Fale

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Drgania harmoniczne punktu materialnego odbywające się wokół położenia równowagi można opisać podając zależność wychylenia od czasu:

0

sin

A

t







Umownie przyjmujemy, że zaburzenie  = 0 odpowiada chwili przyjętej za początek rachuby czasu (t = 0).

Niech zaburzenie (stan drgania) przesuwa się w przestrzeni np. w kierunku osi z.

Wówczas cząstka znajdująca się w punkcie o współrzędnej z  0 będzie opóźniona w

drganiach względem cząstki znajdującej się w punkcie 0 (z = 0) – źródła fali. Opóźnienie jest proporcjonalne do odległości „z” od źródła fali.

Załóżmy, że stan drgań przesuwa się ruchem jednostajnym z prędkością V. Do punktu B’, odległego od źródła fali (punktu 0) o z’, zaburzenie dociera z opóźnieniem



 = 0;  = 0; t = 0;

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

'

sin[ (

)]

'

'

sin[ (

)]

A

t

z

A

t

v



















2

T







'

'

A

sin[2 (

t

z

)]

T

Tv









''

''

A

sin[2 (

t

z

)]

T

Tv









Wychylenie ’ punktu B’, z położenia równowagi wyraża się wzorem:

T – okres drgań

wychylenie punktu B’

wychylenie punktu B”

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Jaki warunek musi spełnić odległość (z” - z’) aby punkty B’ i B” były najbliższymi punktami w których w każdej chwili wychylenia od położenia równowagi są

identyczne ?

Z okresowości funkcji sinus wynika, że ’ = ” jeśli argumenty pod znakiem „sin” będą się różniły o całkowitą wielokrotność 2.

'

"

2 (

t

z

) 2 (

t

z

) 2

T

vT

T

vT















stąd

z” – z’ = vT



 

v T

"

"

1

z

z

vT



_

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Długość fali równa się drodze, jaką zaburzenie przebywa w czasie jednego okresu drgania źródła.

Ogólnie: 0 0 2 2 sin( ) 2 sin( ) t z A T z A t

















2

k







sin(

)

A

wt kz







gdzie:

 – wychylenie z położenia równowagi cząstki znajdującej się w

odległości „z” od źródła fali, po czasie t ω – pulsacja źródła fali

A – amplituda drgań źródła fali

– liczba falowa RÓWNANIE FALI

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Fale płaskie:

powierzchnie falowe w przestrzeni – płaszczyzny równoległe linie falowe w przestrzeni dwuwymiarowej – proste równoległe

Kierunek rozchodzenia się fali nazywamy promieniem fali.

Zbiór punktów przestrzeni, którym odpowiada jednakowa faza drgań związanych z określoną falą, nazywamy czołem fali lub jej powierzchnią falową.

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Fale, których czoło stanowi w przestrzeni trójwymiarowej powierzchnia kuli, zaś w przestrzeni dwuwymiarowej okrąg koła nazywamy odpowiednio falami sferycznymi i kolistymi.

Fale takie pochodzą od źródeł punktowych. Amplituda fali kulistej maleje wraz ze wzrostem odległości od źródła. Przy założeniu, iż nie ma strat energii, amplitudę fali opisuje wzór: 0

A R

A

r



R – promień źródła fali r – odległość od źródła A₀ – amplituda w odległości 1m od źródła 0

_sin[

₍

_)]

A R

t k r R

r











a w przypadku źródła punktowego

A

1m

sin(

t kr

)

r











równanie fali kulistej (kolistej) RÓWNANIE FALI

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Źródła Z₁ i Z₂ są źródłami fal sinusoidalnych rozchodzących się w ośrodku

izotropowym, jednorodnym. Niech fale te będą wzbudzane przez punktowe źródła Z₁ i Z₂, których pulsacja drgań równa się odpowiednio ₁ i ₂, a fazy

początkowe wynoszą ₁ i ₂.

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Drgania wzbudzane w punkcie P będą spełniać równania: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2

sin(

)

sin(

)

A

t k r

r

A

t k r

r

























t k r

t k r

 





























Zgodnie z zasadą superpozycji drgań, wypadkowe drganie w punkcie P opisuje wzór:

1 2

A

sin

  









WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

( )

(

) 2

cos(

)

sin

sin

cos

cos

A

A

A A

A

r

r

rr

A

A

r

r

tg

A

A

r

r

 

























Możliwe są dwa przypadki:

1. Różnica faz (1 - 2) zależy od czasu (zmienia się w czasie) – źródła Z₁ i Z₂

nazywamy niespójnymi.

2. Różnica faz (1 - 2) nie zależy od czasu. Fale takie i wzbudzające je źródła

nazywamy spójnymi. 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2

(

)

(

) (

)

t k r

t k r

t

k r k r

  

 



 

 

 

 



 





 











WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

W przypadku 2 (₁ - ₂) nie zależy od czasu, zatem (₁ - ₂)t = 0, stąd ₁ - ₂ = 0, więc ₁ = ₂, T₁ = T₂. Wówczas (₁ - ₂) nie jest funkcją czasu.

1 2 1 2 1 2

2

2

2

(

)

r

r

r r

Tv

Tv







 



 







Amplituda drgań w punkcie P zależy od różnicy faz ₁ - ₂, a ta z kolei zależy od

odległości punktu P od źródeł Z₁ i Z₂.

Przypadek 1





cos(

) 1;

0

2

0

0;

;

r r

A

A

r r

r

r

A

r

r

 

 









 





 







Zakładamy, że ₁ = ₂ , zaś  = T 

T₁ = T₂; v = const; stąd k₁ = k₂

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY





cos(

) 1;

2

2

2

;

1,2,...

n

r r

n

r r

n

n

r r r

 

 





_









  



 

 



  

r n



 

Maksimum interferencyjne w punkcie P:

Różnica dróg przebytych przez fale ze źródeł Z₁ i Z₂ do punktu P równa jest

całkowitej wielokrotności długości fali (przy założeniu, że ₁ = ₂) lub jest równa 0.

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY





 

  



_







(2

1)

2

r

n



 



Minimum interferencyjne w punkcie P:

Różnica dróg przebytych przez fale ze źródeł Z₁ i Z₂ do punktu P

równa jest nieparzystej wielokrotności połowy długości fali.

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Rozpatrzmy przypadek interferencji fal: „biegnącej” i odbitej.

Falę płaską biegnącą wzdłuż osi x opisuje równanie:

1 1 0

sin 2 (

)

t

x

y

A

T









Fala odbita przebywa dodatkową drogę (2x) do P.

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

2

sin 2 [

t

x

(

x

)]

y

A

d

T















Wynik interferencji w punkcie P:

1 1 0 1 1

2

2

2

2

2 2

2

2 cos

2

2

2

2

2

2 2

2

sin

2

t

x

t

x

x

d

T

T

y

A

t

x

t

x

x

d

T

T











_

















_































2 cos[2 (

)] sin[2 (

)]

2

2

x

d

t

x

x d

y

A

T





















Wprowadźmy parametr d w celu scharakteryzowania warunków odbicia (od

ściany sztywnej fala odbija się ze zmianą fazy na przeciwną, od swobodnego końca bez zmiany fazy). Zatem równanie opisujące falę odbitą ma postać:

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Amplituda w punkcie P

2 cos[2 (

)]

2

x d

A

A









_*)

Ze wzoru *) wynika, że amplituda drgań cząstki (np. liny, węża gumowego) zależy od odległości cząstki (punktu P) od końca B (liny, węża), czyli od x.

Dla x = 0, A = 0 (sznur przymocowany do ściany) Wtedy

cos[2 (

)] 0

2

x

d









_{2 (}

₎

2

2

x

d











1

2

d



2

1

2

2

d









 







Jeśli koniec jest nieruchomy faza przy odbiciu fali zmienia się na przeciwną. W punkcie B jest węzeł fali (A = 0).

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

W jakich położeniach cząstki liny mają maksymalną amplitudę ?

cos[2 (

)]

1

2

2 (

)

2

2

1

2

1

2

(

)

2 2

2

4

x

d

x

d

n

x

n

x

n

n

x















 



 





 









1

3

5

'

; "

; "'

4

4

4

x





x





x





W odległościach x’, x”, x”’ powstają strzałki (cząstki mają maksymalną amplitudę)

1

2

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

₁

cos[2 (

)] 0

4

1

2 (

) (2

1)

4

2

2

x

x

n

x n

























Węzły powstają w położeniach (licząc od końca liny B)

* ** ***

0;

;

; ...

2

x



x





x





WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Zakładamy teraz, że koniec liny jest swobodny. Na końcu liny powstaje strzałka:

cos[2 (

)] 1

2

2 (

) 0

2

0

2

x

d

x

d

x

d



















 

Przy odbiciu od swobodnego końca fale odbijają się bez zmiany fazy. Położenie strzałek i węzłów można obliczyć podobnie jak wyżej.

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Rozważmy przypadek, gdy w danym ośrodku biegną fale o długości  z prędkością





oraz o długości ( + d) z prędkością

(







d





)

Obliczamy prędkość u wierzchołka fali powstałej w wyniku superpozycji obu fal.

U – prędkość grupowa

W chwili t = 0 wierzchołek „grupy” fal znajduje się w punkcie B (B’). Po czasie t wierzchołek „grupy” fal przesunął się na odległość s (teraz zgodne fazy mają punkty A i A’). Zatem

U

s

t



s vt

 



U v

t



 

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

d

(

v dv t vt t dv

)

d

t dv

d

t

dv







 

  

 



dv

U v

d





 

Jeśli w ośrodku nie występuje tzw. dyspersja to

dv

0

d





U <   - prędkość fazowa

wtedy U = v

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Treść zasady Huygensa-Fresnela składa się z przyjętych bez dowodu postulatów:

1. Źródło fali Z można zastąpić układem fikcyjnych źródeł fal wtórnych. Jako te fikcyjne źródła można przyjąć małe odcinki zamkniętej powierzchni otaczającej źródło Z.

2. Źródła wtórne są spójne. Za powierzchnię S przyjmuje się powierzchnię falową. Wtedy fazy drgań źródeł wtórnych są takie same, a także moce wtórnych źródeł są jednakowe.

3. Amplituda fali wtórnej jest tym mniejsza im większy jest kąt , jaki tworzy kierunek fali z normalną do powierzchni. Amplituda = 0, gdy  ₂ Nie istnieją fale wsteczne.

4. Jeżeli część powierzchni S jest zasłonięta, fale wtórne wysyłane są tylko przez odsłoniętą część powierzchni S. Wysyłanie fal odbywa się tak, jak w nieobecności osłony.

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Każdy punkt ośrodka, w którym rozchodzi się fala jest źródłem fal cząstkowych; obwiednia fal cząstkowych tworzy czoło fali (powierzchnie falową).

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

 - kąt padania  - kąt odbicia

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

AD = BC

(fala cząstkowa rozejdzie się na odległość AD w czasie, w którym czoło fali padającej przebędzie odległość CB)

z przystawania trójkątów

(kąty o ramionach wzajemnie prostopadłych są sobie równe)

 



prawo odbicia

Kąt odbicia fali równa się kątowi padania.

ACB

ADB



 

CAB



ABD





WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

 – kąt załamania

1 – prędkość fali padającej w ośrodku I 2 – prędkość fali załamanej w ośrodku II

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

;

CB v t



AB v t



sin

v t

; sin

v t

AB

AB









sin

sin

v t

v

n

v t

v











sin

sin

;

sin

sin

v

n

v













prawo załamania

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Rozchodzenie się fali polega na przekazywaniu energii (w przypadku fal

mechanicznych – przekazywaniu energii ruchu drgającego cząstek ośrodka).

Natężeniem fali nazywamy wielkość liczbową równą ilości energii przenoszonej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni prostopadłą do kierunku

rozchodzenia się fali.

2

[

J

]

I

S t

m s







Ponieważ energia ruchu drgającego cząstek ośrodka jest proporcjonalna do

kwadratu amplitudy drgań wokół ich położeń równowagi (



fali jest również proporcjonalne do kwadratu amplitudy fali.

2

I

_

_~

A

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Rozchodzeniu się fali w ośrodku towarzyszy pochłanianie energii (część energii drgań zamienia się w energię ruchu cieplnego).

Załóżmy, że fala płaska przechodzi przez warstwę substancji o grubości x. Natężenie fali zmienia się od wartości I₀ do I, przy czym I < I₀.

Przeźroczystość danej substancji D dla danej fali wyraża się stosunkiem:

0

I

D

I



WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Przyjmując, że ilość energii pochłoniętej w warstwie o grubości dx w jednostce

czasu i w jednostkowej powierzchni jest proporcjonalna do I i dx, możemy zapisać:

dI

 



Idx

gdzie:

 – współczynnik pochłaniania energii w ośrodku

dI

dx

I

 



Całkując stronami otrzymujemy:

ln I

 



x C



C wyznaczamy z warunków początkowych – jeśli x = 0, to I = I₀  lnI₀ = C

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

ln

ln

ln

ln

ln

I

x

I

I

I

x

I

x

I

I

e

I

I

I e







 





 

 





Wniosek: Natężenie fali wykładniczo maleje z grubością warstwy (przy stałym ).

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Fale akustyczne są to fale podłużne rozchodzące się w ośrodku sprężystym. Źródłami fal akustycznych (głosowych) są ciała drgające (struny, membrany). Ucho ludzkie odbiera fale głosowe w przedziale częstości 20 – 20 000 Hz. Fale

o częstości f < 20 Hz nazywamy infradźwiękami,

a o częstości f > 20 000 Hz ultradźwiękami.

Tzw. szumy nie maja charakteru periodycznego. Odpowiada im ciągły zakres częstości. W zależności od kształtu widma akustycznego rozróżniamy:

1. tony 2. dźwięki 3. szumy

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Dźwięki słyszalne charakteryzujemy podając:

1. częstość drgań (wysokość dźwięku)

2. amplitudę drgań (głośność – natężenie dźwięku) 3. widmo akustyczne (barwę dźwięku)

f f

f

f₀ f₀ 2f₀ 4f₀

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Za głośność wzorcową przyjmujemy głośność dźwięku o częstości 1 kHz i natężeniu I₀ = 10-12 _J/m2_{s (próg słyszalności)}

Głośność dźwięku o tej samej częstości i o innym natężeniu I określamy prawem Webera:

0

lg

I

I





Głośność wyrażamy w belach (B) lub decybelach (dB): 1dB = 0,1 B

Np. I = 1000 I₀, to  = lg1000 = 3 B = 30 dB

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Głośność dźwięku o innej częstości porównujemy z głośnością dźwięku o

częstości 1 kHz. Wówczas głośność wyrażamy w fonach.

Tzn. jeśli dany dźwięk wydaje się „tak samo głośny” jak dźwięk o częstości 1 kHz i głośności  dB, to jego głośność określamy jako  fonów.

Próg bólu: 120 dB przy f = 5000 Hz szelest liści rozmowa hałas uliczny fortissimo orkiestry 10 – 20 dB 50 – 70 dB 80 – 90 dB 90 – 100 dB AKUSTYKA

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Gdy źródło jest nieruchome to w czasie t wysyła n zagęszczeń. W tym czasie pierwsze zagęszczenie przebędzie odległość

s = Vdt d d

V t V

n











WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

1.Ruchome źródło dźwięku, nieruchomy obserwator

Jeśli Z porusza się z prędkością Vz, to n zagęszczeń znajdzie się w odległości:

1 d z

(

)

s



V t V t





V



V t

W tym przypadku

'

(

V

V t

)

n







Zatem , ale więc

'

'

V









'

'

V









'

(

)

V n

V

V t









n

_t

 



_'

V

V

V













1

'

1

V

V









 

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

Jeśli źródło oddala się od obserwatora to :

1

'

1

V

V









 

WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

2.Nieruchome źródło dźwięku, obserwator porusza się z prędkością V_o

;

;

s

n

n

t

n











t







WYKŁAD 6 RUCH FALOWY

'

'

n

t







(

) '

(

) '

(

)

'

(

)

'

s V t

s

V

V t

V t

V

V t

n

V

V n

V

V

V

V

































'

(1

)

V

V



_







