Sterowanie napędów maszyn i robotów
dr inż. Jakub Możaryn Wykład 4b
Instytut Automatyki i Robotyki Wydział Mechatroniki
Politechnika Warszawska, 2015
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja dystrybuowana jest bezpłatnie
Równania stanu i wyjścia – zmienne fizykalne
Cz.3. Równania stanu i wyjścia – zmienne fizykalne
atm pt
atm nt
pt pt
nt nt
P t
P t
x
P t
P t
x
t v t
x
t s t
x
t U t
u
t U t
u
) ( )
(
) ( )
(
) ( ) (
) ( ) (
) ( )
(
) ( )
(
4 3 2 1
) ( )
) ( (
) ( )
) ( (
) ( )
( )
) ( (
) ) (
(
2 4
2 3
4 3
2 2
2 1
t V u
k R
t n V x
A P n dt
t dx
t V u
k R
t n V x
A P n dt
t dx
t m x
t A m x
t A m x
k dt
t dx
t dt x
t dx
pt o
pt
pt qm o pt o
pt o
pt
pt tlo o pt o pt
nt o
nt
nt qm o nt o nt o
nt
nt tlo o nt o nt
obc pt tlo obc
nt tlo obc
P v t
) ( )
(t x1 t y gdzie:
unt (t) = Unt (t) – napięcie wysterowania rozdzielacza proporcjonalnego (dla komory nadtłokowej)
upt (t) = Upt (t) – napięcie wysterowania rozdzielacza proporcjonalnego (dla komory podtłokowej)
x1(t) = s(t) – położenie (przemieszczenie) tłoka siłownika x2(t) = v(t) – prędkość ruchu tłoka siłownika
x3(t) = Pnt (t) - Patm = pnt (t) - ciśnienie względne w komorze nadtłokowej siłownika
x4(t) = Ppt (t) - Patm = ppt (t) - ciśnienie względne w komorze podtłokowej siłownika 3
Równania stanu i wyjścia – zmienne fizykalne
Zmienne stanu i sterujące Równania stanu
Równania wyjścia
Układ liniowy : parametry macierzy mają stałe wartości
o pt
pt tlo o pt o pt o
nt
nt tlo o nt o nt obc
P v t
V A P a n
V A P a n
m a k
a
12 1 ,
22 ,
32 ,
42
1 ,
, ,
,
24 31 42 1123
c
V k R
b n V
k R
b n m
a A m
a A
o pt
pt qm o pt o
pt o
nt
nt qm o nt o
nt obc
pt tlo obc
nt
tlo
Ostatecznie, dla sterowania dławieniowego rozdzielonego, model procesu ruchu
realizowanego przez pneumatyczny napęd siłownikowy opisują zależności macierzowe
( )
) (
0
0 0 0
0 0
) (
) (
) (
) (
0 0
0
0 0
0 0
0 0
0 )
(
42 31
4 3 2 1
42 32
24 23
22 12
t u
t u
b b
t x
t x
t x
t x
a a
a a
a a t
pt
x
nt 1 0 0 0 ( )
)
( t t
y x
Równania stanu i wyjścia – zmienne fizykalne
gdzie
Przechodząc od fizykalnych do fazowych zmiennych stanu, po wprowadzeniu jako trzeciej zmiennej przyspieszenia a(t) ruchu tłoka siłownika i uwzględnieniu zależności
) ( )
( )
( )
3( v t
m t k
m P t A
a t
x
obc P v t obc
tlo
równania stanu i wyjścia opisujące proces ruchu tłoka siłownika są następujące
) ( )
(t x1 t y
) ( )
(
) ( )
(
) ( ) (
) ( )
(
) ( )
(
3 2 1
t a t
x
t v t
x
t s t
x
t U t
u
t U t
u
pt pt
nt nt
) ( )
(
) ( )
1 ( )
(
) ) (
(
) ) (
(
3 2
2 2
3
3 2
2 1
t V u
m
k A R
t n V u
m
k A R
n
t m x
t k V x
A P n V
A P n m
dt t dx
t dt x
t dx
t dt x
t dx
pt o
pt obc
pt qm pt tlo o pt o pt nt
o nt obc
nt qm nt tlo o nt o nt
obc P v t o
pt
pt tlo o pt o pt o
nt
nt tlo o nt o nt
obc
5
Równania stanu i wyjścia – zmienne fazowe
Zmienne stanu i sterujące Równania stanu
Równania wyjścia
oznaczając:
obc P v t m o m o
pt obc
pt qm pt tlo o pt o
pt m
o pt m o
nt obc
nt qm nt tlo o nt o nt m
o nt
m m
D k V
m
k A R
C n V
m
k A R
C n
2 , 2 , 2
o pt
pt tlo o pt o pt o
nt
nt tlo o nt o nt obc m
o V
A P n V
A P n m
2 2
2 1
Równania stanu i wyjścia można sprowadzić do postaci macierzowej, z trzema parametrami liniowego modelu zachowań prędkościowych ruchu tłoka napędu pneumatycznego:
• wzmocnieniem prędkościowym Cm,
• pulsacją drgań swobodnych om oraz
• tłumieniem Dm
Równania stanu i wyjścia – zmienne fazowe
W ten sposób otrzymuje się model stanu procesu ruchu jako członu oscylacyjnego zachowań prędkościowych
) ( 0
0
0 0
) ( 0
1 0
0
0 1
0 )
(
2 2
2
t C
C t
D t
om m pt om
m nt om
m om
u x
x
1 0 0
( ))
(t t
y x
Szczególne miejsce pośród wielu modeli (różne warianty dławienia i różne układy wartości parametrów) zajmuje - ze względu na prostotę zapisu i przetwarzania procesorowego - model zlokalizowany w położeniu odpowiadającym połowie objętości cylindra siłownika (0,5Vcyl), opisany przez stałe („modelowe”) wartości parametrów przemian gazowych (nm, m), współczynnika tarcia (kt m) oraz ciśnienia roboczego (Pm): dla siłownika z połączonym sterowaniem komór (r = 1) i tłokiem równopowierzchniowym (Atlo) w postaci
7
Model ten pozwala, przy ograniczeniu liczby koniecznych do podania wartości parametrów, w prosty sposób estymować dynamikę napędu w oparciu o minimalną wartość pulsacji om , przy stałym wzmocnieniu prędkościowym Cm i tłumieniu D m, dla wybranych położeń tłoka siłownika so
m tlo
qm m
m A P
k C R
cyl obc
m m tlo
m
o m V
P A n
2
obc m m
cyl tlo
m t
m n P m
V A
D k
4
o o
obc tlo m m m
o m s s s
A P n
max
1
1
Dobrym, ze względu na zgodność modelu z wynikami doświadczalnymi, przybliżeniem jest wartość wykładnika przemiany politropowej: nm 1,35, stałej rozdzielacza:
kqm 210-8 kg/s·Pa, ciśnienia: Pm 0,65 Pzas oraz stałej tarcia napędu: kt m 125 N·s/m
Równania stanu i wyjścia – zmienne fazowe - WNIOSKI
Transformacja ciągłych równań różniczkowych do dyskretnych równań różnicowych.
Uwzględniając :
• czas dyskretny k,
• okres próbkowania (dyskretyzacji) Tp
• sterowanie sygnałami odcinkowo - stałymi zmienianymi wyłącznie w chwili próbkowania (sygnałami schodkowymi) , czyli:
t u
kTp dla t kTp, (k 1)Tp)u
równanie stanu modelu przekształca się, zgodnie z zasadami dyskretyzacji w postać:
k
T
k t dt
kmd p
md
T
m c m c
p
m c x A B u
A x
B
A
0
) exp(
) exp(
1
Dyskretyzacja modeli
0 det
, ) (
) exp(
, )
( )
exp(
1 0
1 1
t dt A A I B AB
s L T
A
m d T
m c m c
m d
T t m c
p m c m d
p
p
B A
A I A
gdzie L-1 - odwrotne przekształcenie Laplace’a.
Tp m t
o m
o m m
o m
o m
m o
m o m
o m m
o m
o m
m o m
m o m
o m m
o m
o m
m o m
T t m c
T
s D
s s
D s
s D
s s
D s
D s
s s
D s
s s
D s
D s
s L
s L
e p
p mc
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
3 2
2 3
1
1 1
2
1 0 2
2 1 2
0 2
2
1 2
1 2
) (
A
A I
9
W przypadku modelu opisanego przez wzmocnienie prędkościowe Cm, pulsację drgań swobodnych o m i tłumienie D m – macierz Amd poszukiwana jest przy pomocy zależności
Dyskretyzacja modeli
Ostatecznie otrzymujemy model z czasem dyskretnym:
k k
y
k k
k
m d
m d m d
x C
u B x
A x 1
W praktyce do realizacji w czasie rzeczywistym procedur identyfikacji i sterowania przy użyciu formalnie uzyskanych macierzy modelu dyskretnego zaleca się stosować przybliżony sposób transformacji opisu modelu ciągłego w dyskretny polegający na:
Krok 1: zastąpieniu funkcji exp(AmcTp)szeregiem funkcyjnym MacLaurina,
Dyskretyzacja modeli (uproszczenia)
Krok2: zapisie macierzy Amd i Bmd w postaci
0
0 , ( 1)!
! i m c
i p i
m c p
m d i
i p i m c
m d T
T i
i T A B
A B A
Krok 3: uwzględnieniu tylko kilku pierwszych (lub pierwszego) wyrazów jego rozwinięcia.
Postępowanie to odwołuje się do aproksymacji Tustina polegającej na ograniczeniu
rozwinięcia potęgowego operatora s do jednego wyrazu przy wyznaczaniu transmitancji
dyskretnej i znajduje swe uzasadnienie w stwierdzeniu skali różnic wartości pomiędzy pulsacją próbkowania p wynikająca z okresu Tp a pulsacją drgań swobodnych o m zachowań
ruchowych (siłowych) napędu: spełniając bowiem warunek Shannona
m o p
p
p T
2 , 2
Przy milisekundowym okresie próbkowania, np. Tp 0,8, 2 ms, otrzymuje się pulsacje
7850, 3140 rd/s o rzędy wielkości większe od pulsacji 10, 60 rd/s,
Model z czasem ciągłym
) ( 0
0 )
( 0
1 0
0
0 1
0 )
(
2 2
t C
t D
t
om m om
m om
u x
x
1 0 0
( ))
(t t
y x
Doprowadzany jest przez usunięcie z zależności wyrazów z czynnikiem Tp wyższym niż kwadratowy, do postaci modelu z czasem dyskretnym
( )2 0
) 1 ( 2 1
2 0
1 0
0 1
1 u k
C T C k
T T T
T k
m p m p
p p
p
x
x
1 0 0
( ))
(k k
y x
gdzie:
p m o m p
m
o T D T
, 1 2
1 2
Dyskretny model procesu ruchu opisanego w obszarze czasu ciągłego przez wzmocnienie prędkościowe Cm, pulsację drgań swobodnych o m i tłumienie D m
11
Dyskretyzacja modeli (uproszczenia)
Sterowanie napędów maszyn i robotów
dr inż. Jakub Możaryn Wykład 3.2
Instytut Automatyki i Robotyki Wydział Mechatroniki
Politechnika Warszawska, 2014
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
