17 18 Σ
Nazwisko 0
Imię Indeks
ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr
9
,6.12.2011
, godz. 10.15-11.00Wykład: J. Wróblewski
PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW Zadanie
17.
(1+4+15=20 punktów)Wśród poniższych sześciu szeregów wskaż szereg zbieżny, a następnie udowodnij jego zbieżność. Jeśli potrafisz, podaj jego sumę (tylko wynik, bez uzasadnienia).
(A)
∞
X
n=1
(−1)n(n + 1)
7n + 10 (B)
∞
X
n=1
(−1)n(2n2+ 1)
3n2+ n (C)
∞
X
n=1
(−1)n(2n − 1) n2+ n (D)
∞
X
n=1
(−1)n(n2+ 1)
2n2+ 1 (E)
∞
X
n=1
(−1)n(3n2+ 1)
77n − 1 (F)
∞
X
n=1
(−1)n(2n − 1) 2011n + 2012 Za poprawne wskazanie szeregu zbieżnego otrzymasz 1 punkt.
Bez poprawnego wskazania szeregu zbieżnego otrzymasz 0 punktów za całe zadanie.
Za dowód zbieżności możesz otrzymać maksymalnie kolejne 4 punkty.
Za bezbłędne podanie sumy wskazanego szeregu zbieżnego otrzymasz 15 punktów.
Odpowiedź: Zbieżny jest szereg ... Jego suma jest równa ...
Poniżej zamieść dowód zbieżności szeregu.
Zadanie
18.
(5 punktów)W każdym z 5 poniższych zadań udziel czterech niezależnych odpowiedzi:
Z - jest Zbieżny (tzn. musi być zbieżny) R - jest Rozbieżny (tzn. musi być rozbieżny)
N - może być zbieżny lub rozbieżny (tzn. Nie wiadomo, czasem jest zbieżny, a czasem rozbieżny)
Za każde zadanie, w którym podasz cztery poprawne odpowiedzi, otrzymasz 1 punkt.
Za pozostałe zadania nie otrzymasz punktów.
18.1 O ciągu (an) liczb rzeczywistych dodatnich wiadomo, że ciąg an an+1
!
jest zbieżny do liczby rzeczywistej g. Co można wywnioskować o zbieżności szeregu
∞
X
n=1
an, jeżeli wiadomo, że
a) g = 0 ... b) 0 < g < 1 ...
c) g = 1 ... d) 1 < g ...
18.2 Ciąg (an) liczb rzeczywistych dodatnich jest zbieżny do liczby rzeczywistej g.
Co można wywnioskować o zbieżności ciągu
an+1
an
, jeżeli wiadomo, że
a) g = 0 ... b) 0 < g < 1 ...
c) g = 1 ... d) 1 < g ...
18.3 O ciągu (an) liczb rzeczywistych wiadomo, że szereg
∞
X
n=1
an jest zbieżny i jego sumą jest liczba rzeczywista g. Co można wywnioskować o zbieżności ciągu (an), jeżeli wiadomo, że
a) g = 0 ... b) 0 < g < 1 ...
c) g = 1 ... d) 1 < g ...
18.4 Ciąg (an) liczb rzeczywistych dodatnich jest zbieżny do liczby rzeczywistej g.
Co można wywnioskować o zbieżności szeregu
∞
X
n=1
an, jeżeli wiadomo, że
a) g = 0 ... b) 0 < g < 1 ...
c) g = 1 ... d) 1 < g ...
18.5 O ciągu (an) liczb rzeczywistych dodatnich wiadomo, że ciąg
an+1 an
jest zbieżny do liczby rzeczywistej g. Co można wywnioskować o zbieżności szeregu
∞
X
n=1
an, jeżeli wiadomo, że
a) g = 0 ... b) 0 < g < 1 ...
c) g = 1 ... d) 1 < g ...
