2.3 Dane s a macierze A ∈ K ,m,n , B ∈ K n,p takie, ˙ze suma element´ ow w ka˙zdym wierszu macierzy A jest r´ owna s, a suma element´ ow w ka˙zdym wierszu macierzy B jest r´ owna r.

GAL (I INF) Zadania domowe 2

w tym obowi azkowe: 2.1, 2.8, 2.10, 2.16, 2.21 _, termin sprawdzianu: 5.10.2010

2.1 Mamy podzbi´ or G(c) ⊂ C ^n,n z lo˙zony z macierzy takich, ˙ze suma element´ ow w ka˙zdym wierszu jest sta la i r´ owna ustalonej liczbie c ∈ C. Okre´ sl dla jakich warto´ sci c iloczyn macierzy z tego zbioru te˙z nale˙zy do tego zbioru tzn. dla A, B ∈ G(c) mamy A ∗ B ∈ G(c).

2.2 Macierz kwadratow a A ∈ R _, ^n,n nazywamy praw a (lew _, a) macierz _, a stochastyczn _, a gdy wszyst- _, kie jej elementy s a dodatnie oraz suma element´ _, ow w ka˙zdym wierszu (ka˙zdej kolumnie) macierzy wynosi 1. Wyka˙z, ˙ze iloczyn dw´ och macierzy prawych (lewych) stochastycznych tego samego formatu jest macierz a praw _, a (lew _, a) stochastyczn _, a. _,

2.3 Dane s a macierze A ∈ K _, ^m,n , B ∈ K ^n,p takie, ˙ze suma element´ ow w ka˙zdym wierszu macierzy A jest r´ owna s, a suma element´ ow w ka˙zdym wierszu macierzy B jest r´ owna r.

Wyka˙z ˙ze suma element´ ow w ka˙zdym wierszu macierzy A ∗ B jest r´ owna rs. Sformu luj i udowodnij podobny fakt dla kolumn.

2.4 Wyka˙z, ˙ze macierz A = a b c d



∈ K ^2,2 jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy ad − bc 6= 0 i w´ owczas

A ⁻¹ = 1 ad − bc

 d −b

−c a

 . 2.5 Wyznacz, je´ sli istnieje, macierz odwrotn a do macierzy _,

A =









0 1 1 1

−1 0 1 1

−1 −1 0 1

−1 −1 −1 0







 .

2.6 Policz macierz odwrotn a do macierzy tr´ _, ojk atnej g´ _, ornej A = (a _i,j ) takiej, ˙ze a _i,j = 1 dla wszystkich i ≤ j.

2.7 Dla macierzy tr´ ojk atnej g´ _, ornej A = (a _i,j ) ∈ K ^n,n , podaj bezpo´ srednie wzory (by´ c mo˙ze rekurencyjne) na wsp´ o lczynniki jej macierzy odwrotnej A ⁻¹ (o ile istnieje) w zale˙zno´ sci od wsp´ o lczynnik´ ow a _i,j macierzy A.

2.8 Wyka˙z, ˙ze macierz A ∈ K ^n,n jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A ^T jest nieosobliwa.

2.9 Niech

A =





1 0 −1

0 −i 1 + i 1 + i 1 − i 0



 .

Znajd´ z kAk ₁ i kAk ∞ . Wyznacz wektory ~ x, ~ y ∈ C ³ takie, ˙ze k~ xk ₁ = k~ yk ∞ = 1 oraz kA ∗ ~ xk 1 = kAk 1 , kA ∗ ~ yk ∞ = kAk ∞ .

2.10 Dana jest macierz

A =









0 1 2 3

−ı 0 −1 −2

2ı ı 0 1

−3ı −2ı −ı 0









∈ C ^4,4

gdzie ı = √

−1. Wyznacz normy kAk ₁ i kAk ∞ . Znajd´ z wektory ~ x, ~ y ∈ C ^4,4 takie, ˙ze k~ xk 1 = k~ yk ∞ = 1 oraz kA ∗ ~ xk 1 = kAk 1 , kA ∗ ~ yk ∞ = kAk ∞ .

2.11 Policz norm e drug _, a indukowan _, a oraz norm _, e Frobeniusa dla macierzy A = (a _{, i,j} ) ∈ R ^n,n , kt´ orej jedynymi elementami niezerowymi s a a _, i,n+1−i , 1 ≤ i ≤ n.

1

2.12 Poka˙z ˙ze dla p = 1, ∞, F i macierzy rzeczywistej n × n mamy k|A|k _p ≤ kAk _p

2.13 Wyka˙z, ˙ze kA ∗ A ^T k ₂ = kA ^T ∗ Ak ₂ = kAk ² ₂ = kA ^T k ² ₂ , dla macierzy rzeczywistej n × n.

2.14 Czy kAk _max = max _i,j |a _i,j | dla macierzy n × n jest norm a indukowan _, a przez jak _, a´ _, s norm e _, wektorow a w C _, ⁿ ?

2.15 Czy norma Frobeniusa jest indukowana przez jak a´ _, s norm e wektorow _, a w C _, ^m,n ?

2.16 Dla danego cia la K, niech k · k K

oraz k · k K

b ed _, a pewnymi normami odpowiednio w K _, ⁿ i w K ^m . Wyka˙z, ˙ze funkcja

ψ(A) = sup

~ x6=~ 0

kA ∗ ~ xk _K

k~ xk _K

, A ∈ K ^m,n , definiuje norm e w K _, ^m,n .

2.17 Niech A = (a _i,j ) ∈ R ^n,n i niech B = (b _i,j ) ∈ C ^n,n taka, ˙ze <(b _i,j ) = a _i,j i =(b _i,j ) = 0, czyli B = <(B) = A i =(B) = 0. Wyka˙z, ˙ze

kAk _2,R

= kBk _2,C

.

(kAk _2,R

oznacza norm e indukowan _, a drug _, a macierzy rzeczywistej, a kBk _{, 2,C}

drug a norm _, e _, indukowan a macierzy zespolonej.) _,

2.18 Poka˙z nier´ owno´ s´ c Younga: dla dowolnych a, b ≥ 0 i p, q ≥ 1 takich, ˙ze 1/p + 1/q = 1 a · b ≤ 1

p a ^p + 1 q b ^q .

2.19 Poka˙z (dyskretn a) nier´ _, owno´ s´ c H¨ oldera: dla dowolnych ~ x, ~ y ∈ C ⁿ

|~ x ^H ∗ ~ y| ≤ k~ xk _p k~ yk _q

gdzie p, q ≥ 1 spe lniaj a 1/p + 1/q = 1. (Dla p = q = 2 dostajemy nier´ _, owno´ s´ c Schwarza!) Wskaz´ owka: Za l´ o˙z, ˙ze k~ xk p i k~ yk q nie przekraczaj a 1 i skorzystaj z nier´ _, owno´ sci Younga dla ka˙zdego z iloczyn´ ow |¯ x _i | · |y _i |.

2.20 Poka˙z nier´ owno´ s´ c Minkowskiego (czyli nier´ owno´ s´ c tr´ ojk ata dla normy p-tej Schura): dla _, 1 ≤ p < ∞ i dowolnych ~ x, ~ y ∈ C ⁿ

k~ x + ~ yk _p ≤ k~ xk _p + k~ yk _p . Wskaz´ owka: Zapisz lew a stron _, e nier´ _, owno´ sci w postaci

n

X

i=1

|x _i + y _i | ^p ≤

n

X

i=1

(|x _i | + |y _i |) ^p =

n

X

i=1

|x _i |(|x _i | + |y _i |) ^p−1 +

n

X

i=1

|y _i |(|x _i | + |y _i |) ^p−1 i zastosuj nier´ owno´ s´ c H¨ oldera do ka˙zdego z dw´ och sk ladnik´ ow ostatniej sumy.

2.21 Korzystaj ac z nier´ _, owno´ sci H¨ oldera wyka˙z, ˙ze dla A = ~ x ^T ∈ C ^1,n mamy kAk _p = sup

~ y6=0

kA ∗ yk _p k~ yk p

= k~ xk q , 1 p + 1

q = 1, 1 ≤ p ≤ ∞,

gdzie norma po lewej stronie jest p-t a norm _, a macierzy indukowan _, a, a po prawej zwyk l _, a q-t _, a _, norm a wektor´ _, ow.

2.22 Korzystaj ac z nier´ _, owno´ sci H¨ oldera wyka˙z, ˙ze dla dowolnych ~ x ∈ C ⁿ , ~ y ∈ C ^m

k~ y ∗ ~ x ^H k _p = k~ yk _p · k~ xk _q .