Interpolacja funkcjami sklejanymi poprzez wyznaczenie wartości drugich pochodnych w węzłach.

(1)

Interpolacja funkcjami sklejanymi poprzez wyznaczenie wartości drugich pochodnych w węzłach.

Tomasz Chwiej 19 kwietnia 2020

Naszym zadaniem będzie napisanie programu do interpolacji przy pomocy funkcji sklejanych będących wielomianami 3 stopnia poprzez wyznaczenie wartości drugich pochodnych w węzłach.

1 Wstęp

Aby rozwiązać problem, należy rozwiązać układ równań liniowych (szczegóły na wykładzie)

A ⃗m = ⃗d (1)

którego generatorem jest:

µ_im_i₋₁+ 2m_i+ λ_im_i+1= d_i (2) gdzie: m_ito poszukiwane wartości drugich pochodnych w węzłach (indeksowanychi = 0, 1, . . . , n− 1).

Pozostałe oznaczenia to:

λ_i = h_i+1

h_i+ h_i+1, µ_i = 1− λi (3)

elementy wektora wyrazów wolnych

di = 6 h_i+ h_i+1

(y_i+1− yi

h_i+1 − y_i− yi−1

h_i

)

(4)

oraz położenia węzłów: x₁, x₂, . . . , x_n i odległości międzywęzłowe

h_i = x_i− xi−1 (5)

W projekcie mamy narzucone warunki na drugie pochodne na brzegach, czyli:

m₀ = α, m_n₋₁ = β (6)

Po wprowadzeniu warunków brzegowych do układu równań (wykład), przyjmuje on postać:







1 0 0 · · · · 0 µ₁ 2 λ₁ · · · · 0 0 µ₂ 2 λ₂ · · · 0 ... . .. ... ... ... 0 · · · µn−2 2 λn−2

0 · · · · 0 0 1













m₀ m₁ ... ... m_n₋₂ m_n₋₁







=







α d₁ ... ... d_n₋₂

β







(7)

1

(2)

Po jego rozwiązaniu wartość funkcji interpolującej dla x ∈ [xi−1, xi] (numer podprzedziału:

i− 1) wyznaczamy według poniższego przepisu:

s_i₋₁(x) = m_i₋₁(x_i − x)³

6h_i + m_i(x− xi−1)³

6h_i + A_i(x− xi−1) + B_i (8) gdzie stałe całkowania mają postać:

A_i = yi− yi−1

h_i −hi

6(m_i− mi−1) (9)

B_i = y_i₋₁− mi−1h²_i

6 (10)

2 Zadania do wykonania

1. Napisać procedurę do wyznaczania wartości drugich pochodnych w węzłach. Do procedury należy przekazać: a) wektor z położeniami węzłów x_w, b) wektor z wartościami funkcji y_w, c) liczbę węzłów n, d) wektor do którego procedura zapisze wartości drugich pochodnych m, e) wartości drugich pochodnych w skrajnych węzłach (alfa i beta)

v o i d wyznacz M ( d o u b l e ∗xw, d o u b l e ∗yw, d o u b l e ∗m , i n t n , d o u b l e alf a , d o u b l e beta )

Uwaga: Węzły indeksujemy od 0 do n-1. Do rozwiązania układu równań można wykorzy- stać procedurę rozkładu LU z biblioteki GSL.

2. Napisać procedurę do wyznaczania wartości funkcji w położeniu międzywęzłowym. Część argumentów będzie identyczna jak dla procedury wyznacz M , ale dodajemy jeszcze ak- tualną wartość argumentu x [zgodnie z wzorem (8)]:

d o u b l e wyznacz Sx ( d o u b l e ∗xw, d o u b l e ∗yw, d o u b l e ∗m , i n t n , double x){

z n a j d z p i e r w s z y p o d p r z e d z i a ł ( i−1): x_w[i− 1] <= x <= xw[i]

Sx=wzór ( 8 ) r e t u r n Sx ; }

3. Utworzyć wektor zawierający położenia n równoodległych wezłów i wektor odpowiada- jących im wartości funkcji. Położenia węzłów można wygenerować zgodnie z poniższym wzorem

x_w[i] = x_min+ ∆x· i, i = 0, 1, . . . n− 1, ∆x = x_max− xmin

n− 1 (11)

gdzie: x_min to lewy kraniec przedziału interpolacji a x_max to prawy kraniec.

4. Napisać program do interpolacji funkcjami sklejanymi, który będzie korzystał z dwóch powyższych procedur. Przy użyciu swojego programu przeprowadzić interpolację funkcji

f₁(x) = 1

1 + x² (12)

oraz

f₂(x) = cos(2x) (13)

(3)

Przyjąć warunki z drugą pochodną równą 0 na obu krańcach przedziału interpolacji

α = β = 0 (14)

Wykonać interpolację dla f₁(x) oraz f₂(x) w przedziale x ∈ [−5, 5], dla liczby węzłów:

n = 5, 8, 21. Sporządzić wykresy funkcji interpolowanej [f (x)] i interpolującej [s(x)] dla każdego przypadku na jednym rysunku (będzie 6 rysunków).

5. Dla funkcji f₁(x) oraz n = 10 węzłów w przedziale x∈ [−5, 5] należy wyznaczyć wartości drugich pochodnych i porównać je z ”dokładniejszymi” wartościami liczonymi zgodnie z wzorem:

d²f

dx² ≈ f (x− δx) − 2f(x) + f(x + δx)

(δx)² (15)

Przyjąć δx = 0.01. Wykonać wykres wartości drugich pochodnych w zależności od poło- żenia węzłów pokazujący porównanie obu sposobów obliczania drugich pochodnych.

W sprawozdaniu we wstępie proszę opisać podstawy metody, proszę określić jakość interpolacji (czy obserwujemy efekt Rungego? co się dzieje w pobliżu krańców przedziału interpolacji?), jak ilość węzłów wpływa na interpolację? Wyniki proszę komentować wskazując także na różnice zauważone pomiędzy interpolacją Lagrange’a a interpolacją sklejkami kubicznymi.

3 Przykładowe wyniki dla funkcji f

₂

(x)

(4)

(a)

-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-6 -4 -2 0 2 4 6

f₂(x), n=4 F(x), n=4

(b)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-6 -4 -2 0 2 4 6

f₂(x), n=6 F(x), n=6

(c)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-6 -4 -2 0 2 4 6

f₂(x), n=9 F(x), n=9

(d)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-6 -4 -2 0 2 4 6

f₂(x), n=21 F(x), n=21

Rysunek 1: Interpolacja funkcji f₂(x) dla n = 4, 6, 9, 21.