Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 17. – rozwiązania zadań domowych
25 kwietnia 2019
Grupa 8:00
Znajdź i sklasyfikuj lokalne ekstrema funkcji: f (x, y) = x3− 3xy2.
∂f
∂x = 3x2− 3y2,
∂f
∂y = −6xy,
zatem jeśli te pochodne się zerują, to x = y, zatem x = y = 0, jedyny punkt krytyczny to (0, 0).
I to nie jest ekstremum, bowiem dla x = 0 funkcja jest stale równa 0.
Grupa 9:45
Znajdź i sklasyfikuj lokalne ekstrema funkcji: f (x, y) = (x − y)(xy − 1).
∂f
∂x = xy − 1 + (x − y)y = 2xy − 1 − y2,
∂f
∂y = −(xy − 1) + (x − y)x = −2xy + 1 + x2, Mamy dwa punkty krytyczne (1, 1) oraz (−1, −1).
Drugie pochodne cząstkowe to:
∂2f
∂x2 = 2y,
∂2f
∂x∂y = 2x − 2y,
∂2f
∂y2 = −2x, Zatem Hessian w (1, 1) to
2 0 0 −2
i jest jasne, że nie jest to forma nieokreślona, bowiem d2(hx, hy) = 2h2x − 2h2y daje wartość > 0 np. dla hx= 1, hy= 0 oraz wartość < 0 dla hx= 0, hy = 1. Zatem to nie jest ekstremum.
Hessian w (−1, −1) to
−2 0
0 2
i na mocy kryterium Sylvestera (det A1= −2, det A2= −4) jest nieokreślona. Zatem to nie jest ekstremum.
1
