} wia_,zka tautologiczna, wtedy H^∗(P(E)) jest modu lem wolnym nad H^∗(B) o bazie ζⁱ = c1(L)ⁱ dla i = 1, 2, . . . , r − 1 = rk(E) − 1. Piszemy

ζ^r+ a1ζ^r−1+ · · · + ar−1ζ + ar= 0.

Wtedy a_i = c_i(E).

4.6 Wniosek: znaja_,c klasy Cherna E i pier´scień kohomologii H^∗(B) umiemy policzyć pier´scień kohomologii

H^∗(P(E)) = H^∗(B)[ζ]/(ζ^r+ c1ζ^r−1+ · · · + cr−1ζ + cr).

4.7 Zasada rozszczepiania: dla ka˙zdej wia_,zki wektorowej E → B istnieje q : B⁰ → B, takie, ˙ze q^∗E jest suma_,wia_,zek liniowych oraz f^∗ jest mono na kohomologiach:

B⁰ = F lagi(E) = B ×_{BU (n)}BT , gdzie T jest maksymalnym torusem w U (n).

4.8 Konstrukcja Borela X_G = EG ×^GX.

(9)

4.9 Dla H ⊂ G, X = G/H mamy X_G= EG ×^GG/H ' EG/H ∼ BH.

(bo mamy przekszta lcenie EG/H → EG ×^GG/H, [e] 7→ [(e, [1])]) 4.10 Kohomologie ekwiwariantne dla przestzreni topologicznej

H_G^∗(X) := H^∗(XG) = H^∗(EG ×^GX) To jest modu l nad H_G^∗(pt) = H^∗(BG)

4.11 Przyk lad H_T^∗(Pⁿ) = Z[t0, t₂, . . . , t_n, ζ]/(Qn

i=0(t_i+ ζ)) 4.12 Przyk lad: S¹ dzia laja_,ce na S² przez z²

XT = P(γ ⊕ 11), H_T^∗(S²) = Z[h, t]/(h²+ hc1+ c2), c2 = 0, c1 = 2t, gdzie t jest generatorem H²(BT ), h = c1(O(1)) czyli = Z[h, t]/(h²+ 2th). To jest wolny modu l nad Z. 1 i h generuje, bo th ∈ Z[t] + Z[t]h.

4.13 Funktorialno´s´c kontrawariantna ze wzgle_,du na X i G (kowariantna), bo biora_,c EH := EG mamy X_H = EG ×^H X → EG ×^GX.

4.14 Je´sli G dzia la wolno, to XG → X/G jest rozw lonieniem ze ´scia_,galnym w l´oknem EG, wie_,c H_G^∗(X) = H^∗(X/G).

(Bo dla ustalonego [x] ∈ X/G odwzorowanie EG 3 e 7→ [(e, x)] ∈ EG ×^GX jest mono).

([(e, x)] = [(e⁰, gx)]) ≡ ((e, x) = (e⁰g⁻¹, x)) ≡ (g = 1)

4.15 Je´sli X ma rozbicie na kohomologie jedynie parzystego wymiaru to H_T^∗(X, Z) jest wolnym modu lem nad H_T^∗(pt; Z).

4.16 Wniosek: przy za lo˙zeniu jak wy˙zej – H^∗(X) ⊗ H_T^∗(pt) ' H_T^∗(X)

– H_T^∗(X) ⊗_H^∗

T(pt)Q ' H^∗(X)

5 Ekwiwariantna formalno´ s´ c, lokalizacja

5.1 Mo˙zna uogólnić 4.15 na przypadek gdy Hôdd(X) = 0, ale trzeba zak ladać, ˙ze H^∗(X) bierzemy kohomologie o wspó lczynnikach w Q.

5.2 Def: Przestrze´n ekwiwariantnie formalna dla dzia lania torusa, kohomologie o wsp´o lczynnikach w Q (lub R, C)

– H_T^∗(X) → H^∗(X) jest epi

– H_T^∗(X) jest wolnym modu lem nad H_T^∗(pt) i H_T^∗(X) ⊗_H^∗

T(pt)Q ' H^∗(X) jako modu l nad H_T^∗(pt).

(z Twierdzenia Leray-Hirscha te warunki sa_,r´ownowa˙zne).

5.3 ´Cwiczenie. Trzeci warunek r´ownowa˙zny:

– H_T^∗(X) jest wolny nad H_T^∗(pt).

5.4 Twierdzenie. Je´sli X jest g ladka_,zwarta_,rozmaito´scia_, algebraiczna_,, na kt´orej dzia la torus alge- braiczny T_C= (C^∗)^r to X jest ekwiwariantnie formalna.

(10)

5.5 Twierdzenie (poje_,cia be_,da_, wyja´snione p´o´zniej). Je´sli X jest rozmaito´scia_, symplektyczna_,, na kt´orej torus dzia la hamiltonowsko to X jest ekwiwariantnie formalna.

5.6 Korespondencje:

Hom(H^∗(Y ), H^∗(X)) ' (H^∗(Y ))^∗⊗ H^∗(X)^Poincar´' ^eH^∗(Y ) ⊗ H^∗(X)^K¨^unneth' H^∗(X × Y ) . Maja_,c klase_,w kohomologiach a ∈ H^k(X × Y ) definiujemy φ_a: H^∗(Y ) → H^∗(X)

Hⁱ(Y ) Hⁱ(X × Y ) H^i+k(X × Y ) H^{i+k−dim Y}(X) y 7→ π_Y^∗y 7→ a ∪ (π_Y^∗y) 7→ π_X∗(a ∪ (π^∗_Yy)) . Odwzorowanie π_X∗ definiowane jest przez izomorfizm Poincar´e.

Je´sli a = [graph(f )] dla f : X → Y , to k = dim Y i φa= f^∗. Nie trzeba zak lada´c, ˙ze X jest zwarta.

5.7 5.4 Dow´od: niech BnT = (Pⁿ)^r, XT ,n= (Cⁿ⁺¹− 0)^r×^T X jest aproksymacja_,konstrukcji Borela.

Dowodzimy, ˙ze H^∗(X_{T ,n}) → H^∗(X) jest epi i ponadto, ˙ze H^∗(X_{T ,n+1}) → H^∗(X_T,n)

Wia_,zka (Cⁿ⁺¹− 0)^r→ (Pⁿ)^r jest trywialna nad zbiorem otwartym w topologii Zariskiego U : U × X ⊂ XT ,n.

Rzutowanie U × X → X rozszerza sie_,do korespondencji φ : X_{T ,n}→ X (cyklu w produkcie X_{T ,n}× X) a = [domkniecie(graph(U × X → X))].

Korespondencja a zadaje przekszta lcenie φa: H^∗(X) → H^∗(XT ,n).

H^∗(U × X) ←− H^∗(X_T,n)

(φa)|U ×X = π^∗_X ↑ ↑ φa

H^∗(X) = H^∗(X) i^∗φ^∗ = id_H^∗_(X) bo i^∗π_X^∗ = id_H^∗_(X)

Z Leray-Hirsha wynika, ˙ze H^∗(X_{T ,n}) jest generowane przez φ^∗(H^∗(X)) i H^∗(BnT ), zatem system odwrotny

. . . ←− H^∗(XT ,n) ←− H^∗(XT,n+1) ←− . . .

jest systemem epimorfizm´ow. Zatem H^∗(X_T) → H^∗(X) jest epi. Sta_,d H_T^∗(X) = H^∗(X_T) jest modu lem wolnym nad H_T^∗(pt).

5.8 Przyk lad przestrzeni, kt´ora nie jest ekwiwariantnie formalna: X = T /G, gdzie G 6= T : H_T^∗(T /G) = H^∗(ET ×^T T /G) = H^∗(ET /G) = H^∗(BG) .

Niech T1 be_,dzie sk ladowa_,sp´ojno´sci G. Mo˙zemy wybraa_,podtorus T2 ⊂ T taki, ˙ze T = T₁× T₂. Gdy wsp´o lczynniki sa_,Q, to H^∗(BG) = H^∗(BT1). Dzia lanie drugiego czynnika w

H^∗(BT ) = H^∗(BT1× BT₂) = H^∗(BT1) ⊗ H^∗(BT2) jest trywialne. Zatem H_T^∗(T /G) jest torsyjnym H_T^∗(pt) modu lem.

(11)

5.9 Lokalizacja. Niech X be_,dzie sko´nczonym ekwiwariantnym CW kompleksem dla dzia lania torusa T . Wtedy ja_,dro i koja_,dro odwzorowania obcie_,cia H_T^∗(X) → H_T^∗(X^T) sa_,torsyjnymi H_T^∗(pt)-modu lami.

5.10 Inne sformu lowanie: niech Λ = H_T^∗(pt), K =cia lo u lamk´ow: obcie_,cie indukuje izomorfizm K ⊗_ΛH_T^∗(X) ' K ⊗_ΛH_T^∗(X^T).

5.11 Niech M be_,dzie Λ-modu lem (gdzie Λ jest dziedzina_,). Lokalizacja K ⊗ΛM = {m

a | a 6= 0}/ ∼ m1

a1

∼ m2

a2

⇔ ∃b ∈ Λ^∗ ba2m1= ba1m2.

5.12 Lemat: Funktor lokalizacji jest dok ladny (tak˙ze dla innych system´ow multiplikatywnych).

5.13 Dowód 5.9 Wystarczy pokazać, ˙ze je´sli X powstaje z Y poprzez doklejenie komórki typu T ×GD, gdzie G 6= T to H_T^∗(X, Y ) jest torsyjnym Λ-modu lem:

H_T^∗(X, Y ) ' H_T^∗(T ×_GD, T ×_GS) ' H_G^∗(D, S) .

Tu dzia lanie Λ faktoryzuje sie_,przez dzia lanie H_T^∗(T /G) = H_G^∗(pt) = Λ/(charaktery zeruja_,ce sie_,na G), zatem jest torsyjne.

5.14 Uwaga ( ´Cwiczenie): To ca lkowicie nie dzia la dla grup nieprzemiennych, bo naog l orbity nie maja_,torsyjnych kohomologii. (np GLn(C)/Tn)

5.15 Przk lad: P¹ z dzia laniem naturalnym T = (S¹)²

H_T^∗(P¹) = Z[t0, t1, ζ]/((t0+ ζ)(t1+ ζ))

5.16 Je´sli X jest ekwiwariantnie formalna, to wszystkie odwzorowania w poni˙zszym kwadracie sa_, morfizmami

H_T^∗(X) −→ H_T^∗(X^T) 'L

x∈X^TΛ

↓ ↓

K ⊗_ΛH_T^∗(X) −→ K ⊗^' _ΛH_T^∗(X^T) 'L

x∈X^T K

5.17 Za l´o˙zmy, ˙ze X jest ekwiwariantnie formalna, |X^T| < ∞. Pytanie: jak opisa´c obraz H_T^∗(X) ,→

L

x∈X^TΛ? (odpowied´z be_,dzie p´o´zniej: GKM grafy).

5.18 Przyk lad: (´cwiczenie) X = Pⁿ, T tak jak zawsze, obraz H_T^∗(Pⁿ) ,→

n

M

k=0

Λ = Λⁿ⁺¹

sk la sie_,z takich cia_,g´ow (x₀, x₁, . . . , x_n) ∈ Z[x0, x₁, . . . , x_n]ⁿ⁺¹, ˙ze t_i− t_j dzieli x_i− x_j.

5.19 Za l´o˙zmy, ˙ze X jest ekwiwariantnie formalna, |X^T| < ∞. Pytanie: jak odtworzy´c element α znaja_,c obcie_,cia α|{x}∈ Λ?

Odpowied´z – Twierdzenie Beline-Vergne, Atiyah-Bott. Za l´o˙zmy, ˙ze X jest zwarta_,rozmaito´scia_,.

α = X

x∈X^T

(i_x)∗

i^∗_xα e(TxX)

gdzie i_x : {x} → X. Je´sli T_xX = Ldim(X)

i=1 L_i, sk ladnik L_i ' C z dzia laniem T przez charakter wi, to e(T_xX) =Qdim(X)

i=1 w_i, patrz 2.6.

(12)

5.20 Wniosek (przy za lo˙zeniach jak wy˙zej):

Z

X

α = X

x∈X^T

i^∗_xα e(T_xX). 5.21 Przyk lad: X = Pⁿ, α = (c₁(O(1))ⁿ

n

X

i=0

(−t_i)ⁿ Q

j6=i(t_j− t_i) =?

6 Lokalizacja II

6.1 Wniosek: Je´sli X jest ekwiwariantnie formalna, to Hêven(X) ' Hêven(X^T) i Hôdd(X) ' Hôdd(X^T) 6.2 Niech f : X → Y odwzorowanie zorientowanych rozmaito´sci. gdzie f∗ : H^∗(X) → H_T^∗(Y ) odwzorowanie otrzymane przez dualno´sć Poincaré

P D_X : H^k(X) → H_{dim X−k}(X) a 7→ a ∩ [X],

Definiujemy f∗ jeko z lo˙zenie

H^k(X) → H^' _{dim X−k}(X) → H_{dim X−k}(Y ) ← H^' dim Y −dim X+k(Y ) a 7→ a ∩ [X] 7→ f∗(a ∩ [X]) 7→ f∗(a)

6.3 Inna konstrukcja f∗ dla w lo˙zenia. Niech U be_,dzie otoczeniem tubulanym X w Y , tzn U jest dyfeomorficzne z przestrzenia_, wia_,zki normalnej π : ν → X, c = codimX. Niech τ ∈ H^c(U, U \ X) be_,dzie klasa_,Thoma. Oznacza to, ˙ze τ obcie_,ta do w l´okna wia_,zki normalnej U ' ν → X jest generatorem H^c(R^c, R^c\ {0}). Definiujemy f_∗:

H^k(X)^{T hom}' H^c+k(U, U \ X) ' H^c+k(Y, Y \ X) → H^c+k(Y ).

Wykorzystuje sie_,tu izomorfizm Thoma H^k(X)→ H^' ^c+k(U, U \ X), a 7→ π^∗(a) ∪ τ .

6.4 ˙Zeby udowodnić, ˙ze obie konstrukcje sa_,równowa˙zne trzeba pokazać, ˙ze τ ∩[U ] = [X] ∈ Hdim X(U ) ' H_{dim X}(X). Tu [U ] ∈ H_{dim Y}(U , ∂U ) jest klasa_,orientacji.

6.5 Niech e(ν) ∈ H^c(X) be_,dzie klasa_,Eulera

e(ν) = i^∗(τ ).

Mamy i^∗i∗(a) = a ∪ e(ν).

Rachunek w kohomologiach U : Bo i^∗i∗(a) = i^∗(π^∗(a) ∪ τ ) = i^∗π^∗(a) ∪ i^∗τ = a ∪ e(ν).

6.6 Je´sli X ⊂ Y niezmiennicza podrozmaito´s´c. Definiujemy i∗ tak jak w (6.3). Definiujemu ekwi- wariantna_,klase_,fundamentalna_,jako i∗(1X).

6.7 Za l´o˙zmy, ˙ze X jest rozmaito´scia_,z dzia laniem torusa, i : X^T → X w lo˙zenie, i^∗ : K ⊗_ΛH_T^∗(X)→ K ⊗^' _ΛH_T^∗(X^T) .

Z lo˙zenie i∗i^∗jest mno˙zeniem przez klase_,Eulera wia_,zki normalnej do X^T. (Nad ka˙zda_,sk ladowa_,punkt´ow sta lych ta wia_,zka ma inny wymiar.)

(13)

6.8 Lemat podstawowy: e(ν) ∈ H_T^∗(X) jest elementem odwracalnym w K ⊗_ΛH_T^∗(X). Trzeba to sprawdzi´c na ka˙zdej sk ladowej F ⊂ X^T.

6.9 Je´sli F = {x} jest punktem,

e(ν)_|F =Y

i

w_i ∈ Z[t₁, t₂, . . . , t_r],

gdzie w1, . . . , wcsa_,wagami dzia lania na νF = TxX. Wagi sa_,niezerowe, wie_,c ich produkt jest odwracalny w ciele.

6.10 Dow´od dla sytuacji og´olnej: Mamy rozk lad ν =L

w∈Wν_w. Mo˙zemy za lo˙zy´c, ˙ze ν_w jest wia_,zka_, zespolona_,. Ka˙zda_,z wia_,zek ν_w dope lniamy do wia_,zki trywialnej µ_w.

ν_w+ µ_w = 11^d^w z dzia laniem T przez w Niech µ =L

wµ_w Wtedy

e(ν ⊕ µ) = Y

w∈W

w^d^w

e(ν) · e(µ)/ Y

w∈W

w^d^w

!

= 1.

6.11 Twierzenie o lokalizacji (Atiyah-Bott, Berline-Vergne, dow´od wg Edidin-Graham lub Anderson).

Za l´o˙zmy, ˙ze X jest zwarta_,T -rozmaito´scia_,, kt´ora jest ekwiwariantnie formalna. Wtedy dla a ∈ H_T^∗ ∗ X) a =X

F

(iF)∗

i^∗_F(a) e(ν(F ))

.

Sumowanie jest po sk ladowych X^T, i_F : F → X jest w lo˙zeniem.

Dw. Niech φ be_,dzie z lo˙zeniem K ⊗_ΛH_T^∗(X) ⁱ

∗

→M

F

K ⊗_ΛH_T^∗(F )^1/e(ν)−→ M

F

K ⊗_ΛH_T^∗(F ) .

Zauwa˙zmy, ˙ze i∗◦ φ = Id. Skoro K ⊗_ΛH_T^∗(X) jest skończenie wymiarowa_,przestrzenia_,nad K, zatem mamy te˙z φ ◦ i∗ = Id. Czyli mamy równo´sć w K ⊗_ΛH_T^∗(X). Ale H_T^∗(X) ⊂ K ⊗_ΛH_T^∗(X).

6.12 Z poprzedniego wyk ladu wiemy, ˙ze i^∗ jest izomorfizmem dla przestrzeni zwartej. Tu otrzy- mali´smy inny dow´od dla rozmaito´sci.

6.13 Rozmaito´sć X nie musi być zwarta_,, mo˙ze być wne_,trzem zwartej rozmaito´sci z brzegiem, ale ak ladamy, ˙ze X^T jest zawarta.

6.14 Nie trzeba odwraca´c wszystkich element´ow Λ, wystarczy charaktery wia_,zki normalnej do X^T 6.15 Wniosek, formu la ca lkowa: Nicch p_X : X → pt. Przy za lo˙zeniach jak wy˙zej (X zwarta, zorien- towana)

Z

X

a := (p_X)∗(a) =X

F

(p_F)∗

i^∗_F(a) e(ν(F ))

∈ Λ.

(Uwaga: wynik jest w Λ cho´c sk ladniki sa_,w K.

(14)

6.16 W szczeg´olno´sci gdy |X^T| < ∞ Z

X

a = X

p∈X^T

a|p

e(TpX)

6.17 ˙Zeby zastosowa´c efektywnie powy˙zsza_,formu le trzeba zna´c wagi dzia lania na przestrzeni stycznej.

6.18 Przestrze´n rzutowa Pⁿ⁻¹ = G(n − 1, n). Niech Q = 11ⁿ/γ = O(1) be_,dzie wia_,zka_,ilorazowa_,: Z

Pⁿ⁻¹

c1(Q)^k+n−1=

n

X

i=1

t^k+n−1_i Q

j6=i(ti− t_j)

=

n

X

i=1

Res_z=t_i z^k+n−1 Qn

i=1t_i− t_j = −Res_z=∞ z^k+n−1 Qn

i=1(z − t_j). Zamieniamy zmienne z = 1/w i patrzymy na wsp´o lczynnik przy w w

w^−(k+n−1) Qn

i=1(1/w − t_j) = w^−(k−1) Qn

i=1(1 − wt_j) = w^−(k−1)

n

Y

i=1

∞

X

`=0

(wt_j)^`

Czyli wsp´o lczynnik przy w^k w

n

Y

i=1

∞

X

`=0

(wtj)^` Wynik:

h_k= X

`1+`2+···+`n=k

t^`₁¹t^`₂². . . t^`_nⁿ To jest pe lna funkcja symetryczna.

7 Rachunki na funkcjach symetrycznych

7.1 Wynika z formu ly ABBV wz´or na charakterustyke_,Eulera χ(X) = χ(X^T) (tak˙ze gdy pumkty nie sa_,izolowane).

7.2 Elementarne funkcje symetryczne σ_i, oznaczane przez e_i. Pier´scie´n funkcji symetrycznych

Z[t1, t₂, . . . , t_n]^Sⁿ = Z[e1, e₂, . . . , e_n] gdzie ek = σk(t1, t2, . . . , tn) jest elementarna_,funkcja_,symetryczna_,, e0 := 1

n

Y

i=1

(1 − t_i) =

n

X

i=0

(−1)ⁱe_i.

7.3 Mamy

X

i≥0

h_i·

n

X

i=0

(−1)ⁱe_i = 1

7.4 Przestrze´n styczna do grassmannianu G(k, n): niech γ ⊂ 11^ι ⁿbe_,dzie wia_,zka_,tautologiczna_,. Okre´slamy przekszta lcenie wia_,zek

Hom(γ, 11ⁿ) → T G(k, n)

(15)

Definiujemy krzywa_,

x_f(t) 7→ obraz(ι + tf )

(dobrze okre´slona dla ma lych t). Przekszta lcenie wia_,zek zadane jest wzorem Φ(f ) = ˙x_f(0) .

Przekszta lcenie jest okre´slone globalnie, niezmienniczo ze wzgle_,du na przekszta lcenia Cⁿ. Lokalnie sprawdzamy, ˙ze jest epimorfizmem: je´sli V ∈ G(k, n), Cⁿ= V ⊕W , to ka˙zda podprzestrze´n w otoczeniu V jest wykresem pewnego przekszta lcenia V → W . Ja_,drem Φ jest Hom(γ, γ). Zatem mamy kr´otki cia_,g dok ladny

0 → Hom(γ, γ) → Hom(γ, 11ⁿ) → T G(k, n) → 0

Punkty sta le G(k, n) sa_, indeksowane przez podzbiory k-elementowe n = {1, 2, . . . , n}. Wagi dzia lania torusa w p_I to {t_j − t_i}_{i∈I, j∈I}^∨

7.5 Niech L = Λ^kQ na G(k, n). To jest O(1) przy zanurzeniu Pl¨uckera.

Z

G(k,n)

c₁(L)^k= X

I⊂n |I|=l

P

i∈It_ik(n−k)

Q

i∈Ij ∈ I^∨(t_j − t_i)

7.6 Niech a ∈ H_T^∗(G(k, n)) be_,dzie dane jako wielomian W (c₁(γ), c₂(γ), . . . c_k(γ), c₁(Q), c₂(Q), . . . , c_n−k(Q)) zapisany jako funkcja symetryczna ze wzgle_,du na dwie grupy zmiennych. Tu Q = 11ⁿ/γ jest wia_,zka_, ilorazowa_,. Wtedy

Z

G(k,n)

a = X

I⊂n|I|=l

W (t_I, t_I^∨) Q

i∈Ij ∈ I^∨(tj− t_i) gdzie I^∨ = n\ I.

7.7 Punkty sta le przestrzeni flag F ln= GLn(C)/B+sa_,indeksowane permutacjami. Punkt odpowiadaja_,cy identyczno´sciowej permutacji to standardowa flaga. Mamy odwzorowanie ilorazowe GLn(C) → F ln. Jest ono ekwiwariantne ze wzgledu na dzialanie torusa na GLn(C) przez sprze,˙zenia. W przeciwobrazie standarowej flagi V0 jest I. Na przestrzeniach stycznych mamy

T_V₀F l_n= T_IGL_n(C)/T1B₊.

To jest izomorfizm ekwiwariantny. Zatem wagi dzia lania torusa na T_V₀F l_n sa_,takie jak T_IGL_n(C) = M_n×n(C) pod przeka_,tna_,. Czyli t_j − t_i dla i < j.

7.8 X = F l(Cⁿ), ca lkujemy klase_,kohomologiiQn

i=1c₁(L_i)^αⁱ

X

σ∈Σn

Qn i=1t^α_σ(i)ⁱ Q

i<j(t_σ(j)− t_σ(i)) =

t^α₁¹ t^α₁² . . . t^α₁ⁿ t^α₂¹ t^α₂² . . . t^α₂ⁿ

...

t^α_n¹ t^α_n² . . . t^α_nⁿ

tⁿ⁻¹₁ tⁿ⁻²₁ . . . 1 tⁿ⁻¹₂ tⁿ⁻²₂ . . . 1

...

tⁿ⁻¹_n tⁿ⁻²_n . . . 1

(16)

Je´sli bra´c cia_,gi rosna_,ce, to dostajemy funkcje Schura S_λ indksowane cia_,gami nierosna_,cymi α1 < α2 < α3 < . . . < αn

k k k k

λ_n λ_n−1+ 1 λ_n−2+ 2 . . . λ₁+ n − 1 αk+1 = λn−k+ k

To jest baza funkcji symetrycznych, indeksowana podzia lami λ = (λ₁≥ λ₂ ≥ · · · ≥ λ_n≥ 0)

S_λ =

t^n−1+λ₁ ¹ t^n−2+λ₁ ² . . . t^λ₁ⁿ t^n−1+λ₂ ¹ t^n−2+λ₂ ² . . . t^λ₂ⁿ

...

t^n−1+λ_n ¹ t^n−2+λ_n ² . . . t^λ_nⁿ

tⁿ⁻¹₁ tⁿ⁻²₁ . . . 1 tⁿ⁻¹₂ tⁿ⁻²₂ . . . 1

...

tⁿ⁻¹_n tⁿ⁻²_n . . . 1

= Uog´olniony Vandermonde Vandermonde

[Kiedy´s robi lem to na GALu z *].

7.9 ´Cw: Przyjmujemy konwencje_,h_i = 0 dla i < 0

Sλ = det (hλi+j−i)

8 Przestrzenie GKM (ba

_,

belkowe)

8.1 Lemat [Chang, Skjelbred] Niech F = X^T, Y – suma jednowymiarowych orbit. Obraz lokalizacji:

je´sli X jest ekwiwariantnie formalna, to

0 → H_T^∗(X) → H_T^∗(F ) → H_T^∗+1(Y, F ) jest dok ladny.

Lemat jest r´ownowa˙zny stwierdzeniu

ker(H_T^∗(F ) → H_T^∗+1(Y, F )) = ker(H_T^∗(F ) → H_T^∗+1(X, F )) .

Nie dowodzimy tego lematu w pe lnej og´olno´sci, ale dla przestrzeni ,,ba_,belkowych”. ˙Zeby dowiedzie´c sie_, wie_,cej patrz np: Matthias Franz, Volker Puppe, Exact sequences for equivariantly formal spaces, arXiv:math/0307112

8.2 Przestrzenie GKM (czyli ba_,belkowe): X zwarta rozmaito´s´c zespolona z dzia laniem torusa zespolonego (C^∗)^r. Zak ladamy, ˙ze |X^T| < ∞ oraz istnieje sko´nczenie wiele orbit jednowymiarowych.

Dodatkowo zak ladamy, ˙ze X jest ekwiwariantnie formalna (np X jest algebraiczna).

8.3 Gdy |X^T| < ∞ oraz dla ka˙zdego x ∈ X^T ˙zadne dwie wagi reprezentacji T_xX nie sa_, proporcjon- alne, to istnieje sko´nczenie wiele orbit T jednowymiarowych. (Odwrotnie wynikanie te˙z zachodzi.) Dw. Bo analitycznie lokalnie (X, p) z polami wektorowymi pochodza_,cymi od dzia lania zwartego torusa T jest izomorficzna z TxX.