RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA TEST 2 - zagadnienia semestr zimowy 2019/2020

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

TEST 2 - zagadnienia semestr zimowy 2019/2020

ZAKRES MATERIAŁU: Rozdziały 4.0–5.2

Zanim zaczniesz przygotowania, spójrz, co zawiera oficjalna ściąga.

TEST 2 - zadania

• Części A i B z zestawów 10DRAP–20DRAP (bez 12DRAP);

TEST 2 - teoria

Rozdział 4:

• definicja zmiennej losowej;

• definicja dystrybuanty zmiennej losowej;

• własności dystrybuanty zmiennej losowej (z dowodem);

• inne przydatne własności dystrybuanty (z dowodem);

• definicja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej;

• co to znaczy, że zmienna losowa jest skupiona na zbiorze A;

• definicja zmiennej losowej dyskretnej;

• definicja atomu rozkładu zmiennej losowej;

• jak podać rozkład zmiennej losowej dyskretnej;

• własności rozkładu zmiennej losowej dyskretnej;

• własności dystrybuanty zmiennej losowej dyskretnej;

• definicja zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym;

• własności gęstości rozkładu ciągłego;

• własności dystrybuanty zmiennej losowej ciągłej;

• czy każda zmienna losowa o ciągłej dystrybuancie jest zmienną losową ciągłą? (Należy umieć podać przykład z.l. o ciągłej dystrybuancie, która nie jest z.l. ciągłą. Umieć naszkicować jej dystrybuantę i podać własności dystrubuanty;

określić moc i wygląd zbioru, na którym jest skupiona ta z.l.; wiedzieć, czy ma atomy – bez dowodów – patrz ćwiczenia 12DRAP)

• czy dystrybuanta zmiennej losowej ciągłej jednoznacznie wyznacza gęstość?

• przykład zmiennej losowej, która nie jest ani ciągła ani dyskretna;

• zapis dystrybuanty jako kombinacji wypukłej dystrybuanty z.l. ciągłej i dyskretnej (patrz ćwiczenia 12DRAP)

• słynne rozkłady dyskretne: przykłady eksperymentów, które związane są z tymi rozkładami;

• dowód twierdzenia o gęstości zmiennej losowej będącej funkcją ϕ(X) zmiennej losowej ciągłej X o gęstości f (bez sformułowania, tylko dowód);

• definicja wartości oczekiwanej zmiennej losowej dyskretnej/ciągłej;

1

• twierdzenie o własnościach wartości oczekiwanej;

• addytywność wartości oczekiwanej: wzór + zastosowanie do wyznaczenia wartości oczekiwanej zmiennych losowych o rozkładach: dwumianowym, ujemnym dwumianowym, hipergeometrycznym (z rozdziału 4.5).

• twierdzenie o wartości oczekiwanej funkcji zmiennej losowej (ciągłej/dyskretnej);

• twierdzenia o wartości oczekiwanej zmiennej losowej o wartościach nieujemnych dla zmiennych losowych cią- głych/dyskretnych (z dowodem dla zmiennych losowych dyskretnych i ciągłych)...

• ... wraz z zastosowaniem do wyznaczenia wartości oczekiwanej zmiennej losowej o rozkładzie: geometrycznym i wykładniczym (z rozdziału 4.5).

• definicja wariancji i odchylenia standardowego;

• prosty wzór na wyznaczenie wariancji (z dowodem);

• wzór na zależność między Var(aX + b) a VarX (z dowodem);

• definicja momentów zwykłych/absolutnych/centralnych;

Rozdziały 5.0, 5.1 i 5.2

• definicja wektora losowego;

• jak podać rozkład łączny dyskretnego/ciągłego wektora losowego (X, Y );

• własności rozkładu łącznego wektora losowego dyskretnego;

• własności gęstości rozkładu łącznego wektora losowego ciągłego;

• rozkład jednostajny na zbiorze w R²(rozdział 5.0 przykład 4 i 5);

• rozkłady brzegowe: definicja;

• jak wyznaczyć rozkład brzegowy zmiennej losowej dyskretnej;

• jak wyznaczyć rozkład brzegowy zmiennej losowej ciągłej;

• czy znając rozkłady brzegowe można wyznaczyć rozkład łączny? (rozdział 5.0 przykłady 7 i 8)

• definicja dystrybuanty rozkładu łącznego wektora losowego;

• własności dystrybuanty rozkładu łącznego wektora losowego;

• definicja niezależności zmiennych losowych;

• twierdzenie o dystrybuancie wektora niezależnych zmiennych losowych;

• twierdzenie o rozkładzie łącznym niezależnych zmiennych losowych dyskretnych;

• twierdzenie o gęstości łącznej niezależnych zmiennych losowych ciągłych z przykładem (rozdz. 5.1. prz. 2 i prz. 3);

• twierdzenie o funkcjach zmiennych losowych niezależnych;

• wzór na rozkład splotu zmiennych losowych dyskretnych;

• wzór na gęstość splotu zmiennych losowych ciągłych;

• wzór na wartość oczekiwaną funkcji wektora zmiennych losowych dyskretnych/ciągłych;

• twierdzenie o wartości oczekiwanej iloczynu niezależnych zmiennych losowych;

• definicja kowariancji;

• nierówność Schwarza (z dowodem);

• wniosek z nierówności Schwarza o kowariancji (i współczynniku korelacji) (z dowodem);

• definicja i własności współczynnika korelacji (Kiedy ρ(X, Y ) = ±1?);

• różnica między zmiennymi losowymi niezależnymi a nieskorelowanymi (rozdz. 5.2 prz. 7);

• własności kowariancji (z dowodami);

• twierdzenie o wariancji sumy zmiennych losowych (z dowodem dla dwóch zmiennych losowych) i...

• ... z zastosowaniem do wyznaczenia wariancji zmiennych losowych o rozkładzie hipergeometrycznym, dwumianowym i ujemnym dwumianowym;

2