1. Zanle¹¢ warto±ci najmniejsze i najwi¦ksze podanych funkcji na wskazanych ograniczonych obszarach domkni¦tych:
(i) f(x; y) = x2+ 2xy 4x + 8y, 0 ¬ x ¬ 1; 0 ¬ y ¬ 2, (ii) f(x; y) = x2y, x2+ y2 ¬ 1,
(iii) f(x; y) = x2 xy, 0 ¬ x ¬ 1; 0 ¬ y ¬p x, (iv) f(x; y) = 2q1 14x2 19y2, 14x2+19y2 ¬ 1.
2. Znale¹¢ wymiary a; b; c prostopadªo±cianu, który ma najmniejse pole powierzchni caªkowi- tej.
3. Obliczy¢ odlegªo±¢ pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych od pªaszczyzny okre±lonej równaniem x 2y + 3z 6 = 0.
4. Napisa¢ wzór Taylora dla funkcji:
(i) f(x; y) = sinxcosy;
(ii) f(x; y) = exln(1 + y);
(iii) f(x; y) = sin(x2+ y2);
(iv) f(x; y) = arctg1+xyx y,
w otoczeniu punktu (0; 0) w przypadkach: p = 2; 3 z reszt¡ w postaci Peano i reszt¡ w postaci Lagrange'a.
5. Napisa¢ wzór Taylora dla funkcji
(i) f(x; y) = sin(x) e2y; a = (0; 0); p = 3;
(ii) f(x) = ex1++xk; a; p dowolne, (iii) f(x; y) = xsiny; a = (0; ); p = 3,
(iv) f(x; y) = x2y; a = ( 1; 1); p = 2; p = 3,
(v) f(x; y) = x2+ 2xy + 3y2 6x 2y 4; a = ( 2; 1); p = 3, (vi) f(x; y) = (x + y)3; a = ( 1; 1); p = 4
z reszt¡ w postaci Peano i reszt¡ w posatci Lagrange'a.
Arkusz 11
