1. Udowodnić Lemat (b) tzn. wzór

Rachunek Prawdopodobieństwa 2

Zestaw zadań nr 10

Termin realizacji: 23 I 2008

1. Udowodnić Lemat (b) tzn. wzór

E(Y g(X)|X) = g(X)E(Y |X).

(Można założyć, że X jest 1-wymiaorowa i dyskretna.) 2. Udowodnić „Tower property", tzn. wzór

E[E(Y |X 1 , X 2 )|X 1 ] = E(Y |X 1 ).

(Można założyć, że X 1 , X 2 są 1-wymiaorowe i dyskretne.)

3. Udowodnić lemat o „całkowitej warunkowej wartości oczekiwanej", tzn. wzór

E(Y |A)P (A) = X n

i=1

E(Y |B i )P (B i ),

gdzie Y jest dyskretna, a (B i ), i = 1, . . . n, tworzą rozbicie zdarzenia A.

4. Udowodnić, że V n = η ^Z

jest martyngałem względem (Z n ), gdzie (Z n ) jest procesem gałązkowym o prawdopodobieństwie wyginięcia η.

5. (Dla pasjonatów) Udowodnić Lemat Kroneckera (lub znależć jego dowód), tzn. implikację:

jeśli b n → ∞, a szereg P _∞

i=1 a i /b i jest zbieżny, to P _n

i=1 a i = o(b n ).

6. Udowodnić, że jeśli (S _n ) jest martyngałem względem (X _n ), a zdarzenie B _i ∈ σ(X ₁ , . . . , X _i ), to

E((S n − S i )S i I B

|X 1 , . . . , X i ) = 0.

7. Let X 1 , X 2 , . . . be a sequence of random variables on the probability space (Ω, F, P ).

(a) Show that the set of all ω ∈ Ω for which X n (ω) converges is an event, that is, A ∈ F.

(b) Show that there exists a random variable X (that is a F-measurable function X : Ω → R) such that X n (ω) → X(ω) for ω ∈ A.

8. Let G(n, p) be a binomial random graph with edge probability p, and let X = χ(G(n, p) be a random variable equal to the chromatic number of G(n, p). Show that

P (|X − EX| ≥ x) ≤ 2 exp

½

− 1 2 x ² /n

¾ . (Hint: Wait till Wednesday afternoon and use Hoeffding’s inequality.)

1