=@=E= 
OE IJ=JOIJO?A

Zadania z zyki statystycznej

14 stycznia

Zadanie 7.1 (Rozdziaª 5.4 w [4], zadanie 6.11 w [1] )

Wykorzystuj¡c przybli»enie ±redniego pola wyznacz równania uwikªane opisuj¡ce ±redni¡ warto±¢ spinu < s > przy niezerowym polu zewn¦trz- nym H ̸= 0 dla

a) ferromagnetyka, b) paramagnetyka, c) antyferromagnetyka.

Nast¦pnie wyznacz te warto±ci. Najlepiej gracznie.

7 stycznia

Zadanie 6.1 (Zadanie 6.2 b) w [1] )

Rozwa» jednowymiarowy, otwarty model Isinga zªo»ony z N spinów.

Oblicz sum¦ statystyczn¡ dla tego modelu, inaczej ni» na wykªadzie, stosuj¡c we wzorze na energi¦ podstawienie τi = s_is_i+1 dla 1 6 i < N.

Zadanie 6.2 (Zadanie 6.4 w [1] oraz rozdziaª 16 w [3] )

Korzystaj¡c z metody macierzy transferu, oblicz sum¦ statystyczn¡ dla zamkni¦tego (czyli takiego, gdzie uto»samiono ko«ce, czyli sN +1 ≡ s1) modelu Isinga zªo»onego z N spinów, umieszczonego w niezerowym ze- wn¦trznym polu magnetycznym H.

Uwaga:

W rozwi¡zaniu zadania niezb¦dne b¦dzie przypomnienie informacji o diagonalizacji macierzy i podstawowych wªasno±ciach ±ladu macierzy z algebry liniowej. Polecam rozdziaª 8.2 w [8]. Wersja dla mniej wyma- gaj¡cych: http://pl.wikipedia.org/wiki/Diagonalizacja http:

//pl.wikipedia.org/wiki/%C5%9Alad_macierzy.

Zadanie 6.3 (Zadanie 6.8) w [1] )

Poka», »e wielka suma statystyczna ZG gazu sieciowego o energii E_G =−ε ∑

<i,j>

c_ic_j dla c_i, c_j ∈ {0, 1}

daje si¦ zapisa¢ jako

ZG = e^βE0ZI(J, H),

gdzie ZI oznacza sum¦ statystyczn¡ modelu Isnga zdeniowanego na tej samej sieci, J to staª¡ sprz¦»enia mi¦dzy spinami Isinga, a H - pole magnetyczne dziaªaj¡ce na te spiny. Ponadto wyka», »e zachodz¡

nast¦puj¡ce relacje

J = ε 4, µ zε

Zadanie 6.4 (Zadanie 6.10 w [1] )

Poka», »e energi¦ stopu dwuskªadnikowego (w naszym przypadku mo- si¡dzu) dan¡ wzorem

E_M =−1 4

∑

<i,j>

J_CuCu(1 + s_i)(1 + s_j)−1 4

∑

<i,j>

J_ZnZn(1− si)(1− sj)+

− 1 4

∑

<i,j>

JCuZn[(1 + si)(1− sj) + (1− si)(1 + sj)] ,

mo»na zapisa¢ w tej samej postaci co energi¦ modelu Isinga E_M =−J ∑

<i,j>

s_is_j− H∑

i

s_i+ const,

gdzie J = ^JCuCu+JZnZn₄ ^−2JCuZn.

17 grudnia

Zadanie 5.1 (Zadanie 5.24 w [1] ) Prawo przesuni¦¢ Wiena.

Na podstawie wykªadu zapisz g¦sto±¢ energii promieniowania elektro- magnetycznego w temperaturze T (tzw. rozkªad Plancka). Udowodnij,

»e jej maksimum zmienia si¦ liniowo z temperatur¡, czyli ωmax = A^kT_~ . Wskazówki:

Zastosuj podstawienie x = βω~, otrzymane równanie uwikªane rozwi¡»

numerycznie lub przybli»aj¡c e^x≈ 1 + x.

Zadanie 5.2 (Zadania 4.6, 4.7, 4.9, 5.11, 5.12, 5.13, w [1] oraz rozdziaª 3.5 w [7] )

Wyprowad¹ równania stanu dla jedno-, dwu- oraz trójwymiarowego gazu cz¡stek kwantowych (zarówno dla fermionów jak i dla bozonów).

W tym celu

• Wyznacz liczb¦ stanów Γ(E) o energii 6 E odpowiadaj¡cych cz¡- stce kwantowej umieszczonej w n-wymiarowej studni potencjaªu o wymiarach Lⁿ (n = 1, 2, 3).

• Na podstawie powy»szego podpunktu wyznacz odpowiednie funk- cje g¦sto±ci stanów. Jak zale»¡ one od energii E?

• Czy funkcje g¦sto±ci stanów zale»¡ od spinu cz¡stek?

• Korzystaj¡c ze wzoru wyprowadzonego na wykªadzie pV = kT ln Z i z wcze±niejszych wyników oblicz równania stanu gazów kwanto- wych dla wymiarów 1, 2, 3.

Wskazówka:

g(E)dE = dΓ(E).

10 grudnia

Zadanie 4.1 (Zadania 5.3 i 5.4 w [1] )

Oblicz wielk¡ sum¦ statystyczn¡ klasycznego gazu doskonaªego o tem- peraturze T i potencjale chemicznym µ. Poka», »e prawdopodobie«stwo znalezienia N cz¡stek tego gazu w elemencie obj¦to±ci V jest opisane rozkªadem Poissona

P(N) = e^−<N> < N >^N

N ! ,

gdzie < N >= V λ⁻³e^βµ, a λ = h/√

2πmkT opisuje dªugo±¢ termicznej fali de Broglie'a.

Wskazówka:

Poka» najpierw, »e dla ukªadu otwartego, skªadaj¡cego si¦ z nieoddzia- ªuj¡cych cz¡stek oraz b¦d¡cego w kontakcie z otoczeniem T, µ = const sum¦ statystyczn¡ mo»na zapisa¢ w postaci

Z(T, V, µ) = exp[e^βµZ(T, V, 1)].

Wykorzystaj te» warto±¢ sumy statystycznej wyznaczonej w zadaniu 3.1. Dlaczego mo»na skorzysta¢ z tego wyniku?

Zadanie 4.2 ( ‚wiczenia nr 14 (tifs13.pdf) w [3] )

Oblicz wielk¡ sum¦ statystyczn¡ oraz znajd¹ ±redni¡ liczb¦ cz¡stek w ustalonej temperaturze T dla tzw. maxwellonów. Maxwellony to co±

pomi¦dzy fermionami, a bozonami - i-ty poziom energetyczny mo»e by¢ dla nich ni-krotnie zdegenerowany, gdzie ni ̸= ∞ (to nie bozony) i n_i ̸= 0 (to nie fermiony, które s¡ po prostu niezdegenerowane).

Zadanie 4.3 ( Zadanie 5.10 w [1], rozdziaªy 2.2, 4.2 i 4.5 w [4] )

Wyznacz uktuacje liczby cz¡stek kwantowych dla fermionów i bozo- nów o energii ε. Sprawd¹ zachowanie w niskich temperaturach oraz w granicy klasycznej.

3 grudnia

Zadanie 3.1 (Rozdziaª 9.2 w [3], zadanie 4.31 w [1] )

Zastosuj rozkªad kanoniczny do gazu doskonaªego. Wyznacz równanie stanu i ciepªo wªa±ciwe. Porównaj z rozwi¡zaniem zadania 1.4.

Zadanie 3.2 (Rozdziaªy 9.3, 9.4 w [3], zadanie 4.16 w [1] )

Paradoks Gibbsa: sprawd¹, »e, energia swobodna i entropia obliczone dla gazu doskonaªego (zadanie 3.1) przy pomocy rozkªadu kanonicz- nego nie s¡ wielko±ciami ekstensywnymi. Popraw wynik (porównaj z zadaniem 1.1 pami¦taj¡c, »e z naszego punktu widzenia cz¡stki s¡ nie- rozró»nialne).

Zadanie 3.3 (Rozdziaª 9.4 w [3], zadanie 12.10 w [2] )

Model Einsteina ciepªa wªa±ciwego ciaª staªych. Oblicz ciepªo wªa±ciwe zbioru N niezale»nych kwantowych oscylatorów harmonicznych. Tym razem w rozkªadzie kanonicznym. Porównaj z zadaniem 2.3.

Zadanie 3.4 (Zadanie 12.4 w [2] )

Rozwini¦cie podwójnie splecionej molekuªy DNA jest podobne do roz- pinania zamka bªyskawicznego. DNA ma N ogniw, z których ka»de mo»e by¢ w jednym z dwóch stanów: stan zamkni¦ty o energii 0 i stan otwarty o energii ε. Ogniwo mo»e si¦ otworzy¢ jedynie kiedy jego s¡- siad po lewej jest ju» otwarty. Na schemacie poni»ej oznaczono ogniwa otwarte przez [∗], a ogniwa zamkni¦te przez [ ].

[∗][∗][∗][∗][∗][∗][∗][∗][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ] [ ][ ]

Wyznacz sum¦ statystyczn¡ dla ªa«cucha DNA. Znajd¹ ±redni¡ liczb¦

otwartych ogniw w granicy termodynamicznej (N ≫ 1).

Wskazówka:

‘redni¡ liczb¦ cz¡stek najªatwiej b¦dzie policzy¢ wprost z denicji, bez formalizmu termodynamicznego, cho¢ mo»na te» wyznaczy¢ ciepªo wªa-

19 listopada

Zadanie 2.1 (Zadanie 4.20 w [1])

Zinterpretuj trzeci¡ zasad¦ termodynamiki z punktu widzenia zyki statystycznej.

Zadanie 2.2 (Rozdziaª 2.1 w [4])

Sprawd¹ równo±¢ ±redniej czasowej i ±redniej po zespole dla pojedyn- czego oscylatora harmonicznego.

Wskazówka:

Pole elipsy o póªosiach a i b wynosi P = πab.

Zadanie 2.3 (Rozdziaª 8.8 w [3] i zadanie 4.11 w [1])

Model Einsteina ciepªa wªa±ciwego ciaª staªych. Oblicz ciepªo wªa±ciwe zbioru N niezale»nych oscylatorów harmonicznych.

Zadanie 2.4 * (Zadanie 5.9 w [2], bª¡dzenia losowe w ogólno±ci w rozdziale 2.5 w [6])

Atom w gazie do±wiadcza cz¦stych i trudnych do przewidzenia zderze«.

Prost¡ metod¡ opisu jego ruchu jest zaªo»enie, »e wykonuje on bª¡dze- nie przypadkowe. W tym zadaniu zajmiemy si¦ bª¡dzeniem przypad- kowym w jednym wymiarze.

Rozwa» cz¡stk¦ (znajduj¡c¡ si¦ pocz¡tkowo w x = 0) wykonuj¡c¡ ko- lejne przypadkowe kroki wzdªu» osi x. Kroki s¡ o jednakowej dªugo±ci, a prawdopodobie«stwa kroku w prawo i lewo równe sobie i równe ¹₂. Niech W (k, n) b¦dzie prawdopodobie«stwem, »e cz¡stka znajduje si¦ k kroków od punktu pocz¡tkowego po wykonaniu n kroków przypadko- wych.

9 i 12 listopada

Zadanie 1.1 (Zadanie 4.4 w [1])

Rozwa» ukªady N niezale»nych cz¡stek a) klasycznych,

b) bozonów, c) fermionów.

Zakªadaj¡c, »e pojedyncza cz¡stka mo»e przebywa¢ w R stanach jed- nocz¡stkowych, oblicz, ile wynosi liczba mikrostanów ka»dego z wymie- nionych ukªadów.

Zadanie 1.2 (Rozdziaª 8.10 w [3], rozdziaª 2.2 w [4])

Rozwa» ukªad zªo»ony z N strzaªek, z których ka»da mo»e przyjmowa¢

dwa stany ↑ lub ↓, jak na rysunku poni»ej.

↑ ↓ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↑ ↓ ↓ ↓ ↑ ↓ ↑ ↑ ↑

Przyjmuj¡c, »e energia pojedynczej strzaªki wynosi odpowiednio ε dla ↑ oraz −ε dla ↓ oblicz liczb¦ mikrostanów ∆Γ sprzyjaj¡cych makrosta- nowi o energii E oraz entropi¦ S, temperatur¦ T oraz energi¦ swobodn¡

F ukªadu w stanie równowagi. Kiedy entropia przyjmuje warto±¢ mak- symaln¡? Co oznaczaj¡ ujemne temperatury?

Wskazówki:

Wprowad¹ parametr porz¡dku x = 2n − N, dla n - liczby strzaªek ↑.

Wzór Stirlinga ln n! ≈ n ln n − n.

Uwaga:

Ša«cuch rozwa»any w tym zadaniu, pomimo pozornego podobie«stwa, nie jest modelem Isinga!

Zadanie 1.3 (Rozdziaª 3.3 w [5])

Wyprowad¹ wzór Stirlinga podany w poprzednim zadaniu.

Zadanie 1.4 (Zadania 5.6 i 5.7 w [2], rozdziaª 8.8 w [3])

Zastosuj rozkªad mikrokanoniczny do gazu doskonaªego. Wyznacz rów- nanie stanu i ciepªo wªa±ciwe.

Literatura

[1] A. Fronczak, Zadania i problemy z rozwi¡zaniami z termodynamiki i - zyki statystycznej , Ocyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, War- szawa, 2006.

[2] K. Huang, Podstawy zyki statystycznej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2006.

[3] M. Wierzbicki, Termodynamika i Fizyka Statystyczna w zadaniach, http:

//if.pw.edu.pl/~wierzba/zajecia/tifs08/skrypt.html.

[4] A. Zagórski, Fizyka statystyczna, Ocyna Wydawnicza Politechniki War- szawskiej, Warszawa, 1994.

[5] A. Zagórski, Metody matematyczne zyki, Ocyna Wydawnicza Politech- niki Warszawskiej, Warszawa, 2001.

[6] A. Iwanik, J. K. Misiewicz Wykªady z procesów stochastycznych z zada- niami. Cz¦±¢ pierwsza - procesy Markowa, Ocyna Wydawnicza Uniwer- sytetu Zielonogórskiego, Zielona Góra, 2009.

[7] L. Adamowicz Mechanika Kwantowa. Formalizm i zastosowania, Ocyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 2005.

[8] J. Klukowski, I. Nabiaªek Algebra dla studentów, Wydawnictwo Naukowo- Techniczne, Warszawa, 2004.