RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA TEST 3 - zagadniania semestr zimowy 2019/2020

(1)

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

TEST 3 - zagadniania semestr zimowy 2019/2020

ZAKRES MATERIAŁU: Rozdziały 5.3–8.0

Zanim zaczniesz przygotowania, spójrz, co zawiera oficjalna ściąga.

TEST 3 - zadania

• Części A i B z zestawów DRAP21–26;

TEST 3 - teoria

Rozdział 5.3:

• definicja rozkładu warunkowego dla zmiennych losowych dyskretnych;

• definicja gęstości rozkładu warunkowego dla zmiennych losowych ciągłych;

• definicja warunkowej wartości oczekiwanej z.l. X pod warunkiem Y = y dla zmiennych losowych dyskretnych i ciągłych;

• definicja warunkowej wartości oczekiwanej zmiennej losowej X względem zmiennej losowej Y dla zmiennych losowych dyskretnych i ciągłych;

• twierdzenie o wartości oczekiwanej warunkowej wartości oczekiwanej (z dowodem dla zmiennych losowych ciągłych);

• własności warunkowej wartości oczekiwanej;

Rozdział 6

W tym rozdziale uwaga na nazewnictwo – proszę korzystać z tego z wykładu, bo różne źródła podają różne nazwy.

• Nierówność Czebyszewa z dowodem;

• Nierówność Markowa z dowodem;

• Nierówność Czebyszewa–Bienaym´e z dowodem;

• Wykładnicza nierówność Czebyszewa z dowodem;

• Nierówność Bernsteina z dowodem;

• typy zbieżności ciągów zmiennych losowych – definicje (prawie na pewno, według prawdopodobieństwa, według p–tego momentu, według rozkładu);

• twierdzenia o zbieżności z dowodem;

• słabe prawo wielkich liczb Bernoulliego (z dowodem)

• słabe prawo wielkich liczb z dowodami;

• mocne prawo wielkich liczb Bernoulliego (z dowodem)

• mocne prawa wielkich liczb z dowodem MPWL z dodatkowymi założeniami, tzn. w postaci przedstawionej na wykładzie;

• centralne twierdzenie graniczne i twierdzenie de Moivre’a–Lalpace’a - sformułowanie;

1

(2)

Rozdział 7

• definicje funkcji tworzącej, funkcji tworzącej momenty i funkcji charakterystycznej rozkładu.

• twierdzenia o jednoznaczności dla funkcji tworzącej, funkcji tworzącej momenty i funkcji charakterystycznej rozkładu (z dowodem dla funkcji tworzących)

• Umieć opisać, jak wyznaczyć momenty zmiennej losowej znając: funkcję tworzącą, funkcję tworzącą momenty, funkcję charakterystyczną rozkładu. Umieć podać odpowiednie twierdzenia związane z tym zagadnieniem.

• Wzór na funkcję tworzącą/funkcję tworzącą momenty/funkcję charakterystyczną zmiennej losowej będącej sumą niezależnych zmiennych losowych. (z dowodem dla funkcji tworzących i funkcji tworzących momenty)

• Wzór na funkcję tworzącą momenty/funkcję charakterystyczną zmiennej losowej typu aX + b. (z dowodem dla funkcji tworzących momenty)

• Twierdzenie o funkcji tworzącej sumy X₁+ . . . + X_N, gdzie N, X₁, X₂, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi (z dowodem)

• Co to jest proces gałązkowy?

• Twierdzenie o n-tym pokoleniu (z dowodem)

• Twierdzenie o wymarciu (z dowodem)

• Twierdzenie o ciągłości dla funkcji tworzących/funkcji tworzących momenty/funkcji charakterystycznych.

• Twierdzenie Poissona z dowodem wykorzystującym funkcje tworzące.

• Dowód Centralnego Twierdzenia Granicznego - w postaci przedstawionej na wykładzie (z wykorzystaniem funkcji tworzących momenty).

Rozdział 8

• definicje: łańcuch Markowa, rozkład początkowy, macierz przejścia (stochastyczna), jednorodny łańcuch Markowa;

• macierz przejścia w n krokach (jak wygląda; fakt o tym, jakie „informacje” zawiera);

• definicje: stan osiągalny ze stanu i, stany wzajemnie skomunikowane (podział na zbiory stanów wzajemnie skomuni- kowanych), stan nieistotny, stan pochłaniający

(umieć znajdować stany danego typu na „graficznie” przedstawionym łańcuchu Markowa);

• definicja łańcucha nieprzywiedlnego i okresowego, definicja okresu stanu (z praktycznym zastosowaniem - patrz zadanie z wykładu)

• definicja rozkładu stacjonarnego, jak będzie się „zachowywać” łańcuch Markowa po przyjęciu za rozkład początkowy rozkładu stacjonarnego;

• twierdzenie ergodyczne.

2