S ZTUCZNA I NTELIGENCJA

S ZTUCZNA I NTELIGENCJA

W

9. Z

Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny

Politechnika Częstochowska

Klasyczne pojęcie zbioru związane jest z logiką dwuwartościową (Boole'a). Dla każdego zbioru A zawartego w pewnym zbiorze X istnieje funkcja f_A : X → {0, 1}, która określa, czy dany element x ∈ X należy do A, czy też nie:





∉

= ∈

A x

A x x

f_A

jeśli

jeśli 0 ) 1 (

W przypadku zbiorów rozmytych elementom x przypisuje się stopień przynależności do zbioru A.

Funkcja przynależności odwzorowuje elementy zbioru na przedział [0, 1]:

] 1 , 0 [ : ) (x X → µA

Zerowy stopień przynależności informuje, że element nie należy do zbioru.

Jedynka oznacza całkowitą przynależność.

Wartości pośrednie oznaczają częściową przynależność x do A.

Z BIORY ROZMYTE

158 163 168 173 178 183 188 193 198

0 0.5 1

wzrost, cm

µ

Funkcja przynależności do zbioru "wysoki człowiek"

Przykłady:

Funkcja przynależności do zbioru "liczby dużo większe od 1"

Funkcja przynależności do zbioru "liczba kromek zjadanych na śniadanie"

Funkcje przynależności do zbiorów rozmytych i "ostrych"

Funkcja przynależności do zbioru "liczba kromek zjadanych na śniadanie"

Funkcje przynależności do zbiorów rozmytych i "ostrych"

Z BIORY ROZMYTE

Za pomocą zbiorów rozmytych możemy formalnie określić pojęcia nieprecyzyjne i wieloznaczne, takie jak "wysoka temperatura", "młody człowiek", "średni wzrost" lub "duże miasto". Są to pojęcia opisowe (wielkości lingwistyczne), nieostre, rozmyte, nie związane ściśle z wartościami numerycznymi, zrozumiałe dla człowieka, ale trudne do przedstawienia w postaci numerycznej.

Zbiór rozmyty – zbiór uporządkowanych par A = {(x, μ_A(x)) | x ∈ X}

Centrum zbioru rozmytego A – zbiór takich punktów x ∈ A, w których μ_A(x) = 1 Nośnik zbioru rozmytego A – zbiór takich punktów x ∈ A, w których μ_A(x) > 0

Wysokość zbioru rozmytego A – supremum (kres górny) wartości funkcji przynależności zbioru A: sup μ_A(x), dla x ∈ X

Z BIORY ROZMYTE

Z BIORY ROZMYTE – ^DEFINICJE

Przecięcie dwu zbiorów rozmytych A i B (iloczyn, część wspólna) – A ∩ B, zbiór rozmyty o funkcji

przynależności

)) ( ), ( ( )

(x t _A x _B x

B

A µ µ

µ _∩ =

gdzie t jest tzw. t-normą. Najczęściej ma ona postać )}

( ), ( min{

)) ( ), (

( x x x x

t µ_A µ_B = µ_A µ_B

Suma dwu zbiorów rozmytychA i B – A ∪ B, zbiór rozmyty o funkcji przynależności

)) ( ), ( ( )

(x s _A x _B x

B

A µ µ

µ _∪ =

gdzie s jest tzw. s-normą. Najczęściej ma ona postać )}

( ), ( max{

)) ( ), (

( x x x x

s µ_A µ_B = µ_A µ_B

Dopełnienie zbioru rozmytego A (–A) – zbiór rozmyty o funkcji przynależności µ_−A(x)=1−µ_A(x)

Z BIORY ROZMYTE – ^DEFINICJE

Zbiór rozmyty A zawiera się w zbiorze rozmytym B, gdy Zbiór rozmyty A jest równy zbiorowi rozmytemu B, gdy Iloczyn (produkt) kartezjański dwu

zbiorów rozmytych A i B

zdefiniowanych w przestrzeniach X i Y – zbiór rozmyty w przestrzeni X×Y o funkcji przynależności

)) ( ), ( min(

) ,

(x y _A x _B y

B

A µ µ

µ _× =

Suma (koprodukt) kartezjańska dwu zbiorów rozmytych A i B

zdefiniowanych w przestrzeniach X i Y – zbiór rozmyty w przestrzeni X×Y o funkcji przynależności

)) ( ), ( max(

) ,

(x y _A x _B y

B

A µ µ

µ ₊ =

Z BIORY ROZMYTE – ^DEFINICJE

Z BIORY ROZMYTE – ^DEFINICJE

Z BIORY ROZMYTE F UNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI – ^DEFINICJE

Funkcja Gaussa

Asymetryczna funkcja Gaussa

Funkcja typu s

Funkcja typu π

Funkcja trójkątna















≥

<

− <

−

≤

− <

− ≤

=

c x dla

c x b b dla

c x c

b x a a dla

b a

x dla x a

c b a x

0 0

) , , , µ(

Funkcja trapezowa















>

<

− <

− < ≤

≤

− <

− ≤

=

d x dla

d x c c dla

d x d

c x b dla

b x a a dla

b a x

a x dla

d c b a x

0 1 0

) , , , , µ(

F UNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI

F UNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI

Funkcje przynależności mogą być wieloargumentowe. Np. przynależność do podzbioru rozmytego "wysoki na swój wiek" jest zależna od dwóch argumentów: wzrostu i wieku. Innym przykładem może być funkcja przynależności do zbioru "liczba x dużo większa od liczby y".

F UNKCJE PRZYNALEŻNOŚCI

Jeżeli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów X = {x₁, x₂, …, x_n}, to zbiór rozmyty A ⊆ X zapisuje się jako:

∑

= +

+

= ⁿ

i i

i A n

n A A

A

x x x

x x

x x

A x

2 1 2 1

1 ( ) ( )

) ...

( )

( µ µ µ

µ

gdzie kreska ułamkowa oznacza sparowanie elementu z jego stopniem przynależności, a znak + oznacza sumę mnogościową elementów.

Przykład.

Zbiór rozmyty "liczby naturalne bliskie 7":

10 2 , 0 9

5 , 0 8

8 , 0 7 1 6

8 , 0 5

5 , 0 4

2 ,

0 + + + + + +

= A Zbiór rozmyty "samochody luksusowe":

Xsara Citroen

3 , 0 Venga

Kia 4 , 0 Punto

Fiat 1 , 0 Majesta

Crown Toyota

98 , 0 XF

Jaguar 1 62

Maybach

1 + + + + +

= A

Z APIS SYMBOLICZNY ZBIORÓW ROZMYTYCH

Liczba rozmyta – zbiór rozmyty A określony w zbiorze liczb rzeczywistych A ⊆ R, którego funkcja przynależności µ_A(x):R→[0,1] spełnia warunki:

• normalności (maksymalna wartość μ_A(x) = 1)

• wypukłości

• ciągłości w przedziałach

Liczbę rozmyta nazywamy dodatnią, jeżeli μ_A(x) = 0 dla x < 0 Liczbę rozmyta nazywamy ujemną, jeżeli μ_A(x) = 0 dla x > 0

Liczba rzeczywista 2,.5 Liczba rozmyta

"około 2.5"

Przedział rzeczywisty [2.2, 3.0]

Przedział rozmyty [2.2, 3.0]

L ICZBY ROZMYTE

L ICZBY ROZMYTE

Zasada rozszerzania pozwala przenieść różne operacje matematyczne na grunt zbiorów rozmytych.

Np. dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie dwóch liczb rozmytych A i B daje w wyniku liczbę rozmytą C o funkcji przynależności:

)) ( ), ( min(

sup ) (

# ,

y x

z _{A B}

y x z

y x

C µ µ

µ

=

=

gdzie # oznacza jedną z operacji: +, –, *, /, sup oznacza maksymalną wartość w zbiorze Przykład. Wyznacz sumę i iloczyn liczb rozmytych

4 6 , 0 3 1 2

7 ,

0 + +

=

A ,

6 5 , 0 4 1 3

8 ,

0 + +

=

B .

10 5 , 0 9

5 , 0 8

6 , 0 7 1 6

8 , 0 5

7 , 0 10

...

9 ...

8 ...

7 ...

6

)}

8 , 0

; 1 min(

), 1

; 7 , 0 max{min(

5 ) 8 , 0

; 7 , 0

min( + + + + + = + + + + +

=

⊕B A

24 5 , 0 18

5 , 0 16

6 , 0 12

1 9

8 , 0 8

7 , 0 6

7 , 0 24

...

18 ...

16 ...

12 ...

9 ...

8 ) 1

; 7 , 0 min(

6 ) 8 , 0

; 7 , 0

min( + + + + + + = + + + + + +

=

⊗B A

Z ASADA ROZSZERZANIA I ARYTMETYKA ROZMYTA

Relacje rozmyte pozwalają sformalizować nieprecyzyjne sformułowania typu „x jest prawie równe y” lub „x jest znacznie większe od y”.

Relacją rozmytą między zbiorami (nierozmytymi) X i Y nazywamy zbiór rozmyty określony na iloczynie kartezjańskim X × Y:

] 1 , 0 [ :

gdzie ,

, ))},

, ( ), ,

{(( ∀ ∈ ∀ ∈ × →

= x y x y x X y Y μ X Y

R µ_{R R}

Przykład. Zdefiniuj relację rozmytą „y jest mniej więcej równe x” dla X = {3,4,5} i Y = {4,5,6}.

) 6 , 4 (

4 , 0 ) 6 , 4 (

6 , 0 ) 5 , 3 (

6 , 0 ) 6 , 5 (

8 , 0 ) 4 , 5 (

8 , 0 ) 5 , 4 (

8 , 0 ) 4 , 3 (

8 , 0 ) 5 , 5 (

1 ) 4 , 4 (

1 + + + + + + + +

=

R

Funkcja przynależności ma postać:











=

−

=

−

=

−

=

=

3

|

| jeżeli 4

, 0

2

|

| jeżeli 6

, 0

1

|

| jeżeli ,

8 , 0

jeżeli ,

1

y x

y x

y x

y x

µR

R ELACJE ROZMYTE

Relacja R zapisana macierzowo:

y1 y2 y3

x1

















8 , 0 1 8 , 0

6 , 0 8 , 0 1

4 , 0 6 , 0 8 , 0 x2

x₃

Otoczenie rozmyte składa się z:

• celów rozmytych

• ograniczeń rozmytych

• decyzji rozmytej

Rozważa się pewien zbiór opcji (wyborów/wariantów decyzji) X_op = {x}.

Cel rozmyty to zbiór rozmyty G określony w zbiorze opcji i opisany funkcją przynależności ]

1 , 0 [ :

)

( _op →

G x X

µ . µ_G(x) informuje na ile opcja x spełnia cel G.

Ograniczenie rozmyte to zbiór rozmyty C określony w zbiorze opcji i opisany funkcją przynależności µ_C(x):X_op →[0,1]. µ_C(x) informuje w jakim stopniu opcja x spełnia ograniczenie C.

P ODEJMOWANIE DECYZJI W OTOCZENIU ROZMYTYM

Decyzja rozmyta to zbiór rozmyty D powstały w wyniku przecięcia (iloczyn) zbiorów G i C:

C G D= ∩

przy czym µ_D(x)=t(µ_G(x),µ_C(x))

gdzie t(.,.) to t-norma, która najczęściej przybiera postać min(.,.).

W przypadku wielu celów i wielu ograniczeń możemy przyjąć:

m

n C C

G G

D= ₁∩...∩ ∩ ₁∩...∩

)) ( ),..., ( ), ( ),..., ( ( )

(x t _G1 x _Gn x _C1 x _Gm x

D µ µ µ µ

µ =

Szukamy takiej opcji x*∈ X_op, dla której osiągamy maksimum µ_D(x): )

( max arg

* x

x _D

X x _opµ

= ∈

P ODEJMOWANIE DECYZJI W OTOCZENIU ROZMYTYM

Wybór uczelni

Rozważamy studia na jednej z czterech uczelni – X_op = {U1, U2, U3, U4}

Nasz cel: uczenie się w renomowanej uczelni. Miarą renomy jest miejsce w rankingu szkół wyższych. Przyjmijmy:

4 5 , 0 3 25 , 0 2 1 1 75 , 0

U U U

G= U + + + Jednocześnie chcemy, aby spełnione były pewne warunki:

„niezbyt duża odległość od domu”:

4 5 , 0 3 4 , 0 2 9 , 0 1 8 , 0

1 U U U U

C = + + +

„bogaty program wymiany międzynarodowej”:

4 6 , 0 3 9 , 0 2 2 , 0 1 2 , 0

2 U U U U

C = + + +

„dobre zaplecze techniczne uczelni”:

4 7 , 0 3 6 , 0 2 3 , 0 1 5 , 0

3 U U U U

C = + + +

„duże możliwości znalezienia pracy”:

4 7 , 0 3 7 , 0 2 5 , 0 1 6 , 0

4 U U U U

C = + + +

P ODEJMOWANIE DECYZJI W OTOCZENIU ROZMYTYM –

PRZYKŁAD 1

Wyznaczając µ_D(x) za pomocą min otrzymujemy następującą decyzję rozmytą:

4 5 , 0 3 25 , 0 2 2 , 0 1 2 , 0

4 3 2

1 C C C U U U U

C G

D= ∩ ∩ ∩ ∩ = + + +

Teraz przyjmijmy, że t-norma ma postać iloczynową µ_D(x)=µ_G(x)⋅µ_C1(x)⋅µ_C2(x)⋅µ_C3(x)⋅µ_C4(x):

4 0735 , 0 3 0378 , 0 2 027 , 0 1 036 , 0

U U

U

D= U + + +

W obu przypadkach największy stopień przynależności wskazuje uczelnię U4.

P ODEJMOWANIE DECYZJI W OTOCZENIU ROZMYTYM –

PRZYKŁAD 1

Ustalanie ceny nowego produktu

Zadaniem ekspertów jest ustalenie ceny nowego produktu.

Opcją jest cena produktu X_op = [20, 60].

Ustalono trzy cele:

• „produkt powinien mieć niską cenę” — zbiór G₁

• „produkt powinien mieć cenę bliska konkurencyjnej” — zbiór G₂

• „produkt powinien mieć cenę bliska podwójnej cenie wytworzenia” — zbiór G₃ Funkcje przynależności przedstawiono na rysunku.

Maksymalna wartość w zbiorze D wynosi x* = 37,14 zł.

P ODEJMOWANIE DECYZJI W OTOCZENIU ROZMYTYM

G1

W OTOCZENIU ROZMYTYM –

PRZYKŁAD 2

G2 G3