Cwiczenie 1. W zale˙zno´sci od warto´sci parametr´ ´ ow a, b, c ∈ R rozwi¸aza´c uk lady r´owna´n

ALGEBRA I R

Uk lady r´ owna´ n i ostatnie rzeczy Javier de Lucas

Cwiczenie 1. W zale˙zno´sci od warto´sci parametr´ ´ ow a, b, c ∈ R rozwi¸aza´c uk lady r´owna´n





3a − 1 2a 3a + 1 2a 2a 3a + 1 a + 1 a + 1 2a + 2



 x =



 1 a a ²



 , x ∈ R ³ ,





1 a a ² 1 b b ² 1 c c ²



 x =



 a ³ b ³ c ³



 , x ∈ R ³ .

Cwiczenie 2. Znale´ ´ z´ c, je˙zeli to mo˙zliwe, odwrotno´s´ c macierzy





1 i 1 + i

−i 1 0

1 − i 0 1



 .

Cwiczenie 3. Pokaza´ ´ c, ˙ze je´sli A ∈ M _n (C) oraz λ ∈ C, to r´ownanie A(z) = λ¯ z ma niezerowe rozwi¸ azanie z ∈ C ⁿ wtedy i tylko wtedy gdy A ¯ A − |λ| ² Id, gdzie ¯ A ma elementy

¯

a ij = a ij , jest osobliwa.

Cwiczenie 4. Wykaza´ ´ c, ˙ze je´sli macierz kwadratowa i odwracalna A ma w lasno´s´ c: suma element´ ow ka˙zdego wiersza jest taka sama, to t¸e sam¸ a w lasno´s´ c ma macierz odwrotna A ⁻¹ .

Cwiczenie 5. Obliczy´ ´ c ´slad i wyznacznik operatora F ∈ EndV , je˙zeli V = K n [t], a ∈ K, natomiast F ma nast¸epuj¸ ac¸ a posta´ c:

• F w(t) = w ⁰ (t),

• F w(t) = tw ⁰ (t) + aw(t),

• F w(t) = w ⁰ (t) + aw(t),

Cwiczenie 6. Niech F : E → E b¸edzie operatorem nilpotentnym, czyli T ´ ⁿ

= 0 dla pewnego n 0 ∈ N, na przestrzeni wektorowej E sko´nczonego wymiaru. Udowodnij, ˙ze Tr T = 0 i detT = 0.

1

ALGEBRA I R

Cwiczenie 7. Oblicz ´





1 a b 0 1 a 0 0 1





n

dla dowolnych n ∈ N, a, b ∈ C .

2