17 18 Σ
Nazwisko 0
Imię Indeks
ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr
9
,11.12.2012
, godz. 10.15-11.00 Wykład: J. WróblewskiPODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW Zadanie
17.
(7 punktów)W każdym z dziewięciu poniższych zadań podaj wartość granicy funkcji (liczba rze- czywista) lub granicy niewłaściwej (+∞ lub −∞).
Wpisz literkę R, jeśli nie istnieje granica ani granica niewłaściwa.
Za udzielenie n poprawnych odpowiedzi otrzymasz max(0, n − 2) punktów.
17.1
lim
x→64
√
3x − 4
x − 64 =
1/4817.2
lim
x→64
x − 64
√ x − 8 =
1617.3
lim
x→64
√
3x − 4
√ x − 8 =
1/317.4
lim
x→0+
2
21/x=
+∞17.5
lim
x→0−
2
21/x=
117.6
lim
x→+∞
2
21/x=
217.7
lim
x→0+
2
221/x=
+∞17.8
lim
x→0−
2
221/x=
217.9
lim
x→+∞
2
221/x=
4Zadanie
18.
(5 punktów) Rozstrzygnąć zbieżność szeregu∞
X
n=1
(3n)! · an n! · n2n
w zależności od parametru rzeczywistego dodatniego a. Dla jednej wartości a można nie udzielić odpowiedzi.
Rozwiązanie:
Stosując kryterium d’Alemberta otrzymujemy (3n + 3)! · an+1
(n + 1)! · (n + 1)2n+2· n! · n2n
(3n)! · an=(3n + 1) · (3n + 2) · (3n + 3) · a
1 +1n2n· (n + 1)3
→27a e2 ,
skąd wynika, że szereg jest zbieżny, gdy 27a
e2 < 1, czyli a < e2 27 oraz rozbieżny, gdy
27a
e2 > 1, czyli a > e2 27.
