I.5 Fale materii. Pakiety falowe

I.5 Fale materii. Pakiety falowe

E-M+EF+EC: fale są cząstkami/ Cząstki są falami?

Fale e-m sa cząstkami:

•EF, E. Comptona: fotony są zlokalizowane

Elektrony czy neutrony (niewątpliwe cząstki) są falami:

•Obserwujemy dyfrakcję e i n na kryształach

(Davisson & Germer

1927)

Interferencja elektronów

10 100 1000 10000 100000

liczba elektronów docierających do ekranu

E-M: fale są cząstkami/ Cząstki są falami

Związek między pędem i długością fali dla fotonu:

Louis de Broglie (1923): fale materii;

Cząstkom o pędzie p przyporządkowujemy falę materii. Długość fali przez analogię z fotonem:

h h

E h p

γ

c

ν ν

= , = = λ

E h

p h k

ν ω

λ

= =

= =

Pakiety falowe: lokalizacja fotonów

Fala elektromagnetyczna, ściślej nieskończony ciąg fal może być opisany w notacji zespolonej:

Efekt fotoelektryczny, efekt Comptona

→fotony są zlokalizowane w przestrzeni, nie mogą więc być opisywane przez nieskończony ciąg fal.

→Potrzebny opis zlokalizowanych paczek falowych.

( ) ( )

A i i

A(r, t)

Re exp( p r Et ) exp( p r Et ) 2

È ˘

= Í Î ◊ - + - ◊ - ˙ ˚

Pakiety falowe: lokalizacja fotonów cd.

Pakiet falowy: superpozycja fal o zbliżonych energiach i pędach. Zjawisko dudnienia

powoduje lokalizację przestrzenną takiej superpozycji.

Dla dwóch fal :

( ) ( )

( )

( ) ( )

gdzie:

k= , k= , = , = A A A A cos k r t cos k r t

k k k k

A cos r t cos r t

A cos k r t cos k r t

k k k k

ω ω

ω ω ω ω

ω ∆ ∆ω

ω ω ω ω

∆ ω ∆ω

0

1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

0

0

1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

i i

= + = - + - =

Ê + + ˆ Ê - - ˆ

= Á ◊ - ˜ Á ◊ - ˜ =

Ë ¯ Ë ¯

= ◊ - ◊ -

+ - + -

Pakiety falowe: lokalizacja fotonów cd

k ₀ k

∆ k ^Ω

W 3-wymiarowej

przestrzeni wektorów falowych (pędów)

Związek

dyspersyjny:

ω ₀ = k ₀ c

Pakiety falowe: lokalizacja fotonów cd

Uogólniając na superpozycję fal z pewnego przedziału : ^{∆ k , ∆ ω}

( ) ( )

ł ą

ą

0

0

0 0

, gdzie -kula dooko a k ktory falowe wewn trz kuli: k=k

amieniaj c zmienne:

=A k

(x, t) d k A exp(i(k x t))

k

exp i x t d k exp i k x t

Ω

Ω

∆

∆ ∆ ∆ω

0 3

0 3

= ◊ -

+

È ˘

È ◊ - ˘ ◊ ◊ -

Î ˚ Î ˚

Ú

Ú

we Z

Ψ ω

Ψ ω

Pakiety falowe: lokalizacja fotonów cd

Dalej będziemy dyskutować jednowymiarowy pakiet falowy (uproszczenie rachunków):

( )

[ ]

( )

( )

k k

k k

k k

(x, t) Re A dk exp i kx t k d ( k) ...

dk

Re A exp i k x t d e d

sin ( t x d

dk

d d

xp i t x dk

d k dk

) Re A exp i k x t

t x

k

∆

∆

∆

∆

Ψ

∆ ω

ω ω ∆ ω ∆

ξ ω

ω ξ

ω

ω

ω ω

+ -

-

Ï Ê - ˆ ¸

Ô È - ˘ Ë ¯ Ô

Ì Î ˝

Ê ˆ

= Ë ◊ - ¯ =

= = + + =

Ï È ˘ È Ê ˆ ˘ ¸

= Ó Ì Î - ˚ ◊ ◊ Î Í - Ë - ¯ ˙ ˚ ˝ ˛ =

Ô ˚ - Ô

Ô Ô

Ó ˛

=

Ú

Ú

0

0 0

2

2 0 2

0 0

0

0

0 0

1 2

2

Pakiety falowe: lokalizacja fotonów cd

x ReΨ(x,t)

Ostre maksimum w

g

x d t v t dk

= ω = V _g =dω/dk

x k

∆ π

∆

= 2

Relatywistyczny i nierelatywistyczny związek dyspersyjny dla fal de Broglie’a

( )

ą

ś ą ą

2

g

Dla fal de Broglia zachodzi:

E=

Nierelatywistyczne wyrażenie na energię cz stki:

E= p

Pakiet falowy porusza się z prędko ci grupow : v

c c

p k

k

m m

d dE p

dk dp m v Re laty

ω π

λ λ

ω

2

2

2 2

= = =

=

= = = =

( )

^{( )}

wyrażenie na energię:

E= mc = daje nam v

wistyczne

d kc pc mv c

k v

dk E m c

ω γ

ω ω γ

2 2 2

2 2

2

1 2

+ = = 2 = = =