Zestaw 3 1. Udowodnić indukcyjnie wzór Leibnitza

MECHANIKA KWANTOWA Karol Kołodziej

Zestaw 3 1. Udowodnić indukcyjnie wzór Leibnitza

d ⁿ

dx ⁿ [u(x)v(x)] =

n

X

m=0

n m

! d ^m u(x) dx ^m

d ^n−m v(x) dx ^n−m .

2. Wielomiany Legendre’a P n (w), n = 0, 1, 2, ..., określone w przedziale domkniętym [−1, 1]

można zdefiniować poprzez tzw. wzór Rodriguesa P _n (w) = 1

2 ⁿ n!

d ⁿ dw ⁿ

 w ² − 1 ^{ n} , w ∈ [−1, 1].

Wykorzystując wzór Leibnitza zróżniczkować (n + 1)-krotnie tożsamość

 w ² − 1 ^ d dw

 w ² − 1 ^{ n} = 2nw ^ w ² − 1 ^{ n}

i pokazać, że wielomiany Legendre’a spełniają następujące równanie różniczkowe II rzędu d

dw

"

 1 − w ^{2 } dP _n (w) dw

#

+ n(n + 1)P _n (w) = 0.

3. Pokazać, że wielomiany Legendre’a P _n (w), n = 0, 1, 2, ..., są ortogonalne w przedziale domkniętym [−1, 1], tzn. że

1

Z

−1

P _n (w)P _m (w) dw = 0, dla n 6= m.

Wskazówka. Skorzystać z równania różniczkowego z zad. 2.

4. Pokazać, że stowarzyszone funkcje Legendrea P _l ^m (w) zdefiniowane na odcinku [−1, 1]

wzorem

P _l ^m (w) = ^ 1 − w ^{2 }

1

2

|m| d ^|m|

dw ^|m| P _l (w),

gdzie P _l (w), l = 0, 1, 2, ..., jest wielomianem Legendre’a, a m jest liczbą całkowitą, przy czym |m| ≤ l, spełniają następujące równanie różniczkowe II rzędu

d dw

"

 1 − w ^{2 } dP _l ^m (w) dw

#

+

"

l(l + 1) − m ² 1 − w ²

#

P _l ^m (w) = 0.

5. Pokazać, że stowarzyszone funkcje Legendre’a P _l ^m (w) spełniają następującą relację or- togonalności na odcinku [−1, 1]

Z 1

−1

P _l ^m (w)P _l ^m

(w) dw = 2 2l + 1

(l + |m|)!

(l − |m|)! δ ll

.

Literatura do zadań 1–5: F.W. Byron, R.W. Fuller, tom I, rozdz. 5